高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像和性质优化训练北师大版必修4

1.6余弦函数的图像和性质

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.使cosx=word/media/image1_1.png有意义的m的值为（ ）

A.m≥0 B.m≤0C.-1＜m＜1D.m＜-1或m＞1

解析：要保证式子有意义，要求等号后面的表达式的绝对值在区间［-1，1］上，即|word/media/image2_1.png|≤1.解得m≤0.

答案：B

2.求下列三角函数值：

（1）word/media/image3_1.png； （2）cos（-2 640°）+sin1 665°.

解：（1）word/media/image4_1.png.

（2）cos（-2 640°）+sin1 665°=cos［(-15)×180°+60°］+sin(9×180°+45°)

=-cos60°-sin45°=word/media/image5_1.png.

3.求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值.

解：令u=cosx,则y=cos2x-3cosx+2可变为y=u2-3u+2，

即y=(u-word/media/image6_1.png)2-word/media/image7_1.png,u∈［-1,1］.

当u∈［-1,1］时，函数递减，

∴当u=1时，函数y有最小值0.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（ ）

A.word/media/image8_1.png+2kπ≤x≤word/media/image9_1.png+2kπ（k∈Z）B.word/media/image10_1.png+2kπ≤x≤word/media/image11_1.png+2kπ（k∈Z）

C.word/media/image12_1.png+2kπ≤x≤word/media/image13_1.png+2kπ（k∈Z）D.（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（k∈Z）

解析：cos（x+π）=-cosx=|cosx|，

∴cosx≤0.故word/media/image14_1.png+2kπ≤x≤word/media/image15_1.png+2kπ（k∈Z).

答案：C

2.y=4cosx在x∈［-π，π］上的单调性是（ ）

A.在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减

B.在［word/media/image16_1.png］上递增，在［word/media/image17_1.png］和［word/media/image18_1.png］上都递减

C.在［0，π］上递增，在［-π，0］上递减

D.在［word/media/image19_1.png，π］和［-π，word/media/image20_1.png］上递增，在［word/media/image21_1.png］上递减

解析：画出y=cosx在［-π，π］上的简图，易发现y=4cosx在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减.

答案：A

3.y=cos（x+3π）是（ ）

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数

解析：由于y=cos（3π+x）=cos（π+x）=-cosx，且具备-cos（-x）=-cosx，

∴y=cos（3π+x）为偶函数.

答案：B

4.函数y=word/media/image22_1.png（x∈R）的最大值是（ ）

A.word/media/image23_1.png B.word/media/image24_1.pngC.3D.5

解析：由y=word/media/image25_1.png(x∈R），得cosx=word/media/image26_1.png.∴|word/media/image27_1.png|≤1.∴word/media/image28_1.png≤y≤3.

答案：C

5.求函数y=1+cosx，x∈［0，2π］的图像与直线y=word/media/image6_1.png的交点坐标.

解法一：先画出y=1+cosx在［0，2π］上的图像与直线y=word/media/image29_1.png的图像，观察图像即得交点坐标为（word/media/image30_1.png）、（word/media/image31_1.png）.

解法二：解方程组word/media/image32_1.png

得cosx=word/media/image33_1.png.

∵x∈［0,2π］,

∴x1=word/media/image34_1.png,x2=word/media/image35_1.png.

故交点坐标为（word/media/image36_1.png，word/media/image29_1.png）、（word/media/image37_1.png）.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是（ ）

A.-1B.word/media/image38_1.png C.word/media/image39_1.png D.-5

解析：y=-2（cosx-word/media/image40_1.png）2-word/media/image40_1.png,

又∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=word/media/image40_1.png时，ymax=word/media/image41_1.png.

答案：C

2.下列各式：①sin185°；②cos504°；③sin（word/media/image42_1.png）；④cos8.6π；⑤sin273°·cos125°，其中为正值的个数为( )

A.1B.2C.3D.4

解析：逐一验证，并将负角化正、大角化小.根据最终换成的角所在的象限确定其值的正负，可知⑤为正值.

答案：A

3.下列命题中正确的是（ ）

A.函数y=sinx在（0，π）上递增B.函数y=cosx在（word/media/image43_1.png）上递减

C.函数y=sinx在（word/media/image44_1.png）上递增D.函数y=cosx在（π，word/media/image45_1.png）上递减

解析：处理三角函数的单调性问题，一般都借助它们的图像.联想或画出y=sinx和y=cosx的图像，即可判定C正确.

答案：C

4.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（ ）

A.（word/media/image46_1.png）∪（π，word/media/image47_1.png）B.（word/media/image48_1.png）

C.（word/media/image49_1.png）D.（word/media/image48_1.png）∪（word/media/image50_1.png）

解法一：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦函数图像，从图像中判断.

解法二：在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线的定义判断.

答案：C

5.若函数y=sinx和y=cosx都是减函数，则x是哪个象限的角( )

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：由y=word/media/image51_1.pngcosx-1，且x∈R，可知

ymax=M=word/media/image52_1.png，ymin=m=word/media/image53_1.png.因而M+m=word/media/image54_1.png=-2.

答案：-2

6.设M和m分别是函数y=word/media/image28_1.pngcosx-1的最大值和最小值，则M+m=____________.

解析：只需在同一坐标系中画出y=sinx和y=cosx的简图，就可以非常直观地得到 答案.

答案：B

7.cos（-1 650°）+sin570°的值为_____________.

解析：原式=cos1 650°+sin570°

=cos（4×360°+210°）+sin（360°+210°）

=cos210°+sin210°

=cos（180°+30°）+sin（180°+30°）

=-cos30°-sin30°=word/media/image55_1.png.

答案:word/media/image56_1.png

8.试问方程word/media/image57_1.png=cosx是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由.

解：可借助函数y=word/media/image57_1.png和y=cosx的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解.如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数.

如图所示，y=word/media/image59_1.png的图像关于原点O对称，y=cosx 的图像关于y轴对称，所以y轴两侧的交点是成对出现的.在（0，+∞）上研究y=word/media/image57_1.png和y=cosx图像交点的情况（参考图）.

因为cos100≈0.86<1，且当x>100时，y=word/media/image57_1.png是增函数，所以当x≥100时，y=word/media/image57_1.png≥1.

又31π<100<32π，从图像中可得知直线 y=word/media/image57_1.png与曲线y=cosx在（0，30π］中从0开始每相隔2π会有两个交点，所以，在（0，30π］上共有30个交点，在（30π，31π］上有一个交点.总之，当x>0时有31个交点.

所以函数y=word/media/image57_1.png和y=cosx的图像总共有2×31=62个交点，即方程word/media/image57_1.png=cosx的解一共有62个.

9.求函数y=word/media/image60_1.png+lg（36-x2）的定义域.

解：欲求函数定义域，则由

word/media/image61_1.png

取k=-1、0、1，可分别得到

x∈（-6，word/media/image62_1.png］或x∈［word/media/image63_1.png］或x∈［word/media/image64_1.png），

即所求的定义域为x∈（word/media/image65_1.png］∪［word/media/image66_1.png］∪［word/media/image67_1.png）.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c117965d541810a6f524ccbff121dd36a32dc480.html