2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学业分层测评苏教版必修

2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学业分层测评苏教版必修

一、填空题

1．下列有四个结论，其中正确的是________．

(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；

(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．

【解析】　(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．

【答案】　(4)

2．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.

【解析】　设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，

∴∴S侧＝4×4×7＝112 cm2.

【答案】　112

3．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.

【解析】　由题意可知S侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20.

【答案】　20＋20

4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．

【解析】　∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.

【答案】　4

5．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．

【解析】　斜高h′

＝＝，

S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，

∴S1>S2.

【答案】　S1>S2

6．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．

【解析】　设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.

∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.

∴当r＝＝时，S全有最大值.

【答案】　

7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．

【解析】　如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，

由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，

在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝A1D1＝6，

S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.

【答案】　180

8．如图1－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．

图1－3－2

【解析】　设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1－AB1C为四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.

【答案】　1∶

二、解答题

9.如图1－3－3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.

图1－3－3

(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；

(2)若大棱锥PO的侧棱为12 cm，小棱锥底面边长为4 cm，求截得棱台的侧面积和全面积.

【解】　(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，

∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a×＝3a，

S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×

＝a，

S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)×＝a，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.

(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144 (cm2)，

S上＝6××4×4×sin 60°＝24 (cm2)，

S下＝6××8×8×sin 60°＝96 (cm2)，

∴S全＝S侧＋S上＋S下

＝144＋120 (cm2)．

10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．

【解】　法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.

在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.

综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.

法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．

在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，

又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.

又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.

综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.

[能力提升]

1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．

【解析】　S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π或S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π.

【答案】　3π2＋π或3π2＋π

2．如图1－3－4，三棱锥S－ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，则三棱锥的侧面积为________.

图1－3－4

【解析】　取AC的中点M，连结SM，MB.

∵△SAC，△ABC为全等正三角形，

∴SM⊥AC，BM⊥AC，

且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB.

又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.

SM⊂平面SAC，∴SM⊥平面ABC.

过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.

在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，

∴ME＝a，可求SE＝＝a.

∴S△SBC＝BC·SE＝a2，

∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝a2.

【答案】　a2

3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝__________.

【解析】　由题意可把三棱锥A1－ABC与四棱锥A1－BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为.而四棱锥A1－BCC1B1的高为，则h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2.

【答案】　∶2∶2

4．如图1－3－5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m2)．

图1－3－5

【解】　由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr·(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．

2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学业分层测评苏教版必修

一、填空题

1．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．

【解析】　设此正三棱锥的高为h，则h2＋＝1，所以h2＝，h＝，故此三棱锥的体积V＝××()2×＝.

【答案】　

2．一个正四棱台形油槽可以装煤油190 L，假如它的上、下底边长分别等于60 cm和40 cm，它的深度是________ cm.

【解析】　设深度为h，则V＝(402＋40×60＋602)，

即190 000＝×7 600，所以h＝75.

【答案】　75

3．如图1－3－11，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.

图1－3－11

【解析】　将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a＋b的圆柱，则所求几何体的体积为V＝＝×πr2·(a＋b)＝.

【答案】　

4．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．

【解析】　设新的底面半径为r，由题意得

×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，

∴r2＝7，∴r＝.

【答案】　

5．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．

【解析】　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.

【答案】　

6．将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm，则这个铜球的半径为__________cm.

【解析】　设铜球的半径为R cm，则有πR3＝π×162×9，解得R＝12.

【答案】　12

7．如图1－3－12，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．

图1－3－12

【解析】　在△ABC中，BC边上的高h＝＝2，

V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，

∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.

【答案】　30

8．如图1－3－13所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积是__________．

图1－3－13

【解析】　显然，折叠后OA是该四面体的高，且OA为2，而△COD的面积为4，所以四面体的体积为.

【答案】　

二、解答题

9．如图1－3－14所示，A为直线y＝x上的一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为9π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．

图1－3－14

【解】　阴影部分绕x轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V＝V圆锥－V球．

设A点坐标为(x，y)，则

解得

于是∠AOB＝30°，从而OO′＝2R，

3R＝x＝3，R＝.

∴V＝9π－πR3＝9π－π()3＝5π.

10．如图1－3－15，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

图1－3－15

(1)证明：AC⊥HD′；

(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．

【解】　(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

(2)由EF∥AC得＝＝.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.

又由＝得EF＝.

五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.

[能力提升]

1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

【解析】　设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.

由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，

∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.

【答案】　12

2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．

【解析】　法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.

法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.

【答案】　4πRr

3．如图1－3－16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥D－B1C1E的体积与三棱柱ABC－A1B1C1的体积之比是__________.

图1－3－16

【解析】　设C1到平面A1B的距离为h，由已知得，

S△DB1E＝AB·A1A，所以V三棱锥D－B1C1E＝S△DB1Eh＝×·AB·A1A·h＝AB·A1A·h＝VABC－A1B1C1，即V三棱锥D－B1C1E∶VABC－A1B1C1＝1∶4.

【答案】　1∶4

4．如图1－3－17，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

图1－3－17

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

【解】　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.

于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.

故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，

S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，

所以其体积的比值为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ca0ebdb549d7c1c708a1284ac850ad02df80076c.html