备课故事

在我们研究方程的日子里

陈千举

当接到吴老师让我思考一下“方程的意义”这节课时，我的心里有种复杂的激动。令自己兴奋的是，能和吴老师共同完成一节课的研究该是多么幸运的一件事；这个过程将给我带来多大的收获呀！高兴的同时压力也萦绕心间，作为吴老师带出的年轻老师，上出的课应体现出一些吴老师的意图，甚至水平。

“方程”这个内容真的不简单，他是学生代数思想的启蒙。吴老师让思考的初期，我搜集了一些“方程的意义”的相关课例，也查阅了一些学科性、教育性的书籍，并且我为了更多了解学生，也做了一些学前调研。这样我产生了一些思考：

方程是什么？

如果单从小学数学教科书中查看，不难发现，大多定义为“含有未知数的等式叫做方程”；如果目标是让学生理解这句话，应该不是件难事；从以往教学设计中，我们能看到，学生通过对不等式和等式的对比，对等式中不含未知数和含未知数的对比，很顺利的能辨别出方程的样子。但能辨认方程就是理解方程了吗？通过前测，我们发现，学生往往不管是已有经验，还是课上经过学习，都经常片面认为含有字母的等式才是方程，难道未知数等价于字母吗？“核桃质量+20=50”，“20+□=100”就不是方程吗？我个人认为，式子中的“文字”、“符号”都是学生在接受用字母表示数之前很重要的认知环节，学生为什么在学习方程时更多的偏向于字母呢？偏重于字母就说明学生的认知已经达到更高的抽象层面了吗？

我个人认为，从学生不接受等式中的文字和图形符号可以推断学生对用字母表示数理解还比较片面，对代数思想没有达到较深刻理解的地步。既然学生对参与在等式中的字母感受的还不够，我们也可以推测，学生在一些情境中寻求等量关系列方程显得困难是相对必然的现象了。为使学生更好的接受方程，我想在教学中设计一些环节，引导学生在寻找等量关系、表达等量关系时，再次经历用文字、图形符号，以及用字母来参与等式的过程，这样也许会对字母起到一些过渡服务作用，希望能让学生对字母的感受更丰富，对方程的认识更全面。

方程的思想是什么？

通过查看资料和个人思考，我把方程的思想暂时理解为：为寻求未知量，而寻找到未知量和已知量之间的联系，且在这个过程中把未知量先等同于已知量，和已有的已知量进行相关运算，形成等量关系；从而之后能帮助解答出未知量。

理解到此，我认为方程这节课在方程思想这方面有两个问题需要关注。一是我们都熟知的如何使学生学会寻找等量关系；二是学生怎样才能在寻找等量关系时较为轻松的把未知量等同于已知量来看。其实两个问题有着密切的关系，这两个困难似乎都与学生长期的算术思想有关，这种算术思想给这一刚刚与学生见面的方程（代数思想）带来了不小的负面影响。仔细研读教材，教材已经为我们做了很好的工作。比如学生已经对算术思想根深蒂固，很容易走向求未知数；这种情况下，如果我们的情境再像以前那样，最终以求未知量的问题结束，恐怕学生很难摆脱求解的欲望；但如果向教材中那样，在刚接触方程的过程中，情境都只是对事件的表述，这样学生从思想上对求解未知量的意识会放松一些，这样会为我们未知量参与等同于已知量的运算提供有利条件。

与吴老师沟通过一些思考和教学设想后，吴老师肯定了我的一些想法；并为我提出了一些建议：第一，能不能在教具上做些文章，做一个让学生可以到前面动一动的天平模型；第二，能不能让学生结合方程讲故事。我努力感悟着吴老师的建议，为更好把这些想法与学生接轨，我做了前测，而且进行了试讲。我感觉到了一些，看来这些在课堂中都能实现。吴老师及时表扬了我，同时也提示我：“教具做得很好，但能不能用得再充分些？讲故事不错，我更加坚信方程就是讲故事。学生讲得如果单调，可以尝试教师和学生共讲。”我在欣喜中越发体会到吴老师其中的一些用意，我个人理解如下：

“天平”到底和方程有什么关系？

为什么多版教材都用天平来作为认识方程的引入素材呢？直观解读：天平更容易从直观上让人认识到左右两边的大小关系；或是站在方程的角度，更有利于直接表达出左右相等的关系。我们都知道，在我们生活中的各种情境中都存在着等量关系，而这一关系对于方程格外重要。但长期的算术思想深深的影响着学生的思维方式，一般的情境很容易使学生像解题一样把注意力放到未知量身上，这样很难引出带有代数思想的方程。如何才能淡化学生对未知量的过度关注呢？天平真的有很明显的优势，天平让相等的两个量明确地显现在眼前，这时如果提谁和谁相等，视觉冲击力会起到一定作用。

既然天平能帮助学生更轻松地寻找相关等量关系，我们为什么不把天平的效应更大化呢？有形的天平作为我们认识方程的引入，能让学生感受到“等号”可以表示左右相等的关系。当学生意识到天平如何表达相等关系后，我们在之后其它的情境中何不引导学生联系情境构造隐形的天平呢？当学生有意在各种情境中构造天平时，学生受算术方法的影响会不会随之减少呢？这样是否会更有利于学生更快接受具有代数意义的方程呢？

方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？

从事件中寻找等量关系，列出方程，可以说是一种建立数学模型的过程；如何让学生更好的经历这个建模的过程，使学生更轻松的接受这个模型，我想单方面去让学生经历从事件中提取还不足以让学生接受充分。我们经常说数学源自生活，又回归于生活。这就告诉我们，建立数学模型应该是提取加还原的过程，所以，在教学中，前期我们可以搜集较为丰富的生活事件，引导学生不断地经历提取等量关系，列方程的过程；但在后期应让学生面对方程这个已有模型，让学生去赋予它更多现实含义，当学生能够把模型与生活建立联系时，也许他才真的开始接受这个模型了。

算术法对学生认识方程真的只有负作用吗？

仔细想想，在我们进行概念教学课时，我们经常用到对比的方法。对比会让人把新概念与原有概念建立联系，并进行区别；这样会使新概念更易被学习者接受，新概念也容易更加清晰，多了些许生命力。

在方程地学习过程中，我们经常更多注意到算术方法带给学生接受方程时的负面影响，所以我们经常会尽可能回避算术法，试图想尽一切手段让学生暂时远离多年熟悉的算术法，一节课学生如果没有出现算术法似乎让我们庆幸，这将是我们成功所在。

我个人认为，努力让学生建立起代数的思想没有错，但单纯去回避学生根深蒂固的算术法也许不是最好的方法。因为我们知道在解决问题时，“堵”和“疏”哪个更有效呢？所以本节课我尝试在建立方程概念的前期尽可能降低学生对情境算术法的意识，而当学生逐渐认识方程以后，我准备在最后出示一个情境，先让学生很自然的用原来的算术方法去解决；之后改变条件，引导学生找出等量关系，列出今天学习的方程；进而让学生去对比两种方法——撕开这层窗户纸，让学生意识到算术法和方程都是解决问题的方法，它们思路上有所不同，但根据不同情况的需要，都能帮我们求出未知。

小结：

“方程的意义”是学生从算术思想向代数思想过渡的开始，对于学生是个较为困难的过程，这个过程不是一蹴而就的，需要时间。但在不强求学生过快接受的前提下，我想，如果我们的教学能尽可能接近学生在算术思想和代数思想的最近发展区，加速他对方程的理解，应该就达到了我们教学的初衷。

【课后反思】

与学生们上完这几节课，我的感受颇多；课后与听课教师们的互动交流也给了我更多启发。

1.首先对于老师们一些疑问和建议的思考：

（1）对于学生“提早”就出现了用“X”表示未知数，还有必要再强调可以用其它符号表示未知数吗？针对课堂上，出现学生过早出现答案，这个问题该怎样处理？

我个人认为，在本节课中，之所以在揭示方程概念前所出现的算式我在学生认可的情况下，引导学生在表达未知数时分别用了“文字”、“符号”和“字母”三种不同表现形式，这在课前思考中我已进行了阐述。如果对于“方程的定义”学生片面的认为是“含有字母的等式”，我认为这很显然是不够准确的；方程不能停留于一种表现形式，而应该体现一种思想——把未知量享有和已知量平等的权利参与到等量关系的运算当中；我想学生丰富了对未知数表现形式的认识，这样有利于学生更好地体会方程的思想。另外，我们经常认为，学生学习过用“字母”表示数后，“文字”、“图形符号”是不是就变得低级？用“文字”、“符号”和“字母”去表示数难道是简单的低级与高级的关系吗？我想它们更多是哪个更加简单、便捷，在完成代数思想上它们应该不存在高低贵贱之分。在学生刚刚接触代数思想的初期，不让学生过早的产生一些形式化的认识，也许更有利于学生对数学本质进行理解。

（2）x=1是不是方程？

这个老师提到的问题是我认真思考过的。在进行本节课的设计过程中，我也搜集了一些课例，很多时候，作为巩固对方程的定义，我们经常会认为的设计类似的判断题目，最终以它既含有未知数，又是等式，所以是方程告终。我之所以最终选择了教师不人为地出示这类问题，是因为我通过课前通过对资料的查阅，我认识到我们小学阶段对于方程的定义不是一个非常规范、准确的数学定义，而只是充分考虑了小学生认知水平和特点的简易定义。方程的学习是小学生从算数思想到代数思想的一次飞跃，从形式上认识方程不是件很难的事，但学生从思想上接受代数思想却不是件简单的事。而作为教师，在教学中，帮助学生建立这种方程背后的代数思想才是更为重要和艰巨的任务。而仔细想来，像“x=1”，“x=100-20”等这类看似符合我们小学方程定义的方程，它们真的有利于学生更好地认识方程吗？它们究竟“代数思想”还是“算数思想”呢？这也是我不在本节课中把它作为问题进行提出的理由。而且在本节课的最后，学生在用方程表示我和那名学生的身高时，他们说了三个方程“180-32=x”，“x+32=180”，“180- x =32”，我之后引导学生联系以前熟悉的算式对三个方程进行比较，最终把最接近原来列式的第一个方程从黑板上擦掉了，“因为它还不是我们真正的方程”。也许学生刚刚接触还不是很理解，但这不影响我们朝着正确的方向努力。

（3）“买一副球拍付100元，找回20元”学生说不对，教师为什么不顺势讲减法的方程？

这位老师提得很好，在一个情境下让学生构建不同的方程，这样更有利于学生发散思维，多角度思考，对于学生今后列方程也很有好处。但在本节课给“20+x=100”讲故事的这个环节，学生出现这一情况，我没有顺势引出减法方程源自于个人的一种感觉吧。因为我在最后“我与学生站在一起让其他学生找方程”中安排了一组信息下学生列不同方程的环节，所以我在此没有过早让学生进行发散，而是重点比较单一的让学生结合生活建构“20+x=100”，这应该是我对于自己这节课教学层次的调控吧。

（4）对于判断“a+9”不是方程，学生的理由是没有等号，难道有等号了“a+9=”就是方程了吗？教师是否要处理到位？

谢谢这位老师，我觉得有着对数学的敏感和严谨。我想作为执教者，在这位老师的建议下，追问一下，学生应该会把自己对这个问题认识的理由阐述得更到位！

2.本人对于本节课的课后思考：

（1）吴老师的课后学生访谈和一位老师在课后交流时都提到了我在处理一个学生找方程时，在评价上处理得不当。那个学生在找我和一位学生站在一起眼睛上的方程时，提到了站在我旁边的同学戴眼镜，我便出于个人的敏感看似较幽默的提示回答问题的同学不能歧视戴眼镜的同学，最终致使两位同学都没用得到应有地呵护。

这件事给我触动很大，以前我总认为，教学中经常会遇到一些突发小事件，以保护每一个学生的心理感受为宗旨，我们必须在较短的时间要用一些巧妙的评价去化解。这件事情后，我想，作为教师，遇事要提高自己的判断能力，使自己更加了解学生的真实想法，真实感受；使自己更加客观地洞察事情的性质。切忌不要太过于强化自己作为教师的掌控作用，不要太过感情主义。像这次这件事情，如果当时教师用心观察一下两个学生当时的状态，如果他们都没有什么情感上的倾向，作为教师的我更应只倾向于数学问题本身的积极评价，这样会减少人为的把事情搞复杂，同时如果学生本身有这方面的倾向也会被这种简单化地处理引导向积极、单纯的。

心得：“巧妙”的评价也要合理去实施，因为只有适合当时客观的场景下采取的最为恰当的评价处理才有可能达到最好的教育效果；而只有处理的效果达到了最佳才能称为巧妙。巧妙的评价应该有个前提，那就是恰当！

（2）总体来说，我和学生在整节课中交往得很合拍，这对于我来说是非常重要的。这首先能说明这个教学设计应该是符合学生的认知顺序的，因为在教学的进程中他们能顺利、轻松地跟进，看得出他们是一种积极的状态，而且流露着快乐；另外应该可以说学生和我是在一种自然的状态下教学的，只有自然，教师和学生才能更为充分地完成教学的预设和生成。

（3）回想起这节课的备课经历和这节课中的亮点，吴老师真是给我上了节好课！吴老师先是让我独立思考这节课，等我有了一些思考及困惑后，她给我提了两个建议：一是在教具上能不能做点文章；二是能不能让学生给方程讲故事（方程就是讲故事）。等我在试讲中从形式上努力去体现后，吴老师给了我很充分的鼓励，给了我很大自信，当然她也为我提出了更高的要求——教具能不能用得再充分些？对学生的评价还太少，这很重要，课前可以预设两三个好的评价。方程讲故事很好，一定让学生去讲一讲，学生讲得不太丰富时教师可以事先准备些故事和学生一起讲……

就这样有了今天的这节课。与吴老师的每一次交流，都让我对这节课的认识生长着。此时，经过自己的感悟，老师们的互动交流，泉州师范学院苏明强教授的点评，我越发佩服我们的吴正宪老师，这位全国最好的小学数学特级教师，也是最懂得学生的小学数学老师。

从开始吴老师轻松建议我在教具上做些文章，到后来，课上学生不仅可以看“天平”，而且可以亲自动手去操作“天平”，这样的“天平”不仅是老师的，更是学生的；学生在课上能从“有形的天平”最终有意识用心中的“天平”去建立更多生活中的等量关系。吴老师真的厉害！她更了解学生更需要什么样的辅助手段，她让我更加客观的理解了在教学中如何更加合理的利用现代教学手段和传统教学手段。正如课后有的老师看着我的“天平”开玩笑说：“这个陈老师一定要拿好，这可是件宝贝！”此时再让我看它，真的是这样。

“方程就是讲故事！”从开始我有点不太相信学生到学生心存喜悦，努力把方程与自己的生活对接；虽然稍显稚嫩，内容稍显单一，绝大多数学生讲出的故事从数学角度还是比较符合方程的意义的。以往我们的教学在教学一个新的数学概念时，我们经常不缺乏搜集大量的生活情境，教师和学生共同提取其中的数学模型（生活——数学），从而建立数学概念，往往以往我们就停于此。但吴老师的一个“给方程讲故事”，使我们教学中对数学概念的建立不仅从生活到数学，而且又从数学回到了生活。多么重要的一环呀！学生对数学模型的建立，提取固然重要，但提取后与生活的对接方能体现学生对数学的真正理解。这不正是学生所喜爱的数学吗？

教学中一定要有对学生的评价，甚至课前准备几个好的评价。这就是吴老师，教学就是一种交往，交往就要有来有往，学生每每一个表现，教师如何回应他呢？听过吴老师的课，和她交往过你便会有些感触。她不管是和学生，还是和老师，她总能抓住你的闪光点，慷慨地肯定你、激励你！唤起你心底的激情。我想我的教学中也应珍惜每一个学生的表现，欣赏他们做为一个具有独立人格的个体所表现出来的任何自然、独特的想法，正面引导，积极评价；使自己的课堂更加温暖！

在吴老师的指导下完成的这节课，让我体会到吴老师不仅对学生、而且对年轻教师真的有教育家的风范——给空间，善点拨，真赏识，会等待！这是我从中体会到的，也许还还很稚嫩，但这对于我来说已经是我较长期的一个目标了。

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