高考数学专题24 数列求和方法

【高考地位】

数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

【方法点评】

方法一 公式法

解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系；

第二步 根据已知条件列方程求出未知量；

第三步 利用前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式求和结果

例1.设word/media/image4_1.png为等差数列，word/media/image5_1.png为数列word/media/image4_1.png的前n项和，已知word/media/image6_1.png，word/media/image7_1.png，word/media/image8_1.png为数列622121fa45637922c21846e33101cac8.png的前n项和，求word/media/image8_1.png．

【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式：   31e613d95f6aaee8ab4d521d61afd4c5.png．

等比数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式：10f51f472e6254d280c06363cd485941.png ．学科&网

自然数方幂和公式：4fa4b6b8231eded8becf1dfec4489912.png

797c0e186db6f1d47455951cc8ab7cf0.png

9e99aadcfe2d76cefb825a052417ef3e.png

【变式演练1】已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（ ）

A.64 B.100 C.110 D.120

【答案】B

考点：等差数列通项公式及求和

方法二 分组法

解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；

第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；

第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.

例2. 已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项

Sn.【变式演练2】在已知数列ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png， f534bf571b8586180fcd8e4f6ef073ec.png，且18f527440347a8568bd531d10a11b304.png， f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png，则94eacf09c3cfa3695eb2d141bd5e5d43.png的值为（ ）

A. c175417cf36a5448b98f917e3dddc6cf.png B. 3b137c2d16252825e96c6d7e528ab523.png C. 124939f6f4a566c7e96284cae15b00d9.png D. 51398613061a33195a9fcfcf1273aaaf.png

【来源】【全国百强校】河北省2017届衡水中学押题卷理数 II卷

【答案】C

【解析】由递推公式可得：

当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 为奇数时， 9398897048f5983e7306704425482911.png ，数列9d979f682d1c5aeba9790c1f76816fad.png 是首项为1，公差为4的等差数列，

当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 为偶数时， bb1e70cb7b270ff7a447d380f010ccd0.png ，数列9d979f682d1c5aeba9790c1f76816fad.png 是首项为2，公差为0的等差数列，

a308ab828eadb62f90dd3ab118de0958.png

本题选择C选项.

【方法点睛】分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；

(2)通项公式为an＝e64ce4098311022154f0b217fab37824.png的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 学科&网

【变式演练3】已知word/media/image37_1.png是等差数列，word/media/image38_1.png是等比数列，且word/media/image39_1.png，word/media/image40_1.png，，word/media/image42_1.png．

（1）求的通项公式；

（2）设word/media/image44_1.png，求数列word/media/image45_1.png的前word/media/image46_1.png项和．

【答案】（1）word/media/image47_1.png；（2）word/media/image48_1.png．

考点：1、等差数列；2、等比数列．

方法三 裂项相消法

解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；

第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和.

例3. 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png:93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png,a4dcc7f0043db1cee18457720c31dd8c.png,098a79eef606406a630640c9351c33db.png,…, bf0a013f88312985c70574f386f37e29.png,…,若d8013e51fa723f9e3f2cb22719392809.png，那么数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为（ ）

A．12bd40062aa66bc122b6e84d6784c530.png B．bb7a5b211d88aec3be4f5259ab433b80.png C. 040d80e70d56d353f409f7ca1910ccfd.png D．9a4976a7abfedaa6fc04d018d1042ff5.png[来源:学科网ZXXK]

【答案】B

【变式演练4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{bed0f6fffa0e7386b95a746d2a1e6dfe.png}的前100项和为（ ）

A．dddb0e0ff6560bd6ea9904f55f35c412.png B．b7c632bd4a0a123b9f6457481ce42022.png C．8dd2f77c30a88a050259a81546a02524.png D．60c121839fd7222b147b89077b28339e.png

【答案】A

【解析】

试题分析：由a5=5，S5=15，可知f5405a572448c1d4208e4e2d312ce42d.png 55190daae75b08d95a7bfba37029527d.png

1632acedfb781b49f8a42a0ef1db5b4e.png学科&网

考点：数列求和

方法四 错位相减法

解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；

第二步 确定等差、等比数列的通项公式；

第三步 构差式：即写出44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；

第四步 求和：根据差式的特征准确求和.

例4. 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png， 0dac5835375e797c79bbe35b63b9d219.png.记a95fc2c23f2453634ab78f58e5587c06.png，则数列71039120469088b0580a3298302e4005.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和a710c15a494e773869a3ac58f2cbd90a.png__________．

【答案】52f005f894e03ee2846a756b75af3c68.png

【变式演练5】已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，且1c79e259925be32d2455a3cf863bd1e9.png（f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png）.

(Ⅰ) 求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式；

(Ⅱ) 令00ba2f4351fb3e99416cefc760458bdf.png，求数列eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】（Ⅰ）cd4b55163997c2fc39328db48ed32dc8.png；（Ⅱ）082a0a5b9f3dcc5a594596c168a5509a.png.学科&网

(Ⅱ) 由(Ⅰ)，5fb254d72d138f14892310f28ed87626.png.

则dfeaa694f90262c748abb6705051aade.png，

所以0fdb1d611c5ad85769575be757284da9.png，

则e557601316b1e64573a144f38ef02309.png730245a4bdc7beb1458c8fb91cf29aa8.png4e0ba83b1a1fdfff4671d51878f9eca1.png.

所以082a0a5b9f3dcc5a594596c168a5509a.png

考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.

【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.

【变式演练6】已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，且47e8f3a2e4d07a4bdae8e936f983855c.png，5b9599b3e739467e6dbb2bf1943ad8d9.png成等比数列.

（1）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差不为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png满足d2a7bbcb1d68478d4f2ac1f4004f12e6.png，求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】（1）b64d4e0f1425469c10c6ab88b333d995.png；（2）ce276e6a0e50952139864788d8168e38.png.学科&网

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，利用47e8f3a2e4d07a4bdae8e936f983855c.png，5b9599b3e739467e6dbb2bf1943ad8d9.png成等比数列，从而可求出数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png

考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.

方法五 倒序相加法

例5.函数

b667f8fd9f8fa5fb4fa6fdb6fcf39299.png，则数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式为__________．

【答案】e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png

【解析】由5f6df8ebff47882bf3e3111d8775cd56.png，函数1cee77d2a8829108d804f9f527676ae1.png为奇函数，

7739e98b72637c2b35feb3cfdb64a396.png，

由1cee77d2a8829108d804f9f527676ae1.png为奇函数， f6046a16632c34546e444e4574148e47.png， c3f46bf60f9b402f2f39e56fa5762a8a.png，

∵5e0ef658db2e2d889bb9284ae4ea4d76.png，①

考点：倒序相加法求和.

【变式演练7】已知函数19e508321b88e36d8c1fba03001900c2.png

（1）求eaeb9e8e0b76e91c1895fc5e65c6feb4.png的值；

（2）已知数列f8d806056239769e94dcc41f4dceba73.png,求证数列word/media/image133_1.png是等差数列；

（3）已知3e4d151cb7443b949f9d7aeeb904548c.png，求数列e3bb5d7494fd71849ae4604020e3564f.png的前n项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png.

【答案】(1) S=06fb4ab1ceee09254c2b6de31d2d31bd.png. (2)见解析；（3）44d853a7808a331d95220fcb38095649.png=6a2384a20ec56d172884b4bd77c0467d.png 。[来源:学科网ZXXK]

(2)由两边同减去1,得word/media/image142_1.png.

所以word/media/image143_1.png,学科&网

所以word/media/image144_1.png,word/media/image133_1.png是以2为公差以word/media/image145_1.png为首项的等差数列. １０分

（3）因为word/media/image146_1.pngword/media/image147_1.png.

因为3e4d151cb7443b949f9d7aeeb904548c.png，所以3c15d63521cdaa4b8f3c2d078addfbea.png

44d853a7808a331d95220fcb38095649.png=c65e6132b00ba61d34000571ad12d83d.png （3）

c480eb248ccd2a9ed084ae483b080d15.png=4eda94d52ca5a65207838abafbb6e7c9.png （4）[来源:学,科,网] 学科&网

由（3）-（4）得

c480eb248ccd2a9ed084ae483b080d15.png=8a4ef31c6ee731d64f06bf0360d21d0f.png=47f6a5aa364835461db6f374b2aa116d.png

所以44d853a7808a331d95220fcb38095649.png=6a2384a20ec56d172884b4bd77c0467d.png

【高考再现】

1.【2015高考安徽，理14】已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png是递增的等比数列，7a83dde0bf423e6855668f8b097d5e73.png，则数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和等于 .

【答案】word/media/image158_1.png

【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前word/media/image160_1.png项和公式.

【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是word/media/image161_1.png，则word/media/image162_1.png（等差数列），word/media/image163_1.png（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明word/media/image164.wmf；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前word/media/image165.wmf项和公式等.

2.【2015高考新课标2，理16】设44d853a7808a331d95220fcb38095649.png是数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和，且bc6baa69a2f1e56a04a43097d583a4e0.png，a67e28a3a3eb274365aab8a6fa6f69e0.png，则dcacbcc08bfb1c5a4d88b4c867463880.png________．

【答案】1684359d365c6062e967b5541a9b4892.png

【考点定位】等差数列和递推关系．

【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的关系，从而转化为edc72ba9ef2f57608d09431e43a0fdbe.png与44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的递推式，并根据等差数列的定义判断f2e8de14087e56c2c5218ead8be2e4f6.png是等差数列，属于中档题．

3.【2015江苏高考，11】数列43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png满足75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png，且ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png（f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png），则数列c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png的前10项和为

【答案】8fcddcda9ba1c146e59b178ffa160962.png

【考点定位】数列通项，裂项求和

【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用. 学科&网

4.【2017山东，文19】已知{an}是各项均为正数的等比数列,且07124a6914035e69e381746afc42a60d.png.

(word/media/image188.gif)求数列{an}通项公式；

(word/media/image189.gif){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知31022a4974714ab2fc313976384b4a8b.png,求数列dfe38c559ec92e4673a086a38ddcfb47.png的前n项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】(word/media/image188.gif)cd4b55163997c2fc39328db48ed32dc8.png；(word/media/image189.gif) 61f5cce53979beb8e57a788268cbc598.png

【解析】

试题分析：(word/media/image188.gif)列出关于f683c2d696a83200971913fd45339484.png的方程组,解方程组求基本量；(word/media/image196.gif)用错位相减法求和.

试题解析：(word/media/image188.gif)设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，由题意知, dae6fc6f66327f04353981b9cb0712ae.png.

又4a4ee0de5251c721707a8e19df8ea17f.png，

解得423694524890983d55d9a3284415dd25.png，

所以cd4b55163997c2fc39328db48ed32dc8.png.

两式相减得260ed7aa856bc0c6d45d0d6ce79eca51.png

所以61f5cce53979beb8e57a788268cbc598.png.

【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.

【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．学科&网

5.【2017天津文，18】已知为等差数列，前n项和为word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png是首项为2的等比数列，且公比大于0，

word/media/image208_1.png.

（Ⅰ）求和word/media/image207_1.png的通项公式；

（Ⅱ）求数列word/media/image209_1.png的前n项和word/media/image210_1.png.

【答案】（Ⅰ）word/media/image211_1.png..（Ⅱ）word/media/image213_1.png.

试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列word/media/image215_1.png的公差为，等比数列word/media/image217_1.png的公比为word/media/image218_1.png.由已知word/media/image219_1.png，得word/media/image220_1.png，而，所以word/media/image222_1.png.又因为word/media/image223_1.png，解得word/media/image224_1.png.所以，.

由word/media/image225_1.png，可得.由word/media/image227_1.png，可得word/media/image228_1.png，联立①②，解得word/media/image229_1.png，由此可得word/media/image211_1.png.

所以，的通项公式为word/media/image231_1.png，的通项公式为word/media/image233_1.png.

【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.

【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，

6.【2017北京文，15】已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png和等比数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（Ⅱ）求和：419df07cfb4a5eea3f652e39a3cfd6f6.png．

【答案】（Ⅰ）e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png ；（Ⅱ）25ffec3d0424589f57efe56af2a6219f.png.

7．【2017山东，理9】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，a44939749a64914d45ec42e38b69e6c1.png所围成的区域的面积word/media/image243_1.png.

【答案】(I)word/media/image245_1.png（II）word/media/image246_1.png学科&网

因为835372d52cbf3069da974c246201a23d.png,所以word/media/image249_1.png，

因此数列word/media/image250_1.png的通项公式为word/media/image245_1.png

（II）过……word/media/image252_1.png向word/media/image253_1.png轴作垂线，垂足分别为word/media/image254_1.png……word/media/image255_1.png,

由(I)得word/media/image256_1.png

记梯形word/media/image257_1.png的面积为word/media/image258_1.png.

由题意word/media/image259_1.png，

所以

word/media/image260_1.png……+word/media/image261_1.png$来&学科&网源：ziyuanku.com

=……+word/media/image263_1.png word/media/image264.gif [来源:学§科§网]

又word/media/image265_1.png……+word/media/image266_1.png word/media/image267.gif

8.【2017天津理，18】已知word/media/image269_1.png为等差数列，前n项和为word/media/image270_1.png，word/media/image271_1.png是首项为2的等比数列，且公比大于0，

word/media/image272_1.png,word/media/image225_1.png，word/media/image227_1.png.

（Ⅰ）求word/media/image269_1.png和word/media/image271_1.png的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和word/media/image274_1.png.

【答案】 （1）.word/media/image276_1.png.（2）word/media/image277_1.png.

【解析】

（II）解：设数列word/media/image279_1.png的前word/media/image280_1.png项和为word/media/image281_1.png，

由word/media/image282_1.png，word/media/image283_1.png，有word/media/image284_1.png，

故word/media/image285_1.png，学科&网

，[来源:学&科&网]

上述两式相减，得word/media/image287_1.png[来源:学科网ZXXK]

word/media/image288_1.png

得word/media/image277_1.png.

所以，数列word/media/image279_1.png的前word/media/image289_1.png项和为word/media/image290_1.png.学科&网

9.【2015高考浙江，理20】已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png且cb6954257075735c2ac8f53f757d542f.png=9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png-6a2ded63ebfb3deb8d76656e00d56e44.png（24eceef5ecd9442bb520415c23d23634.png01f1ef6ce3733063abc2e0c7db079d4c.png）

（1）证明：16aa4b9e374dabeca09e561466d727dea.png（24eceef5ecd9442bb520415c23d23634.png01f1ef6ce3733063abc2e0c7db079d4c.png）；[来源:Zxxk.Com]

（2）设数列8898f744f555f9a51b9cddd176937375.png的前word/media/image302_1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，证明7d68eaa773e651193558f86af4b5ffe6.png（24eceef5ecd9442bb520415c23d23634.png01f1ef6ce3733063abc2e0c7db079d4c.png）.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）首先根据递推公式可得word/media/image306_1.png，再由递推公式变形可知

【考点定位】数列与不等式结合综合题.

【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利

用条件中的递推公式作等价变形，即可得到word/media/image308_1.png，再结合已知条件即可得证，第二小

问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将word/media/image309_1.png转化为只与word/media/image310_1.png有关的表达式，再结合已知条件得到word/media/image311_1.png的

取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之

前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，

函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在

后续复习时应予以关注. 学科&网

10.【2015高考山东，理18】设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png.已知4fb92da6bccde862adee66c30045874b.png.

（I）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（II）若数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png满足56d90174798def64a158fc4f45a50803.png，求d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前n项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】（I）9d8185b73fc0bf9d43e657b3cd2a33a7.png; （II）a7c1520e8aa585317c869048cfd4dec0.png.

所以0ba26c5ebb7ab68638c8cd582f356d2a.png

当eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png 时，

37a9ff80f8a313cfc10e134bbdd284b1.png

所以d73921b66e3505889e18553ef5801f80.png

两式相减，得

1e9910e08e488e4f0c00ce725e0a52cb.png 32ee31ff8f76f57e15c7e3822f0c3efe.png

cefdb1044082ffa6b574bf6ec87ca9ac.png

所以a7c1520e8aa585317c869048cfd4dec0.png

经检验，6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png 时也适合，学科&网

综上可得：a7c1520e8aa585317c869048cfd4dec0.png

【考点定位】1、数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png 与通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png 的关系；2、特殊数列的求和问题.

【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用44d853a7808a331d95220fcb38095649.png与通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png的关系求9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png的过程中，一定要注意6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.

11.【2015高考天津，理18】已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足89ced41b316e40a5e0fb0b2225413f3f.png，且de29f3d047b11e9dd576f9f44006e254.png成等差数列.

(I)求7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的值和3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式；

(II)设56476615eb923fdf692e3dd5c368b3a2.png，求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和.

【答案】(I) 6cf3bfac8475521808ebcd38cc47520f.png; (II) e9ec236cb936e3dc308ebc986c3b7fcd.png.

(II) 由(I)得d3658062e82b1e0f39a15f85892a15f5.png，设数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，则

74d777001e70eb12c3715a154550ddaa.png，

100046caf7add7b5fe0e7d93caa75d15.png

两式相减得

c84d6774b11b6133e6826159159c05ec.png，

整理得e9ec236cb936e3dc308ebc986c3b7fcd.png

所以数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为8bf00b63c17887301ea6caedd65c3eeb.png.

【考点定位】等差数列定义、等比数列及前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式、错位相减法求和.

【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.

12.【2015高考四川，理16】设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和7455cc9c24a79b651112697eb4c0692d.png，且afd2ee9c990a411cb7accf29eaa77d91.png成等差数列.

（1）求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式；

（2）记数列edc1e617656e6dc3c443df2e6420eb11.png的前n项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，求得bac27b42fc787fd9168155476a6708c7.png成立的n的最小值.

【答案】（1）cd4b55163997c2fc39328db48ed32dc8.png；（2）10.

所以84f30cbebc1593f40eeb7feccc534246.png.

由bac27b42fc787fd9168155476a6708c7.png，得68a7abf3c2db515060d01db216f56fe5.png，即4ee12c110619de32971521a6cb2ac5ae.png.

因为ee42d05b9eca752ddc72757f904f2d3d.png，

所以8aef9cbafe18765a0213c30887871311.png.

于是，使bac27b42fc787fd9168155476a6708c7.png成立的n的最小值为10.

【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

【名师点睛】凡是有44d853a7808a331d95220fcb38095649.png与9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png间的关系，都是考虑消去44d853a7808a331d95220fcb38095649.png或9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png（多数时候是消去44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，得9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与7aeb2d010ba44e46922e3a8719744344.png间的递推关系）.在本题中，得到9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与7aeb2d010ba44e46922e3a8719744344.png间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.

13.【2015高考湖北，理18】设等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公差为d，前word/media/image375.wmf项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，等比数列eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png的公比为word/media/image378_1.png．已知d33b6bd6688672375da68e69d5368954.png，27b7a4322ada2d2f7f4372809d4bda4b.png，ff31adcad9ad386c21adeb2bcdbe37aa.png，d616929842e0ca5fae2089af1176f567.png．

（Ⅰ）求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png，eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png的通项公式；

（Ⅱ）当c90e264ca36e3cac311991e4ce1da2fb.png时，记2b2e8d94aaada9721305a7cabdd88ce5.png，求数列b5c3f85a724406237a4187cbf2a0b9eb.png的前word/media/image388_1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png．

【答案】（Ⅰ）e11f8ad2c6dd3133ab0783b739d07743.png或787d17862d3b3d89c8c685ffc3241a50.png；（Ⅱ）ec21512c9e75afb4a7427122b1a94abd.png.

cb3730fc0a11cae83b11f632afaae383.png. ②

①-②可得c11e1a7a91a5d5b8d90d82708783ccec.png，

故0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.pngae2097f625f2b8b23cbfc8b8ae2f032c.png.

【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前word/media/image398_1.png项和.

【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列word/media/image399_1.png及一个等比数列word/media/image400_1.png对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的word/media/image401.wmf项是一个等比数列．

14.【2015高考新课标1，理17】44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为数列{9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png}的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和.已知9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png＞0，5f1b3cecf93f62e80a2e535289f91dc0.png=dca68cbaa87e6cc1dcf782328aa1183a.png.

（Ⅰ）求{9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png}的通项公式；

（Ⅱ）设051187af6e8bc353d145f03f5ffb3a7b.png ,求数列{c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png}的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和.

【答案】（Ⅰ）d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png（Ⅱ）b7e6e6c7b373e22c83eef3de0486fe5a.png

所以9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png=d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png=740d75c4580e160a5d10e2c6764f6b78.png，

所以数列{c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png}前n项和为bf6e0d31f0eccfc7941f8c9bb3947279.png=b46deb1ef8c9b63722a4d126589988ba.png =b7e6e6c7b373e22c83eef3de0486fe5a.png.

【考点定位】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

【名师点睛】已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用b9f68f229548b3102c374e672efb563d.png将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.

15.【2015高考广东，理21】数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足d68d76d8b4780583b51de18392d4ff38.png，

(1) 求a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png的值；

(2) 求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png；

(3) 令d33b6bd6688672375da68e69d5368954.png，fcf9c3094bbf8b764eddbdd7994845e7.png，证明：数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和b1a0ae3ef8d4e274cc5c5578f1d5cdb8.png满足d1b9ba323d5b9f88fa7878a3c2bc7c25.png．

【答案】（1）eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png；（2）1182e8fa8a899a814f111b1fcb9b2771.png；（3）见解析．

（3）依题由97dc3240e6d2010be8f674d09701c956.png知d33b6bd6688672375da68e69d5368954.png，5adb8f9e0150f4de3e016c57d6f508f7.png，6ff16bc3bda4dbf977139e4cd1191148.png，

【考点定位】前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和关系求项值及通项公式，等比数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，不等式放缩．

【名师点睛】本题主要考查前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和关系求项值及通项公式，等比数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，不等式放缩等，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（3）问难度较大，首先应能求得696d551657dd0ad011e88bc4daadccab.png，并由ae4496ae209d5ecad9f799d5fd4bd884.png得到11465b315a570b589fde8b1c433f27cd.png，再用构造函数（fbc13cf4cea364d390debac684dda064.png）结合不等（f12767bfe6516120d5b6238a657e1f9a.png）放缩方法或用数学归纳法证明b1d6522596d370fd829b74db2230a8a0.png．

【反馈练习】

1．【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考试题】已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（ ）

A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500

【答案】D

【解析】由 的定义知 ，且若 为奇数则

则

选D

2．【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题】已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png， db41f23578b920ea4416f2c591488f8a.png，则数列2308a83d6bb3c35f3ffd2832090af0e6.png的前40项的和为（ ）

A. 63ea62d53355a3e12aceac87ecd709a0.png B. 4ac0704af61ed129aeae6f8441d0569e.png C. e036232b63c1942f79255b62ad89d2c9.png D. ee052fe380e4495adee539a1d2f572d5.png

【答案】D

3．【湖南省株洲市2018届高三上学期两校期中联考数学（文）试题】数列767a1d3b0c958c9cb89ffc7e1f6e9889.png的前2017项的和为（ ）

A. 2f2d1f57300bd2c23422f0bbdcf5ddad.png B. b534408a9bd7fc53cafb6ff48a1f84ac.png C. 651859fbc5e95fb66a021e9be6d69a70.png D. a60a8db1a74fdeb373b0c7e0a5bb2873.png

【答案】B

【解析】通过已知条件得到： 256ed9cda12d195fe77893c3afa13008.png ，裂项累加得到： ccd9d10fe61e591c47a358e8329f69c9.png

故结果为b534408a9bd7fc53cafb6ff48a1f84ac.png，答案选择B．

4．【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研数学（理）试题】数列8354fb569e30b95ca6fccaa2800c3898.png中，已知对任意正整数7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，有3fb45d1e9351f88f80f9240f200603e3.png，则948583a3d058e9f3149b0a93c10cb8f5.png（ ）

A. d1ddd7ab447085182f9da24551086f55.png B. d12d82b11f8b74f0f1ebfe72f5d0a41b.png C. fe0ccbd780ca9cdc7b8cf2764b239d07.png D. 24ece9011cba8fb1e93ed5230ca62da2.png

【答案】B

【解析】当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时， ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时， 5ad4dd9be94ed1de5a8f4600a36a53aa.png ，所以d367e4e96b95a62dce2096f3c0af4474.png，则61de143fe6c1c490f891592142fe6619.png ， 662303eb3980846d807cae562a7c1cbd.png，选B.

5．【湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（理）试题】已知44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，若4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png且5d7c51bd0c7d3df6a494888059a63cbe.png，设d71ca52fed776a20b320896a6c7557d1.png，则481eb76b4442119a429a3ecb9c2a1ec7.png的值是（ ）

A. 0136d0a15809df57c40d407885d8ef10.png B. df58976e801b655554bf90333d8fc70b.png C. ba635960687c0213fdf036b62ec6f3e3.png D. 57d3c82e80753523385bb70ab1424264.png

【答案】B

6．【广东省珠海一中等六校2018届高三第一次联考数学理试题】数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，且对于任意的f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png都有9acc2fbb634bdaba7f709eb11f3253c4.png，则a8f06c67ff9189a48594c6901634f825.png等于（　　）

A. 57d3c82e80753523385bb70ab1424264.png B. 05d3b778cf41f0f267a483c9150ab053.png C. ba635960687c0213fdf036b62ec6f3e3.png D. 46b7e9102690373b7af3567a129fadc8.png

【答案】D

【解析】由题意可得： a1f9335cb298c285bed1d3741360d77e.png，则：

c2837a32278834cc68c3ea970dcac20c.png，

以上各式相加可得： 0fe4998575739a7d792026b28277647d.png，则： 29b757b0c2e2c591cfa7ecbba2b12fa2.png，

e4d708e42ba12e0e7c38c7867aead261.png.

本题选择D选项.

7．【安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学文试题】已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足62d6e88ffdc3cf7f619566803fc246ff.png， 7809a020dca69e036987d89c4875522a.png是等差数列，则数列2308a83d6bb3c35f3ffd2832090af0e6.png的前10项的和19119a6987535cde86b5cc5b300742e2.png（ ）

A. 220 B. 110 C. 99 D. 55

【答案】B

8．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考数学（理）试题】设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项积是0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，且75111125664b8497265828131a158be6.png， b4339a5b97e3c11c9a9ca0f962d7760f.png.若63fcda8e89c344897664332b0be40e2e.png，则数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为__________．

【答案】b68e6e092acccd66055ab9d838df0335.png

【解析】2dc1319845cfe5beb3be5edbf1c8f9cc.png 154e16f3e7022f73c3bc055ea25b96db.png

c1e3ca941e38a8d9f4320a67de1ab99f.png

a1b308821b97ee2d4c7f7f694ab8fa62.png

点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如797b4795f3fba36c1a38c916c0bf6e49.png (其中02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如c70125d21fd36f589922e9ccda757f76.png或c558d094c4eb5b98ddf89ce370e5bca7.png.

9．【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考数学（文）试题】对于数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，定义数列a9bbe7e9c0fa40c63de2fdcd2d4b1102.png为数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的“c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png倍差数列”，若38d17d69228fab15c82d459be5ca64c8.png的“c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png倍差数列”的通项公式为22b0c363a8d77a3b783519d52f3092bf.png，则数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png__________．

【答案】5c398ff73b25bcd60d2f5078e81afc7e.png

10．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考数学（文）试题】已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中， 132623cd81a369133ba8501f056924de.png.

（1）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）设数列26a9b990285ef02628be7f0eccac7c1b.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，求证： 7aba45dbece168f78a823a46744f169e.png.

【答案】（1）0ab38af71838c85fc7b1ca0c04bb0c6f.png；（2）见解析．

（2）由（1）知， 6716f2ad9de6faca7b6e997b3fc3d8a4.png，

∴4a91ac7cf6e5c01c01b9dcebac017b44.png ea7584831e028497e9fa58d332b7545e.png，

令237350dd8261f9097e3e438386b55c15.png，由函数6fe56848f4bff0a4b56be364fd548895.png的图象关于点405f1a8f2061318282160da7cb939062.png对称及其单调性知，

1ea03d25a5e70919811331fb5e415f18.png， 5b49d2ac52acbfc65da782bc1b1ce501.png，∴e223b591c9ac12964da1d162418017f4.png，

∴4676a35588f8857e02f50c9f9393fb8b.png.

点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如797b4795f3fba36c1a38c916c0bf6e49.png (其中02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如c70125d21fd36f589922e9ccda757f76.png或c558d094c4eb5b98ddf89ce370e5bca7.png.

11．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题】设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，点aa3c2e0ee68a908ba2b8f5ad57d69f92.png均在函数a9d1232b7c5fa8e83ecbcbd2110c6de9.png的图象上.

（1）求证：数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列；

（2）设0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png是数列080d26d050107a66333a41a62a7b2543.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，求0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】(1)见解析;（2）9894188b098361c38c940cd468603707.png f1398249883e2ec7b9ee9406375cf85c.png.

（2）由（1）知，

0f53e0f4c70d652ee67a94284ba1d1cd.png，

故809940446acda33b5793ecf101fa0932.png 0565b0a825ced72a4b3e0aa4ac04a4ec.png.

12．【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三数学试题】已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png、d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png，其中， 4683592a3b18fb3bf42dddf8245189ba.png，数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足d7ba636d8423eee0bb70365093f45946.png,234017a9b508a18b4732ada4daf2d0a6.png，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png满足5c528db20aaddd3c70fca03571d5d8ed.png．

（1）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png、d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式；

（2）是否存在自然数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，使得对于任意2d176f67bea1ce9d1c34bd11a4939769.png有9bf46661b7dd6232ee0d1715155572fa.png恒成立？若存在,求出6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最小值；

（3）若数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png满足008025836544d87cdf062db8ba8d0553.png，求数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png．[来源:Z§xx§k.Com]

【答案】（1）27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png；（2）存在， 1ecca6342f30eace25c3af02ecab0f53.png；（3）8e138e29fa92c9c2e9b33818199fd86b.png．

(2) 由（1）知27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png，则

34dc6c568406afe7fa28788dab0bdc4f.png.

假设存在自然数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，使得对于任意2d176f67bea1ce9d1c34bd11a4939769.png有9bf46661b7dd6232ee0d1715155572fa.png恒成立，即45f8464e0bd931f4712bdd80a41c760d.png恒成立，由c97749270d4529106046c2a94683c15e.png，解得9e61405bf1ef8070ede49902be446ed2.png．

所以存在自然数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，使得对于任意2d176f67bea1ce9d1c34bd11a4939769.png有9bf46661b7dd6232ee0d1715155572fa.png恒成立，此时， 6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最小值为16.

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