2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设![]()
是函数![]()
（![]()
）的图![]()
像上任意一点，过点![]()
分别向
直线![]()
和![]()
轴作垂线，垂足分别为![]()
，则![]()
的值是_____________.
![]()
6.设![]()
是定义在![]()
上的奇函数，且当![]()
时，![]()
．若对任意的![]()
，不等式![]()
恒成立，则实数![]()
的取值范围是_____________.
7．满![]()
足![]()
的所有正整数![]()
的和是_____________.
8．某情报站有![]()
四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用![]()
种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）
二、![]()
解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）已知函数![]()
（1）若对任意![]()
，都有![]()
，求![]()
的取值范围；
（2）若![]()
，且存在![]()
，使![]()
得![]()
，求![]()
的取值范围．
10．（本小题满分２０分）已知数列![]()
的各项均为非零实数，且对于任意的![]()
正整数![]()
，都有
![]()
（1）当![]()
时，求所有满足条件的三项组成的数列![]()
;
（2）是否存在满足条件的无穷数列![]()
，使得![]()
若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题![]()
满分20分）
如图5，在平面直角坐标系![]()
中，菱形![]()
的边长为![]()
，且![]()
．
（1）求证：![]()
为定值；
（2）当点A在半![]()
圆![]()
（![]()
）上运动时，求
点![]()
的轨迹．
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三、（本题满分50分）
设![]()
是平面上![]()
个点，它们两两间的距离的最小值为![]()
求证：![]()
四、（本题满分50分）
设![]()
，![]()
是正整数．证明：对满足![]()
的任意实数![]()
，数列![]()
中有无穷多项属于![]()
．这里，![]()
表示不超过实数![]()
的最大整数．
[来源:21世纪教育网]
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．
1． 设![]()
是函数![]()
（![]()
）的图像上任意一点，过点![]()
分别向直线![]()
和![]()
轴作垂线，垂
足分别为![]()
，则![]()
的值是 ．
![]()
2． 设![]()
的内角![]()
的对边分别为![]()
，且满足![]()
，
则![]()
的值是 ![]()
.
【答案】4
![]()
[来源:21世纪教育网]
３．设![]()
，则![]()
的最大值是 .
【答案】![]()
[21世纪教育网]
【解析】不妨设![]()
则![]()
因为![]()
所以![]()
当且仅当![]()
时上式等号同时成立.故![]()
4.抛物线![]()
的焦点为![]()
，准线为ｌ，![]()
是抛物线上的两个动点，且满足![]()
．设线段ＡＢ的中点![]()
在ｌ上的投影为![]()
，则![]()
的最大值是 .
【答案】121世纪教育网
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得![]()
在![]()
中,由余弦定理得![]()
![]()
![]()
![]()
当且仅当![]()
时等号成立.故![]()
的最大值为1.
5．设同底的两个正三棱锥![]()
和![]()
内接于同一个球．若正三棱锥![]()
的侧面与底面所成的角为![]()
，则正三棱锥![]()
的侧面与底面所成角的正切值是 ．
![]()
6. 设![]()
是定义在![]()
上的奇函数，且当![]()
时，![]()
．若对任意的![]()
，不等式![]()
恒成立，则实数![]()
的取值范围是 ．
【答案】![]()
![]()
![]()
７．满足![]()
的所有正整数![]()
的和是 ．
【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当![]()
时,![]()
由此得![]()
![]()
所以![]()
故满足![]()
的正整数![]()
的所有值分别为![]()
它们的和为![]()
.
８．某情报站有![]()
四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随![]()
机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
![]()
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
９．（本小题满分１６分）已知函数![]()
（１）若对任意![]()
，都有![]()
，求![]()
的取值范围；
（２）若![]()
，且存在![]()
，使得![]()
，求![]()
的取值范围．
![]()
１０．（本小题满分２０分）已知数列![]()
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数![]()
，都有
![]()
（１）当![]()
时，求所有满足条件的三项组成的![]()
数列![]()
;
（２）是否存在满足条件的无穷数列![]()
，使得![]()
若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
![]()
１１．（本小题满分２０分）
如图5，在平面直角坐标系![]()
中，菱形![]()
的边长为![]()
，且![]()
．
（１）求证![]()
：![]()
为定值；
（２）当点A在半圆![]()
（![]()
）上运动时，求
点![]()
的轨迹．![]()
【解![]()
析】因为![]()
所以![]()
三点共线
如图,连结![]()
,则![]()
垂直平分线段![]()
,设垂足为![]()
,于是有![]()
![]()
![]()
![]()
(![]()
定值)
(2)设![]()
其中![]()
则![]()
.
因为![]()
所以![]()
由(1)的结论得![]()
所以![]()
从而![]()
故点![]()
的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为![]()
2012年全国高中数学联赛加试试题（![]()
卷）
一、（本题满分４０分）21世纪教育网
如图，在锐角![]()
中，![]()
是![]()
边上不同的两点，使得![]()
设![]()
和![]()
的外心分别为![]()
，求证：![]()
三点共线。
![]()
证法一:令![]()
消去![]()
得![]()
由![]()
于![]()
这方程必有整数解;![]()
其中![]()
为方程的特解.
把最小的正整数解记为![]()
则![]()
,故![]()
使![]()
是![]()
的倍数．……40分
证法二:由于![]()
由中国剩余定理知,同余方程组
![]()
在区间![]()
上有解![]()
即存在![]()
使![]()
是![]()
的倍数．…………40分
证法三:由于![]()
总存在![]()
使![]()
取![]()
使![]()
则![]()
存在![]()
使![]()
此时![]()
因而![]()
是![]()
的倍数．……………40分
三、（本题满分５０分）
设![]()
是平面上![]()
个点，它们两两间的距离的最小值为![]()
求证：![]()
![]()
四、（本题满分５０分）
设![]()
，ｎ是正整数．证明：对满足![]()
的任意实数![]()
，数列![]()
中有无穷多项属于![]()
．这里，![]()
表示不超过实数ｘ的最大整数．
【解析】证法一:(1)对任意![]()
,有
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
证法二:(1) ![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c68a0ab654270722192e453610661ed9ac515561.html
