精做11 圆周运动的相关计算
1.(2016·新课标全国Ⅲ卷)如图,在竖直平面内有由word/media/image2_1.png圆弧AB和word/media/image3_1.png圆弧BC组成的光滑固定轨道,两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为word/media/image4_1.png。一小球在A点正上方与A相距word/media/image5_1.png处由静止开始自由下落,经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比;
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
【答案】(1)word/media/image7_1.png (2)小球恰好可以沿轨道运动到C点
【解析】(1)设小球的质量为m,小球在A点的动能为word/media/image8_1.png,由机械能守恒可得word/media/image9_1.png①
设小球在B点的动能为word/media/image10_1.png,同理有word/media/image11_1.png②
由①②联立可得word/media/image7_1.png③
(2)若小球能沿轨道运动到C点,小球在C点所受轨道的正压力N应满足word/media/image12_1.png④
【方法技巧】分析清楚小球的运动过程,把握圆周运动最高点临界速度的求法:重力等于向心力,同时要熟练运用机械能守恒定律。
2.竖直平面内有一圆形绝缘细管,细管截面半径远小于半径R,在中心处固定一带电荷量为+Q的点电荷。质量为m、带电荷量为+q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动,当小球运动到最高点时恰好对管无作用力,求当小球运动到最低点时对管壁的作用力。
【答案】N=6mg
【解析】在最高点是重力提供向心力,故:
mg–F=mword/media/image16_1.png
最低点,重力和支持力的合力提供向心力,故:
N–mg–F=mword/media/image17_1.png
从最高点到最低点过程只有重力做功,根据动能定理,有:
mg·2R=word/media/image18_1.png
其中:F=word/media/image19_1.png
联立解得:N=6mg
根据牛顿第三定律,压力为6mg
【名师点睛】对于圆周运动的问题,往往与动能定理或机械能守恒定律综合起来进行考查,基本题型,难度适中。
3.如图,一个质量为M的人,站在台秤上,手拿一个质量为m,悬线长为R的小球,在竖直平面内做圆周运动,且摆球恰能通过圆轨道最高点,求台秤示数的变化范围。
【答案】Mg–0.75mg≤F≤(M+6m)g
小球通过最低点时,由牛顿第二定律得:T–mg=mword/media/image22_1.png,解得:T=6mg
台秤的最大示数:F最大=(M+6m)g
小球运动到最高点时,细线中拉力为零,台秤的示数为Mg,但是不是最小,当小球处于如图所示状态时
设其速度为v1,由机械能守恒定律得:
word/media/image24_1.pngmv12=word/media/image24_1.pngmv02+mgR(1–cos θ)
由牛顿第二定律得:T′+mgcos θ=mword/media/image25_1.png
解得,悬线拉力:T′=3mg(1–cos θ)
其分力:Ty=Tcos θ=3mgcos θ–3mgcos2 θ
当cos θ=word/media/image26_1.png,即θ=60°时
台秤的最小示数为:F最小=Mg–word/media/image27_1.pngmg=Mg–0.75mg
台秤示数的变化范围为Mg–0.75mg≤F≤(M+6m)g
【名师点睛】对物体进行受力分析,运用牛顿第二定律列出力与力的关系,根据题目的条件中找到临界状态。对于圆周运动的受力问题,我们要找出向心力的来源。
4.如图所示,一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上,一个质量为m的小球先后两次以不同的速度冲上轨道,第一次小球恰能通过轨道的最高点A,之后落于水平面上的P点,第二次小球通过最高点后落于Q点,P、Q两点间距离为R。求:
(1)第一次小球落点P到轨道底端B的距离;
(2)第二次小球经过A点时对轨道的压力。
【答案】(1)word/media/image29_1.png (2)word/media/image30_1.png
(2)根据题意可得word/media/image32_1.png
根据word/media/image33_1.png
解得word/media/image34_1.png
设第二次小球经过轨道A点时,轨道对小球的弹力为word/media/image35_1.png
word/media/image36_1.png
解得word/media/image37_1.png
根据牛顿第三定律,小球对轨道的压力为word/media/image38_1.png
5.如图所示,匀速转动的水平转台上,沿半径方向放置两个用细线相连的小物块A、B(可视为质点),质量分别为word/media/image39_1.png kg、word/media/image40_1.png kg;细线长L=2 m,A、B与转台间的动摩擦因数μ=0.2。开始转动时A放在转轴处,细线刚好拉直但无张力,重力加速度g=10 m/s2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
(1)使细线刚好拉直但无张力,转台转动的最大角速度ω1为多少;
(2)使A、B能随转台一起匀速圆周运动,转台转动的最大角速度ω2为多少
【答案】(1)ω1=1 rad/s (2)ω2=2 rad/s
6.如图所示,在水平面上固定一个半径R=1.6 m的3/4光滑圆弧轨道的工件,其圆心在O点,AOC连线水平,BOD连线竖直。在圆周轨道的最低点B有两个质量分别为m1=2 kg,m2=1 kg的可视为质点的小球1和2,两小球间夹有一个极短的轻弹簧,当弹簧储存了Ep=90 J的弹性势能时锁定弹簧。某时刻解除锁定,弹簧将两个小球弹开,重力加速度g=10 m/s2,试求:
(1)两小球脱离弹簧瞬间的速度的大小
(2)通过计算说明小球2第一次沿轨道上滑过程中能否通过D点?
【答案】(1)v1=word/media/image44_1.png m/s v2=2word/media/image45_1.png m/s (2)能通过
(2)小球2向右运动,设其能到达圆周轨道的最高点D,由机械能守恒,有:word/media/image47_1.png
代入数据解得:vD=word/media/image48_1.png m/s
又小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的条件为:mg=mword/media/image49_1.png
代入数据解得:v=4 m/s
由于v<vD,故小球2能通过D点。
【名师点睛】弹簧将两个小球弹开的过程动量守恒、机械能守恒,根据动量守恒定律、机械能守恒定律列方程,可求出两球的速度。小球到达圆周轨道的最高点的过程,机械能守恒,列出方程,可求到达D点的速度。小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的最小向心力为重力,根据牛顿第二定律求出最小速度。与求出的D点速度比较可知能否到达最高点。
7.如图,用一根长为L=1 m的细线,一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ=37°,当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线的张力为T。求(g=10 m/s2,sin 37°=3/5,cos 37°=4/5,计算结果可用根式表示):
(1)若要小球离开锥面,则小球的角速度ω0至少为多大?
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度word/media/image51_1.png为多大?
(3)细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关,当ω的取值范围在0到word/media/image51_1.png之间时,请通过计算求解T与ω2的关系,并在坐标纸上作出T–ω2的图象,标明关键点的坐标值。
【答案】(1)word/media/image52_1.png (2)word/media/image53_1.png (3)见解析
(3)a.当ω1=0时T1=mgcos θ=8 N,标出第一个特殊点坐标(0,8 N)
b.当0<ω<word/media/image55_1.png rad/s时,根据牛顿第二定律得:Tsin θ−Ncos θ=mω2lsin θ
Tcos θ+Nsin θ=mg
得,T=mgcos θ+mlω2sin2 θ=8+word/media/image56_1.pngω2
当ω2=word/media/image55_1.png rad/s时,T2=12.5 N
标出第二个特殊点坐标[12.5 (rad/s)2,12.5 N]
c.当word/media/image55_1.png rad/s≤ω≤word/media/image57_1.png rad/s时,小球离开锥面,设细线与竖直方向夹角为β
T3sin β=mω2lsin β
∴T3=mlω2
当ω=ω′=word/media/image57_1.png rad/s时,T3=20 N
标出第三个特殊点坐标[20 (rad/s)2,20 N]
画出T–ω2图象如图所示。
8.如图所示,光滑杆AB长为L,B端固定一根劲度系数为k、原长为word/media/image59_1.png的轻弹簧,质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接,word/media/image60_1.png为过B点的竖直轴,杆与水平面间的夹角始终为word/media/image61_1.png。
(1)感保持静止状态,让小球从弹簧的原长位置静止释放,求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量word/media/image63_1.png;
(2)当球随杆一起绕word/media/image64_1.png轴匀速转动时,弹簧伸长量为word/media/image65_1.png,求匀速转动的角速度word/media/image66_1.png;
(3)若word/media/image67_1.png,移去弹簧,当杆绕word/media/image68_1.png轴以角速度word/media/image69_1.png,匀速转动时,小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动,球受轻微扰动后沿杆向上滑动,到最高点A时球沿杆方向的速度大小为word/media/image70_1.png,求小球从开始滑动到离开杆过程中,杆对球所做的功W。
【答案】(1)word/media/image71_1.png word/media/image72_1.png (2)word/media/image73_1.png (3)word/media/image74_1.png
【解析】(1)小球释放的瞬间,小球的加速度大小为:word/media/image75_1.png
当小球速度相等时,有:word/media/image76_1.png,解得弹簧的压缩量为:word/media/image77_1.png
(2)当弹簧伸长量为word/media/image78_1.png,受力如图所示:
在水平方向上有:word/media/image80_1.png
竖直方向上有:word/media/image81_1.png,解得:word/media/image73_1.png。
(3)当杆绕word/media/image68_1.png轴以角速度word/media/image82_1.png匀速转动时,设小球距离B点word/media/image83_1.png,此时有:word/media/image84_1.png
解得:word/media/image85_1.png,此时小球的动能为:word/media/image86_1.png
小球在最高点A离开杆瞬间的动能为:word/media/image87_1.png
根据动能定理有:word/media/image88_1.png,解得:word/media/image74_1.png
【名师点睛】本题考查了动能定理、牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合,知道小球做匀速转动时,靠径向的合力提供向心力,由静止释放时,加速度为零时速度最大。
9.一转动装置如图所示,四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接,轻杆长均为l,球和环的质量均为m,O端固定在竖直的轻质转轴上,套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间,原长为L,装置静止时,弹簧长为word/media/image89_1.pngL,转动该装置并缓慢增大转速,小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)AB杆中弹力为零时,装置转动的角速度ω0。
【答案】(1)word/media/image91_1.png (2)word/media/image92_1.png
【解析】(1)装置静止时,设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1,OA杆与转轴的夹角为θ1。
小环受到弹簧的弹力word/media/image93_1.png
小环受力平衡:F弹1=mg+2T1cos θ1
小球受力平衡:F1cos θ1+T1cos θ1–mg=0;F1sin θ1–T1sin θ1=0
解得:word/media/image91_1.png
10.如图所示,半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内,O为圆心,OA与水平方向的夹角为30°,OB在竖直方向。一个可视为质点的小球从O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出,小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧,此后沿圆轨道运动到达B点。已知重力加速度为g,求:
(1)小球初速度的大小;
(2)小球运动到B点时对圆轨道压力的大小。
【答案】(1)word/media/image96_1.png (2)word/media/image97_1.png
【解析】(1)设小球的初速度为word/media/image98_1.png,飞行时间为t,则在水平方向有word/media/image99_1.png
在竖直方向有word/media/image100_1.png,word/media/image101_1.png
小球运动到A点时与轨道无碰撞,故word/media/image102_1.png
联立解得word/media/image96_1.png,word/media/image103_1.png
(2)抛出点距轨道最低点的高度word/media/image104_1.png
设小球运动到最低点B时速度为v,对圆轨道的压力为F
根据机械能守恒有word/media/image105_1.png
根据牛顿运动定律有word/media/image106_1.png
联立解得word/media/image97_1.png
【名师点睛】对于多过程问题,需要将运动对象在每一个过程中的运动性质分析清楚,然后根据相对应规律列式求解。
11.如图所示,一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个小球,在杆上的O点装一光滑水平轴,已知两球质量均为m,AO=l,BO=2l。现从水平位置以某一初速度释放,当转到竖直位置时,A球对杆的拉力为mg,则此时B球对细杆的作用力为多大?
【答案】T=5mg
【解析】由题意知,小球AB转动的角速度相等,对A球有:
受重力和杆的拉力作用做圆周运动故有:
word/media/image108_1.png
可得球A转动的角速度:word/media/image109_1.png
再以B球为研究对角,有:
T–mg=m2lω2=4mg
所以杆对球的拉力T=5mg
【名师点睛】注意A、B两球用轻杆相连,两球转动的角速度相等,这是正确解题的关键。
12.如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳,绳子总长为3L,细杆O点离地高为2L,两端各系一个质量不等的小球A和B,已知球B的质量为m0。球A置于地面上,球B被拉到与细杆同样的高度的水平位置,在绳恰被拉直时从静止释放小球B。假设小球A始终未离开地面,空气阻力不计,重力加速度大小为g。
(1)小球B下落到最低点过程中重力的瞬时功率大小如何变化;
(2)当B球下落到绳子与竖直方向成60°角时重力的瞬时功率多大;
(3)若小球B达到竖直位置时,A球与地面压力恰好为零,则小球A的质量是小球B质量的几倍。
【答案】(1)先变大后减小 (2)word/media/image111_1.png (3)word/media/image112_1.png
【解析】(1)B球刚开始时速度为零,重力的瞬时功率为零,到最低点时速度水平与重力垂直,重力的瞬时功率也为零,故瞬时功率先变大后减小。
(2)下落过程中机械能守恒:word/media/image113_1.png
重力的瞬时功率为:word/media/image114_1.png
解得:word/media/image111_1.png
(3)对A球此时:word/media/image115_1.png
对B球,由牛顿第二定律:word/media/image116_1.png
由机械能守恒定律:word/media/image117_1.png
得:word/media/image112_1.png
故A球的质量是B球质量的3倍
【名师点睛】本题主要考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律、瞬时功率。B球刚开始时速度为零,瞬时功率为零,到最低点时速度水平与重力垂直,瞬时功率也为零,故瞬时功率先变大后减小;由机械能守恒定律求出速度,即可得出瞬时功率;根据牛顿第二定律和机械能守恒定律得出两球质量间的关系。
13.如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,有一长为l的细线,细线的一端固定在O点,另一端拴一质量为m的小球,现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动求:
(1)小球通过最高点A时的速度vA;
(2)小球通过最低点B时,细线对小球的拉力。
【答案】(1)vA=word/media/image119_1.png (2)T=6mgsin θ
【解析】(1)小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动,小球通过A点时细线的拉力为零,根据圆周运动和牛顿第二定律有:
mgsin θ=mword/media/image120_1.png
解得:vA=word/media/image119_1.png
(2)小球从A点运动到B点,根据机械能守恒定律有:
word/media/image121_1.pngmvA2+mg·2lsin θ=word/media/image121_1.pngmvB2
解得:vB=word/media/image122_1.png
小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有:
T–mgsin θ=mword/media/image123_1.png
解得:T=6mgsin θ
【名师点睛】本题关键是明确小球的运动规律,找到圆周运动时的向心力来源,对于类似平抛运动,根据分位移公式列式求解。
14.一质量为2 000 kg的汽车,行驶到一座半径为40 m的圆弧形拱桥顶端时,汽车运动速度为8 m/s。求此时汽车对桥面的压力的大小(g=10 m/s2)。
【答案】此时汽车对桥面的压力的大小为16 800 N。
15.如图所示,半径R=0.5 m的光滑圆弧面CDM分别与光滑斜面体ABC和斜面MN相切于C、M点,斜面倾角分别如图所示。O为圆弧圆心,D为圆弧最低点,C、M在同一水平高度。斜面体ABC固定在地面上,顶端B安装一定滑轮,一轻质软细绳跨过定滑轮(不计滑轮摩擦)分别连接小物块P、Q(两边细绳分别与对应斜面平行),并保持P、Q两物块静止。若PC间距为L1=0.25 m,斜面MN足够长,物块P质量m1=3 kg,与MN间的动摩擦因数word/media/image127_1.png,重力加速度g=10 m/s2求:(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)小物块Q的质量m2;
(2)烧断细绳后,物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小;
(3)物块P在MN斜面上滑行的总路程。
【答案】(1)word/media/image129_1.png (2)word/media/image130_1.png (3)word/media/image131_1.png
【解析】(1)根据共点力平衡条件,两物体的重力沿斜面的分力相等,有:
word/media/image132_1.png
解得:word/media/image129_1.png,即小物块Q的质量word/media/image133_1.png为word/media/image134_1.png
(2)P到D过程,由动能定理得word/media/image135_1.png,根据几何关系,有:
word/media/image136_1.png
在D点,支持力和重力的合力提供向心力:word/media/image137_1.png,解得:word/media/image130_1.png,由牛顿第三定律得,物块P对轨道的压力大小为word/media/image138_1.png
(3)分析可知最终物块在CDM之间往复运动,C点和M点速度为零,由全过程动能定理得:word/media/image139_1.png,解得:word/media/image131_1.png,即物块P在MN斜面上滑行的总路程为word/media/image140_1.png。
【名师点睛】本题关键对物体受力分析后,根据平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式和动能定理综合求解,对各个运动过程要能灵活地选择规律列式。
16.长L=0.5 m、质量可忽略的杆,其一端固定于O点,另一端连有质量m=2 kg的小球,它绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时,如图所示,求下列情况下,杆受到的力(计算出大小,并说明是拉力还是压力,g取10 m/s2):
(1)当v=1 m/s时,杆受到的力多大,是什么力?
(2)当v=4 m/s时,杆受到的力多大,是什么力?
【答案】(1)小球对杆子的作用力为向下的压力,大小为16 N (2)小球对杆子的作用力为向上的拉力,大小为44 N
【解析】对小球受力分析,假设杆子对小球的作用力方向竖直向上大小为F:
根据牛顿第二定律:mg–F=word/media/image142_1.png
(1)当v=1 m/s时,解得:F=mg–word/media/image142_1.png=16 N
故杆子对小球的作用力大小为16 N,方向向上。
根据牛顿第三定律小球对杆子的作用力为向下的压力,大小为16 N
(2)当v=4 m/s时,解得:F=mg–word/media/image142_1.png=–44 N,负号表示力F的方向与题目假设的方向相反
故杆子对小球的作用力大小为44 N,方向向下
根据牛顿第三定律小球对杆子的作用力为向上的拉力,大小为44 N
17.如图所示,质量为m的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点,当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时,求杆OA段与AB段对球的拉力之比。
【答案】word/media/image144_1.png
【解析】设word/media/image145_1.png,两球质量均为word/media/image146_1.png,小球转动的角速度为word/media/image147_1.png,杆OA段与AB段对球的拉力大小分别为word/media/image148_1.png,根据牛顿第二定律得:对B球有:word/media/image149_1.png,对A球有:word/media/image150_1.png
联立可以得到,word/media/image151_1.png,解得:word/media/image144_1.png
【名师点睛】本题中A、B两球的加速度不同,不能用整体法研究,只能用隔离法处理。列式时,要抓住两球的角速度相等。
18.如图,质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水,用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演,转动半径为2 m,小杯通过最高点的速度为6 m/s,g取10 m/s2,求:
(1)在最高点时,绳的拉力?
(2)在最高点时水对小杯底的压力?
(3)为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少?
【答案】(1)T=12 N (2)F=8 N (3)word/media/image153_1.png
【解析】(1)小杯质量m=0.5 kg,水的质量M=1 kg,在最高点时,杯和水的受重力和拉力作用,如图所示,
合力F合=(M+m)g+T①
圆周半径为R,则F向=(M+m)word/media/image155_1.png②
F合提供向心力,有(M+m)g+T=(M+m)word/media/image155_1.png
所以细绳拉力为:T=(M+m)(word/media/image155_1.pngg)=(1+0.5)(word/media/image156_1.png10)=12 N
(3)小杯经过最高点时水恰好不流出时,此时杯对水的压力为零,只有水的重力作为向心力,由(2)得:
Mg=Mword/media/image155_1.png
解得:word/media/image158_1.png。
【名师点睛】水桶在竖直面内做圆周运动时向心力的来源是解决题目的重点,分析清楚哪一个力做为向心力,再利用向心力的公式可以求出来,必须要明确的是当水桶恰好能过最高点时,只有水的重力作为向心力,此时水恰好流不出来。
19.如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道,两个弯道分别为半径word/media/image159_1.png的大圆弧和word/media/image160_1.png的小圆弧,直到与弯道相切,大。小圆弧圆心O、word/media/image161_1.png距离word/media/image162_1.png,赛车沿弯道路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的word/media/image163_1.png倍,假设赛车在直道上做匀变速直线运动,在弯道上做匀速圆周运动,要使赛车不打滑,赛车绕赛道一圈的时间最短(发动机功率足够大,重力加速度word/media/image164_1.png,结果小数点后保留两位)
(1)求赛车在直道上的加速度大小?
(2)求最短时间?
【答案】(1)word/media/image166_1.png (2)word/media/image167_1.png
【解析】(1)设经过小圆弧的速度为word/media/image168_1.png,经过小圆弧时由最大静摩擦力提供向心力,由word/media/image169_1.png可知,代入数据解得:word/media/image170_1.png,由几何关系可得直道的长度为:word/media/image171_1.png,再由word/media/image172_1.png代入数据解得:word/media/image166_1.png
【名师点睛】解答此题的关键是由题目获得条件:在弯道上由最大静摩擦力提供向心力;由数学知识求得圆弧的长度,另外还要熟练掌握匀速圆周运动的知识。
20.如图所示,半径R=0.4 m的圆盘水平放置,绕竖直轴word/media/image174_1.png匀速转动,在圆心O正上方h=0.8 m高处固定一水平轨道,与转轴交于word/media/image175_1.png点。一质量m=1 kg的小车(可视为质点)可沿轨道运动,现对其施加一水平拉力F=4 N,使其从word/media/image175_1.png左侧2 m处由静止开始沿轨道向右运动。当小车运动到word/media/image175_1.png点时,从小车上自由释放一小球,此时圆盘的半径OA正好与轨道平行,且A点在O的右侧。小车与轨道间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2。
(1)若小球刚好落到A点,求小车运动到word/media/image175_1.png点的速度大小;
(2)为使小球刚好落在A点,圆盘转动的角速度应为多大?
(3)为使小球能落到圆盘上,小车在水平拉力F作用时运动的距离范围应为多大?
【答案】(1)word/media/image177_1.png (2)word/media/image178_1.png (3)1~1.125 m
【解析】(1)小球下落时间word/media/image179_1.png,word/media/image180_1.png
(2)小球下落过程中圆盘应恰好转过n圈(n=1,2,3···)
word/media/image181_1.png
【名师点睛】解决本题的关键知道物块整个过程的运动:匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动,知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等。以及熟练运用运动学公式;解题思路:(1)物块离开O′点后做平抛运动,可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度,从而得出小车运动到O′点速度;(2)若圆盘转一圈,物块恰好调入小桶,此时作用力时间最短。圆盘转一圈的时间与平抛运动时间是相等。从而得出圆盘转动的角速度最小值,也有可能在平抛运动时间内,圆盘转动n圈。因此求出转动角速度。(3)根据第一问求出小球能落到圆盘上在O′点的速度范围,再从P到O′的过程中,根据动能定理列式求解。
21.A、B两球质量分别为m1与m2,用一劲度系数为k的弹簧相连,一长为l1的细线与m1相连,置于水平光滑桌面上,细线的另一端拴在竖直轴OO′上,如图所示。当m1与m2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时,弹簧长度为l2,求:
(1)此时弹簧伸长量;
(2)绳子张力;
【答案】(1)Δl=m2ω2(l1+l2)/k (2)T=m1ω2l1+m2ω2(l1+l2)
【解析】(1)m2只受弹簧弹力,设弹簧伸长Δl,满足:kΔl=m2ω2(l1+l2)
则弹簧伸长量:Δl=m2ω2(l1+l2)/k
(2)对m1,受绳拉力T和弹簧弹力f做匀速圆周运动,满足:Tf=m1ω2l1
绳子拉力:T=m1ω2l1+m2ω2(l1+l2)
【名师点睛】解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供,A、B两球的角速度相同,难度适中。
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