高一数学基本知识点（魔方格）（上学期）

第1章 集合与函数的概念

第一节 集合

集合的含义及表示

1、含义：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合
2、集合表示：用大括号或大写字母表示
3、元素及表示：集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示
4、元素三性：确定性、互异性、无序性
5、常见数集：N、N*、Z、Q、R，奇数集{x|x=2n+1，n∈Z}或{x|x=2n-1，n∈Z}或{x|x=4n±1，n∈Z}，偶数集{x|x=2n，n∈Z}；
6、集合的表示法：列举法、描述法、Venn图示法；
7、集合的分类：按元素个数分有限集和无限集，按元素属性分数集、点集、图形集等；
8、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。

集合间的关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种
1、 子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），
也可记为BA（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B
2、 相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，
反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、 真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作AB（BA），读作A真包含于B（B真包含A）
4、性质：
（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；
（4）AB，BAA=B。
5、含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集：
（1）定义：一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2）性质：
（3）韦恩图表示为：

2、并集：
（1）定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）性质：
（3）韦恩图表示为：
。
3、补集：
（1）定义：
全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且xA}。
（2）性质：
（3）韦恩图表示为：

1.2 函数及其表示

函数、映射的概念

1、映射的定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，
那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
3、映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；
（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；
（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；
（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
4、函数：
（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称
f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。
5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
6、函数的表示方法：
（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；
（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

函数的定义域、值域

1、自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
2、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）

区间及无穷的概念

区间：设a、b是两个实数，而且a＜b ：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；
（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]，这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

无穷：实数集R可以用区间表示为（+∞，-∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为
[a，+∞），（a，+∞），（-∞，b]，（-∞，b）。

在数轴上表示区间：

注意：（1）在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点

（2）书写区间记号时：

①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；

②有两个区间端点，且左端点小于右端点；

③两个端点之间用“，”隔开.

1.3 函数的基本性质

函数的单调性、最值

1、单调性的定义：对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；
当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间上的减函数。如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。
2、判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法，
（1）定义法：其步骤是： ①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值。

函数的奇偶性、周期性

1、函数的奇偶性：
（1）定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
（2）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性：
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
2.若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

一次函数的性质与应用:

1、定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
2、图象：是一条直线，过（0，b），（，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
3、性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
4、应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。

二次函数的性质及应用:

1、定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。 2、二次函数的图像：是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴； ③有顶点；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
3、性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
4、二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

2.1 指数函数

指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）；
（2）；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，＝|a|。

幂的运算性质：

（1）；
（2）；
（3）；
注意：一般地，无理数指数幂（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。

指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的图象与性质

指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：

2.2 对数函数

对数与对数运算

1、对数的定义：如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记做，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
通常以10为底的对数叫做常用对数，记做；
以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记做。
由定义知负数和0没有对数。
2、对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
3、对数的恒等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）

对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=logax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。

对数函数的图象与性质

反函数

1、定义：设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，
那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。
2、求反函数的步骤是：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
3、反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意；
（5）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。
（6）还原性：。

2.3 幂函数

冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：y=xα

幂函数的图像：

幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当O时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
(2)图象的形状：
①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．
②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数， 若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．

第3章 函数的应用

3.1 函数与方程

函数的零点与方程根的联系

方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点

用二分法求函数零点的近似值

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x1；
（3）计算f（x1），
①若f（x1）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））；
③若f（x1）·f（b）＜0，则令a=x1（此时零点x0∈（x1，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x0，则a0，作出数轴，在数轴上标出a，b，x0对应的点，如图，所以00-a，a一b0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x0 -a|ε，|x0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε

④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.

3.2 函数模型及其应用

指数函数模型的应用

恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

对数函数模型的应用

恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）的形式，进而结合对数函数的性质解决问题。

分段函数与抽象函数

分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
2、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
3、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
4、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

函数的极限及四则运算:

1、定义：当自变量n取正值并且无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作或当x→+∞是，f（x）→a；
当自变量n取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作或当x→-∞是，f（x）→a；若，称x→∞时，f（x）的极限是a，。
2、左极限：当x从x=x0点的左侧（即x＜x0）无限地接近于x0时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0 处的左极限，记作；
右极限：当x从x=x0点的右侧（即x＞x0）无限地接近于x0时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0处的右极限，记作。
3、f（x）在点x0处的极限：当x无限地接近于x0（可由任何方向接近）时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0处的极限，。
4、函数极限的运算法则：
若f（x）=C（C为常数），则；
若，则；
。

函数的连续性:

如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，并且满足，则称函数
y=f（x）在点x=x0处连续。
三大特点，缺一不可：（1）f（x）在x0处有定义；
（2）f（x）在x0处的极限存在；
（3）f（x）在点x0处的极限等于函数值。
否则称y=f（x）在点x=x0处不连续，或间断点。
2、如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x），如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有，
在右端点x=b处有，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。

函数的极限及四则运算:

1、定义：当自变量n取正值并且无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f（x）的极限是a，

记作或当x→+∞是，f（x）→a；
当自变量n取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作或当x→-∞是，f（x）→a；
若，称x→∞时，f（x）的极限是a，。
2、左极限：当x从x=x0点的左侧（即x＜x0）无限地接近于x0时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0 处的左极限，记作；
右极限：当x从x=x0点的右侧（即x＞x0）无限地接近于x0时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0处的右极限，记作。
3、f（x）在点x0处的极限：当x无限地接近于x0（可由任何方向接近）时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x0处的极限，。
4、函数极限的运算法则：
若f（x）=C（C为常数），则；
若，则；
。

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