2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编 - 圆的综合综合含答案

2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编——圆的综合综合含答案

一、圆的综合

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．

（1）求证：直线DM是⊙O的切线；

（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）291a24814efa2661939c57367281c819c.png

【解析】

【分析】

（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；

（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．

【详解】

（1）如图所示，连接OD．

∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴af954a20092a0ca0dd7f74eb3e75ee2a.png，∴OD⊥BC．

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．

又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．

（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．

∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．

又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴7eee86f3439cd85bcdcc2ba5a9e00f4f.png，即DB2=DF•DA．

∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=291a24814efa2661939c57367281c819c.png．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；

（3）已知⊙O的半径为3．

①若f8581c6464ba6d31254556feecc474b6.png=1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png，求BC的长；

②当f8581c6464ba6d31254556feecc474b6.png为何值时，AB•AC的值最大？

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png；②bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png

【解析】

分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得7503ca677579c2c0e1f19122fcc04a39.png，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=265ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngBC=65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk求得DM=4807ff2e0f93a2e602211471153b9d25.png=91a24814efa2661939c57367281c819c.pngk，可知OM=OD-DM=3-91a24814efa2661939c57367281c819c.pngk，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．

详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴7503ca677579c2c0e1f19122fcc04a39.png，即BF•BG=BE•AB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；

（3）设AB=5k、AC=3k，

∵BC2﹣AC2=AB•AC，

∴BC=265ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngBC=65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk，

∴DM=16279de40c57e129b30f018785c6f33d.png，

∴OM=OD﹣DM=3﹣91a24814efa2661939c57367281c819c.pngk，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣91a24814efa2661939c57367281c819c.pngk）2+（65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk）2=32，

解得：k=aa3790abab39a09bb7f6e719af95bde5.png或k=0（舍），

∴BC=265ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.pngk=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png；

②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png）2+005c0a388de7f29626ecdaffb2bc0e13.png，

∴当d=9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png，即OM=9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png时，AB•AC最大，最大值为005c0a388de7f29626ecdaffb2bc0e13.png，

∴DC2=1cc51acdfe2e0ede3a1ae681b4c972b6.png，

∴AC=DC=41e6a9312a875d3a074bc84da0a64b3d.png，

∴AB=c8f54a214d32d4ee252e7df8a1f51b19.png，此时4c85dc7a20d5a5d59cca0ce869107a03.png．

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．

3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．

（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．

（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．

【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；

（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；

（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．

试题解析：（1）相切，理由如下：

如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=15°，A′C∥AB，

∴∠ABA′=∠CA′B=30°，

∴DE=A′E，OE=BE，

∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，

∴A′C与半圆O相切；

（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，

∴∠OBA′=2α=90°，

∴α=45°，

当O′在上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=AB，

∴∠O′AB=30°，

∴∠ABO′=60°，

∴α=30°，

（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

考点：圆的综合题．

4．如图，在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，ba60b6737c26ced12389644013bf6d17.png，002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png的平分线AD交BC于点D，过点D作fd6a5874c341602938a340ab1569556c.png交AB于点E，以AE为直径作f0e4599afba2421520937491613e682d.png．

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png求证：BC是f0e4599afba2421520937491613e682d.png的切线；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png若92588eea063086269c8dba11c3a438bd.png，276f640111ac8aaaec6f8809f19d0efc.png，求c260107503ae7e6f66c9176035faab94.png的值．

【答案】（1）见解析；（2）f25ae0c41b7b3a582d5ff6b582f79bbc.png．

【解析】

【分析】

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png连接OD，如图，先证明eea4f86efd41395c8802179f47e197d6.png，再利用0c906b9808314d82b6de7ef5a3bd29c7.png得到783878cdc999986bd1df12847e1ad8de.png，然后根据切线的判定定理得到结论；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png先利用勾股定理计算出babe5885836d3d843cee98722b3b64c9.png，设f0e4599afba2421520937491613e682d.png的半径为r，则9be4407963b0695d8260702133cc8e90.png，8a693fa8d98e68d29a6778486d783ada.png，再证明0f1beddcf21f78c250b609adee395938.png∽33ceb312f86cc3cb72bc553990830cef.png，利用相似比得到r：ec36a597fe66b073f8e715ee3afb633f.png：5，解得23318cec5d5608fe4061a18d86d121c0.png，接着利用勾股定理计算d3f37638d6e55ddc114c5c01d84873e3.png，则9dd39b39e7feabc5fecad66a123b9857.png，利用正切定理得c58e817e5a41253aa28d5569ce047d15.png，然后证明e0b8b5c136e53374bdeaa82d9191d8c5.png，从而得到c260107503ae7e6f66c9176035faab94.png的值．

【详解】

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png证明：连接OD，如图，

1b65c03a42505406bd921d2150d3ba19.png平分002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png，

76d38d2a4fe95b13ad04031f8dfd775c.png，

b073855f7d278ff7f1077faa3dda4b11.png，

90bd9539de00d2d3534812334c3c0068.png，

d115b860935961d5348ca495e65fa46a.png，

c40e069e4b5e373cb9a0b3a124c8c6f0.png，

e5fe71b9008249ac10afbf9b37f56f66.png，

21b8932de018449fbb7de61d261a6780.png，

7368f141661c2de1fe4e1e4eeb510f4e.png是f0e4599afba2421520937491613e682d.png的切线；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png解：在6fb46eba91109a0592f3e3a42f0e1879.png中，399eb5dea44695857854ee1d7d314dcf.png，

设f0e4599afba2421520937491613e682d.png的半径为r，则9be4407963b0695d8260702133cc8e90.png，8a693fa8d98e68d29a6778486d783ada.png，

aea9efc08bbacde9ebc2aad9558e5384.png，

62cd2e4695a862e3422a1280cf0dc5d2.png∽33ceb312f86cc3cb72bc553990830cef.png，

bcb47080170250571ff62ce9f826279a.png：18b7927a3dde4d846cfb3f66e2cbf99f.png：BA，

即r：ec36a597fe66b073f8e715ee3afb633f.png：5，解得23318cec5d5608fe4061a18d86d121c0.png，

9d53d18e192d4928db357ac0cf2d6a49.png，3a140c49206ed8b09b36f2948c015543.png，

在9f82591311a3b00a0ed41de91e9ef9f8.png中，afe96bf87215d6469bb7e2ba0a1df939.png，

be3b63579a57eaf22b3dd69725fd75d8.png，

在787d42322f52caf4e64685c415fd461c.png中，516ce83a94d387546483b38a2686989f.png，

48026e92d4d65c3489c7e3d98d3d33e0.png为直径，

a2b635e21bb7384d48a81a96e3f10a1a.png，

d70e4a69144ec8110fce0686c6a0dd86.png，

8ba393716bde3dceae192eb4fdf22bf1.png，

4c549a95dc1d9cbf44fb71944a453e26.png，

8c1798897e9cd6ec5c6d425f68fc5f62.png．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径5058f1af8388633f609cadb75a75dc9d.png判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

5．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）

（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．

【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.pngt2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.pngs．

【解析】

分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1cm/s，即可求出DP；

（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；

（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．

详解：（1）由勾股定理可知：AB=4398cb77eaf4372522495f68cb1339ef.png=10．

∵D、E分别为AB和BC的中点，

∴DE=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAC=4，AD=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAB=5，

∴点P在AD上的运动时间=fa382b4ff779f6f32cb4db57125e80f8.png=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b8d83fd6b80d4a7302768e9951e79b8968026809.html