浙江数学高考试题及答案

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

选择题部分(共50分)

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重新试验中事件A恰好发生k次的概率

6d150e70973d84186de9b24ee7d253c6.png (k＝0，1，2，…，n)

台体的体积公式

62664cdc82e4f228791bff2e8ab5f119.png

其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高

柱体的体积公式

V＝Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式

ed99feac685faf1877477f6ab12f1cd1.png

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

S＝4πR2

球的体积公式

127c830497144649da2ae6ca85ee4963.png

其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设函数ee54d70f838616b5cb45cdfe03398c1b.png.若f(α)＝4，则实数α等于(　　)

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

2．把复数z的共轭复数记作d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png，i为虚数单位，若z＝1＋i，则(1＋z)·d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png＝(　　)

A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3

3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)

word/media/image8.gif

word/media/image9.gif

4．下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

5．设实数x，y满足不等式组6b5cdc96cf57468919cbe54778429a85.png，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是(　　)

A．14 B．16 C．17 D．19

6．若05a71f98b0a69685cb26ba92bcf12205.png，89dc045530d83798c1f368891ae6507e.png，f819cc27851c14a3244300463f256b94.png，7fa2d86d4d504a6e2e41cb1c4b3adbdc.png，则5f6cdddc986f8c65455a8a5806d0689e.png等于(　　)

A．227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png B．437a1141f49c4ddc987721639026154c.png

C．d3859d47b0de1876490be14417fcd2be.png D．bb9cab1d62ef2c9d59fb9bc2d7eb91bd.png

7．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“5c553644d4f29b8afd54c198433477b9.png或f25336752107abae777d26276f2e3e30.png”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

8．已知椭圆C1：1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png (a＞b＞0)与双曲线C2：6dfc0190a8a334b3de2f9f71e25a44b2.png有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点， 若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a2＝fd5e35b558cd4a8e30ca9a764aa9aa7b.png B．a2＝13

C．b2＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png D．b2＝2

9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)

A．22417f146ced89939510e270d4201b28.png B．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png C． 463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png D．27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png

10．设a，b，c为实数，f(x) ＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是(　　)

A．|S|＝1且|T|＝0

B．|S|＝1且|T|＝1

C．|S|＝2且|T|＝2

D．|S|＝2且|T|＝3

非选择题部分(共100分)

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．

word/media/image30.gif

13．设二项式00ba05cdf10f0905db8a43196c305fcd.png (a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B， 若B＝4A，则a的值是________．

14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，则α与 β的夹角θ的取值范围是________．

15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

16．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

17．设F1，F2分别为椭圆d41128e4a7fbf6ec15ed023f56f41f6b.png的左、右焦点，点A，B在椭圆上．若b707cb6a526f742e3a13112678c46de1.png，则点A的坐标是________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且5fe2a00f182398b6bc277b9b5d3e20ca.png.

(1)当p＝9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png，b＝1时，求a，c的值；

(2)若角B为锐角，求p的取值范围．

word/media/image38.gif

19．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，设数列的前n项和为Sn，且dad64cae209b216b18c6434ccfb9eb49.png，be514e2f61dba778c20363ea21ec5395.png，6fe9dd04d8d2ec55a3248a80d5d32ac7.png成等比数列，

(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

(2)记An＝52c25526ce9ff18c00aa884c1b82a86e.png，Bn＝f0ae7495657e5c35e994f33005973777.png，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．

20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

word/media/image44.gif

(1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

21．已知抛物线C1：x2＝y，圆C2 ：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.

word/media/image45.gif

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；

(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

22．设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.

(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

word/media/image46.gif

注：e为自然对数的底数．

参考答案

1．B　2．A　3．D　 4．D　5．B　 6．C　7．A　8．C　 9．B　10．D　

11．答案：0

12．答案：5

13．答案：2

14．答案：[81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，247f70739fe9b37fde9c0830c8f47a16.png]

15．答案：1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png

16．答案：e6b1bbefdd5b9c3b65a9c715b4528494.png

17．答案：(0，1)或(0，－1)

18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得3d9d106c76736486970010b81cced7b1.png，

解得f8d8c67fdc2b62a6cdcae42c94c82da5.png或cfdb9da3ef31db41c11eb67f0505126b.png

(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB

＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝814bea5f1b06f65b2966586973c1f2e6.png，

即9c82b27d9e8830463c573b65fd13d6fd.png，因为0＜cosB＜1，得p2∈(bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png，2)，

由题设知p＞0，所以7fe83680dd3c24e4a3b944c3c1e3894d.png.

19．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则(40793f007644835b22bf1dceb12986f7.png，

得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a．

所以an＝na，8e3093d0654e69b8f0bcb77ba7043f57.png.

(2)因为94c1cde8f57672dacd98e4e408d371ff.png，所以

36d939eaede4e69485b1c18e4cd39e9a.png．

因为a2n－1＝2n－1a，

所以7d0d13396f301159dbea9dcbbfbc287f.png

603ad8f3e97e0037683dd0b0fb7c5d89.png．

当n≥2时，e61459d4c3e1c44ae080c3cf0ba907d9.png＞n＋1，

即e848d958e83e8d0f12fb2db61237e9ed.png，所以，当a＞0时，An＜Bn；

当a＜0时，An＞Bn.

20．解：方法一：

(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，

24076c869dad9e5b8f0de07a4de9762f.png＝(0，3，4)，13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png＝(－8，0，0)，由此可得2d1ad79cf60a70a498e7dcadbbd03540.png，

所以2f2c671bce62eb9e0a3c0d25c0ba3689.png，即AP⊥BC．

word/media/image70.gif

(2)解：设901cfe52590cc092731be65c8d78e678.png，λ≠1，则91044addaecf50764de857c561fce1ee.png＝λ(0，－3，－4)．

038495fc85a71b550e6ef6ff828cfb9b.png

＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，

f51c311ffaf7730d41ef1ac81e156cbd.png＝(－4，5，0)，13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png＝(－8，0，0)．

设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．

由af9ce9b8cee2fd604e12ce850bec7d08.png

得3a08b86f271d75a8bec00945bdcc911f.png

即281542ba980859a0817f6ba98ce94995.png可取n1＝(0，1，49cfe535d065a79cac3d34a5a2131c90.png)．

由d16d83e90e5dc546f5808a6e9e46c510.png即eed73c1e33bb0fbddd28013edf6d5e3c.png得0ab9c920972c3025d98a33ed8d1226e7.png可取n2＝(5，4，－3)．

由n1·n2＝0，得4－3×49cfe535d065a79cac3d34a5a2131c90.png＝0，解得a25a793587d4269cfb564f0a13e800f4.png，故AM＝3.

综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

方法二：

(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC．

又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC．

因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．

word/media/image44.gif

(2)解：如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连结CM.

由(1)知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC．

又AP⊂平面APC，

所以平面BMC⊥平面APC．

在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得3e715394e837bcd64ebaacd01d155809.png.

在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，

在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，

所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6.

在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.

又cos∠BPA＝9fe6b1618f90548751a08ca62073fa53.png＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，

从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3.

综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：b69f7e8df7c589eee6f66ba2d3c89dfc.png，所以圆心M(0，4)到准线的距离是0687c69298885da6007aefcb3c946504.png.

word/media/image90.gif

(2)设P(x0，ab9a4711964f81497a30ad83dbea85e2.png)，A(x1，6fa3d27c9f5cd00059e421c10383dc41.png)，B(x2，ab9f2900f4768a0b1a5b5cc828716a8b.png)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2.

设过点P的圆C2的切线方程为y－ab9a4711964f81497a30ad83dbea85e2.png＝k(x－x0)，

即y＝kx－kx0＋ab9a4711964f81497a30ad83dbea85e2.png.①

则1165110547ee519abf2ddd44954ab0a2.png＝1，

即(x02－1)k2＋2x0(4－x02)k＋(x02－4)2－1＝0.

设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以

k1＋k2＝b9e468f643eebca8fa42d0d082fa5f1f.png，k1k2＝8e5cb550a1a6c80f475317d2faa60a3c.png.

将①代入y＝x2，得x2－kx＋kx0－x02＝0，

由于x0是此方程的根，故x1＝k1－x0，x2＝k2－x0，所以kAB＝9df3c997d7ac7198dc7229503391127a.png＝x1＋x2＝k1＋k2－2x0＝b9e468f643eebca8fa42d0d082fa5f1f.png－2x0，kMP＝c00d25430e057a52085e63dc70e11cae.png.

由MP⊥AB，得kAB·kMP＝37bc6e65aee1a209aa653314067fe636.png＝－1，解得68aa3ee4ab995f183943b73e03dc1b0c.png，

即点P的坐标为(367052c1ea67cfdc849562604c033b85.png，bfd923875835729d9d7049e931ec4671.png)，所以直线l的方程为5b3f199980e1a7c701383c03865bb899.png.

22．解：(1)求导得22620986a70ed50fc485cfe15b0b4fb5.png

b8f5ed4ecd1ffe82e4dca58a492948cc.png．

因为x＝e是f(x)的极值点，所以ba003762d1784409ba6f748278f9374c.png，解得a＝e或a＝3e.经检验，符合题意，所以a＝e或a＝3e.

(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．

②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2，

解得85bdd74f6db34d61b2947dbc7675c493.png8a7c3655a012e1b90a837cf2cfd8a58d.png.

由(1)知18c7490011d769282881355e11158b7e.png，

令h(x)＝2lnx＋1－4bdef138b879cc2b2db2df26aee7ec64.png，则h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2ln a＞0，

且85fe31d98cb1d07c08cbf7415dbb0afe.png

5de0023453640af12b5e2b1779276182.png.

又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x0，则1＜x0＜3e，1＜x0＜A．

从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．

他们继续往前走。走到了沃野，他们决定停下。

　　被打巴掌的那位差点淹死，幸好被朋友救过来了。

　　被救起后，他拿了一把小剑在石头上刻了：“今天我的好朋友救了我一命。”

　　一旁好奇的朋友问到：

　　“为什么我打了你以后你要写在沙子上，而现在要刻在石头上呢？”

　　另一个笑笑回答说：“当被一个朋友伤害时，要写在易忘的地方，风会负责抹去它；

　　相反的如果被帮助，我们要把它刻在心灵的深处，任何风都抹不去的。”

　　朋友之间相处，伤害往往是无心的，帮助却是真心的。

　　在日常生活中，就算最要好的朋友也会有摩擦，也会因为这些摩擦产生误会，以至于成为陌路。

　　友情的深浅，不仅在于朋友对你的才能钦佩到什么程度，更在于他对你的弱点容忍到什么程度。

　　学会将伤害丢在风里，将感动铭记心底，才可以让我们的友谊历久弥新！

　　友谊是我们哀伤时的缓和剂，激情时的舒解剂；

　　是我们压力时的流泻口，是我们灾难时的庇护所；

　　是我们犹豫时的商议者，是我们脑子的清新剂。

　　但最重要的一点是，我们大家都要牢记的：

　　“切不可苛求朋友给你同样的回报，宽容一点，对自己也是对朋友。”

　　爱因斯坦说：“世间最美好的东西，莫过于有几个头脑和心地都很正直的朋友。”

他们继续往前走。走到了沃野，他们决定停下。

　　被打巴掌的那位差点淹死，幸好被朋友救过来了。

　　被救起后，他拿了一把小剑在石头上刻了：“今天我的好朋友救了我一命。”

　　一旁好奇的朋友问到：

　　“为什么我打了你以后你要写在沙子上，而现在要刻在石头上呢？”

　　另一个笑笑回答说：“当被一个朋友伤害时，要写在易忘的地方，风会负责抹去它；

　　相反的如果被帮助，我们要把它刻在心灵的深处，任何风都抹不去的。”

　　朋友之间相处，伤害往往是无心的，帮助却是真心的。

　　在日常生活中，就算最要好的朋友也会有摩擦，也会因为这些摩擦产生误会，以至于成为陌路。

　　友情的深浅，不仅在于朋友对你的才能钦佩到什么程度，更在于他对你的弱点容忍到什么程度。

　　学会将伤害丢在风里，将感动铭记心底，才可以让我们的友谊历久弥新！

　　友谊是我们哀伤时的缓和剂，激情时的舒解剂；

　　是我们压力时的流泻口，是我们灾难时的庇护所；

　　是我们犹豫时的商议者，是我们脑子的清新剂。

　　但最重要的一点是，我们大家都要牢记的：

　　“切不可苛求朋友给你同样的回报，宽容一点，对自己也是对朋友。”

　　爱因斯坦说：“世间最美好的东西，莫过于有几个头脑和心地都很正直的朋友。”

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c543f527a7e9856a561252d380eb6294dd88222c.html