黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（理科）四模试题

黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（理科）四模试题

学校_________   班级__________  姓名__________  学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则（   ）

2. 已知复数满足是虚数单位），则（   ）

3. 已知命题，. 则为（  ）

4. 等比数列满足，，则（   ）

5. 已知表示平面，、、表示不同的直线，则的一个充分不必要条件是（   ）

6. 为了考察、两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行动物试验，已知参与两种药物试验的服药和未服药的动物数量相同，图1是药试验结果对应的等高条形图；图2是药试验结果对应的等高条形图．下列说法正确的是（）

7. 已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（   ）

8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ）

9. 5月25日哈市高三学生再次复课，老师们每天早上需要为学生测温，学校考虑老师的身体健康，每天安排食堂为老师们送早餐．高三学年任主任早晨在6：30～7：00之间到达办公室为送餐员开门，送餐员在早晨6：45～7：00之间到达办公室，则任主任在送餐员之前到达办公室的概率为（   ）

10. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是（   ）

11. 如图，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线．下列关于曲线的结论中，正确的个数为（   ）



①曲线与轴围成的面积等于；

②曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；

③所在圆与所在圆的交点弦所在直线方程为．

12. 在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（   ）

二、填空题

13. 已知随机变量的分布列为

 

若，则______．

14. 已知函数，若（a），则实数的取值范围是__.

三、双空题

15. 我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线：，直线为曲线在点处的切线．如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积______（用表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为______．

四、填空题

16. 已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．

五、解答题

17. 在锐角中，内角、、所对的边分别为，且直线为函数图像的一条对称轴．

（1）求；

（2）若恒成立，求实数的最小值．

18. 如图，已知三棱柱，平面平面，，为中点，．



（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

19. 设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．

（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（Ⅱ）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．

20. 市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量（吨）与相应的生产总成本（万元）的五组对照数据．

 

（Ⅰ）根据上述数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求关于的线性回归直线方程；

参考公式：，．

（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求与的线性回归直线方程为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了与的回归模型②：．其中模型②的残差图（残差实际值预报值）如图所示：



请完成模型①的残差表（见答题卡）与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为关于的回归方程？并说明理由；

（Ⅲ）研究人员统计历年的销售数据，得到每吨产品的销售价格（万元）是一个与月产量相关的随机变量，其分布列为：

 

结合你对（Ⅱ）的判断，当月产量为何值时，月利润的预报期望值最大？

21. 已知函数．

（Ⅰ）当时，函数存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线上的点到直线距离的最小值．

23. 设不等式的解集为．

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若、、，求证：．

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