中国剩余定理的另一证明

发布时间：2020-11-07 10:43:12 来源：文档文库

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中国剩余定理的另一证明

邓凌云

【摘要】【摘要】本文用整体思维的方法，给出中国剩余定理另一个证明。

【期刊名称】科技视界

【年(卷),期】2019(000)009

【总页数】1

【关键词】【关键词】孙子定理；中国剩余定理；整体思维

国外把我们的孙子定理称为中国剩余定理（The Chinese Remainder theorem）。它的具体内容为：m1,m2,…mn 是n 个两两互素的正整数，则同余式组x=a1(mod m1),x≡a2(mod m2)，…，x≡an(mod mn)有唯一解，modm,m=m1m2…mn。这里 modm 是指在模 m 的一个完全剩余系中，如0，1，2，…，m-1 是模m 的一个完全剩余系。

孙子定理可以用数学归纳法证明，如文[1]、[2]。更多的是用构造法具体给出同余式组的解，再证明唯一性，如文[3]、[4]、[5]。本文打算用整体思维的方法，给出一个存在性的证明（包括唯一性）。

要证明孙子定理，只需证明：当0 ≤ai ≤mi-1，i=1,2,…,n 的情况，结论成立即可。

首先，我们很容易看出0，1，2， …，m-1 这m 个数，每个数必满足n 个同余式组x ≡b1 (mod m1)，x ≡b2(mod m2)， …，x ≡bn (mod mn)，这里b1,b2, …bn 分别是0，1，2， … ，m1-1；0，1，2， … ，m2-1； … ；0，1，2， … ，mn-1 中的某一个数。

其次，我们可以证明在0，1，2，…，m-1 这m 个数不可能有两个数同时满足同一个同余式组。否则，有两个数x1，x2，x1且0 ≤x1，x2≤m-1，同时满足某一个同余式组x ≡a1 (mod m1)，x ≡a2 (mod m2)， … ，x ≡an(mod mn)，则x2-x1 ≡0(mod m1)，x2-x1 ≡0(mod m2)，…,x2-x1 ≡0(mod mn)，推出x2-x1 ≡0(mod(m1m2…mn))，这是因为(mi，mj)=1，当i ≠j 时。于是x2=x1+km，k ≥1，得到x2≥m。这与已知矛盾。