2015-2016学年第二学期4月无锡锡山区初三数学期中试卷（含答案）

初三数学期中考试试卷 2016.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．－2的倒数是【 ▲ 】

A． －2 B．2 C． D．

2．已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学计数法表示这个数为【 ▲ 】

A．8.9×10－５ B．8.9×10－４ C．8.9×10－３ D．8.9×10－２

3．下列运算中，计算正确的是 【 ▲ 】

A．a3·a2=a6 B．a8÷a2=a4 C．(ab2)2=a5 D．(a2)3=a6

4．函数y=中，自变量x的取值范围是【 ▲ 】

A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1

5．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为【 ▲ 】

A．8 B．7 C．6 D．5

6．一个圆锥的底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为【 ▲ 】

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

7．某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为【 ▲ 】

A．－= 20 B．－= 20

C．－= 0.5 D．－= 0.5

8．如图1在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为【 ▲ 】

A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7

9．已知，如图2菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为【 ▲ 】

A． B． +2 C．2+1 D． +1

10．如图3，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上， 顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为 （ ）

A．2 B．(+1) C．(+2) D．(+1)

图1 图2 图3

二、填空题（本大题共8小题．每小题2分，共16分．）

11．4的算术平方根是 ▲ ．

12．因式分解： = ▲ ．

13．某校篮球队13名同学的身高如下表：

则该校篮球队13名同学身高中位数是 ▲ ．

14．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ▲ ．

15．如图4，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为 ▲ ．

16．如图5，AB是⊙O的直径，若AC=4，∠D=60°，则AB= ▲ ．

17．如图6，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2016次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2016的坐标为 ▲ ．

18．二次函数图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为　　▲ ．

图4 图5 图6

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答）

19．（8分）计算：

（1） （2）

20．（8分）（1）解方程： （2）解不等式组：

21．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

22．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会关注．“寒假”期间，记者小刘随机调查了某区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；

（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；

（3）若该区共有中学生8000人，请根据以上图表信息估算出该区中学生中对“校园手机”持“无所谓”态度的人数是多少？

23．（8分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．

（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 ▲ ；

（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．（请利用树状图或列表法说明）

24．（8分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．

（1）求∠CAO′的度数；

（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？

25．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．

（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；

（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．

注：销售利润=销售收入﹣购进成本．

26．（10分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．

发现：

（1）当α＝0°，即初始位置时，点P 直线AB上(选填“在”或“不在”)．

当α= 时，OQ经过点B；

（2）在OQ旋转过程中，α= 时，点P，A间的距离最小？PA最小值为 ；

（3）探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值．

27．（10分）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为：和．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

28．(10分）如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？(直接写出答案）

初三数学期中考试参考答案 2016.4

一．选择题（每题3分，共30分）

1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D二．填空题（每题2分，共16分）

11. 2 12. 13. 182 14.

15. 68º 16.8 17. 18.或

三．解答题

19（8分）（1）.

.....................(2分）

......................................(4分）

（2）

..................(1分）

....................................(3分）

.......................................(4分）

20.（8分）

(1)解：去分母，得．… 1分

去括号，得．　………… 2分

整理，得 ．

解得 ． ……………………………………………………… 3分

经检验，是原方程的解．………………………………… 4分

(2)解：由（1）得，………………….1分

由（2）得，x<3 ……………………2分

不等式组的解集是 ……………4分

21.（6分）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，  
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， 
∴∠EAB=∠FAC.......................(1分）

又∵AE=AF AB=AC

∴△AEB≌△AFC.........................(2分） 
∴EB=FC..............................(3分）

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， 
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，.............(4分） 
∴∠CAB=∠ABE=45º， 
∵AB=AE，  
∴△ABE为等腰直角三角形，................(5分） 
∴BE= 
∴BD=BE-DE=-1 .....................(6分）

22.（6分）（1）家长人数80÷20％=400人; 家长反对的人数400-40-80=280

图略............（2分）

（2）家长“赞成”的圆心角的度数..............(4分）

（3）该区中学生中对“校园手机”持“无所谓”态度的人数..................(6分）

23.（8分）解：（（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是  （3分）

(2)

.............................................................................................................（6分）

两位数大于22的概率为......................................(8分）

24.（8分）解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， 
∴sin∠CAO′=， 
∴∠CAO′=30°；............................（2分）

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D， 
∵sin∠BOD=， 
∴BD=OB•sin∠BOD， 
∵∠AOB=120°， 
∴∠BOD=60°..................(3分）

∴BD=OB•sin∠BOD=24×=..................(4分）
∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°， 
∴∠AO′C=60°， 
∵∠AO′B′=120°， 
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，.................(5分） 
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12， 
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm................(6分）

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°， 
理由；∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°， 
∴∠EO′F=120°， 
∴∠FO′A=∠CAO′=30°， 
∵∠AO′B′=120°， 
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°， 
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．（8分） 

25．解：（1）根据题意，得

R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，

=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），.............................(3分）

R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），

=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）； ...........................(5分）

（2）在1≤x≤20，且x为整数时，

∵R1=﹣（x﹣10）2+900，

∴当x=10时，R1的最大值为900，...............................(7分）

在21≤x≤30，且x为整数时，

∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，

∴当x=21时，R2的最大值为950，.....................................（9分）

∵950＞900，

∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．（10分）

26.（10分）解答： 解：发现：（1）在，......(1分） α=15°；...(2分）
（2）当α=60°时，PA的最小值=1...(4分）  
（3）探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况； 
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′， 
则∠KSO=∠KTB=90°， 
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中， 
OS==2， 
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣， 
在Rt△KGO′中，∠O′=30°， 
∴KG=KO′=﹣， 
∴在Rt△OGK中，sinα===， ........（6分）

②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；(8分）
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60°， 
∴sinα=sin60， 
综上所述sinα的值为：或或 （10分）
 
 

28.：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入，得：，

解得：．∴抛物线的解析式为．.............(1分）

联立，解得：或，

∴点B的坐标为（4，1）．............................................................（2分)

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；.................(3分）

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．

∴AG=3PG=3x．则P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．........................................（5分）

②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣x，

整理得：x2﹣x=0，解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；（6分）

若点G在点A的上方，①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）.............................................................................(7分）

②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；

...................................................................................................................(8分）

（写出其中一种情况得两分，其余情况各一分）

（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，

∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，

则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．

此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．对于y=x2﹣x+3，当y=0时，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴点E的坐标为（2，1）．.............................................................（10分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/baf19f9b3b3567ec112d8a87.html