三角形的证明知识点归纳

三角形的证明

1、等腰三角形

（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”）

②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。

（3）判定：①定义

②“ ”　

2、等边三角形

（1） 定义： 的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于

②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角 是等边三角形。

3、直角三角形

(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

（3）“斜边、直角边”或“HL”

直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

定理的作用：判定两个直角三角形全等

全等三角形的判断及性质：

1） 三边分别相等的两个三角形全等（SSS）

2） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）

3） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）

4） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）

5） 全等三角形的对应边相等，对应角相等

证明得到与等腰三角形、等边三角形、直角三角形有关的结论

1） 等腰三角形的两底角相等

2） 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合

3） 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°

4） 有两角相等的三角形是等腰三角形

5） 三个角都相等的三角形是等边三角形

6） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

7） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

证明的一般步骤：根据题意画出图形；根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出推理过程，对假命题的判断，只要举出反例来证明即可。

证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已经具备了哪些条件，一般可按下面的思路进行：

已知两边：找夹角→SAS

找第三边→SSS

已知一边一角：边为角的对边→找任意一角→AAS

边为邻边：找夹角的另一边→SAS

找夹角的另一角→ASA

找边的对角→AAS

已知两角：找夹边→ASA 找另一个角的邻边→AAS

例1： 如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

例2：如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）

A．AB＝AC B．BD＝CD

C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA

例3：等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）

　 A． 20° B． 50° C． 60° D． 80°

例4：已知:如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.

求证:BC＝DE. (SAS)

例5; 已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，

AC＝CE，∠ACD＝∠B

求证：△ABC≌△CDE

练习：

一、选择题

1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）

A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝

2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积 是（ ）

A.24cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.48cm2

二、填空题

1.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.

2.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30° ，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC= .

三、解答题：

1. 如图，DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB

2. 已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.

求证：OB=OC

3. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．

求证：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

4. 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，

求DC.

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