南阳一中 2019 年春期高三第 14 次考试
数 学 试 题（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ， 满足 ， ，若 ，则集合 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ，且 ，则实数 的值可能为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
3.设 为数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
4.已知命题 ：函数 的图像恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函
数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 是双曲线 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近线的距离
为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
6.已知实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 63，则判断
框中应填入的条件为
A. i≤4
B. i≤5
C. i≤6
D. i≤7
8.已知函数 的图象经过点 ，且关于直线 对称，
高三理数 1
则下列结论正确的是( )
A. 在 上是减函数 B. 若 是 的一条对称轴，则一定有
C. 的解集是 ， D. 的一个对称中心是
9.函数 的部分图像大致为（ ）
A. B. C. D.
10.已知 三点都在表面积为 的球 的表面上，若 .则球内
的三棱锥 的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 ， ，则函数 的所有零点之和等于( )
A. B. C. D.
12.对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得 成
立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.向量 ， ，若向量 ， 共线，且 ，则 的值为__________．
14. 中，角 ， ， 对应边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则
__________．
15.设 是椭圆 上一点，以 为圆心的圆与 轴相切，切点为椭圆的焦
点 ，圆 与 轴相交于不同的两点 ， ，若 为等边三
角形，则椭圆 的离心率为____．
16.已知在直三棱柱 中， ，
，若 棱 在正视图的投影面 内，且 与
投影面 所成角为 .设正视图的面积为 ，侧视
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图的面积为 ，当 变化时， 的最大值是__________．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.）
17.已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正项等比数列，且 ， ，
， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，设 的前 项和为 ，求 .
18.在几何体 中，底面 为菱形， ，
， 与 相交于点 ，四边形 为直
角梯形， ， ， ，面
面 .
（1）证明：面 面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19. 2018 年 12 月 18 日，庆祝改革开放 40 周年大会在北京召开，习近平在会上强调“改
革开放 40 年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大，由弱变强，在稳定增长，促进
创新，增加就业，改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量，
支持民营企业发展是党中央的一贯方针，这一点，丝毫不会动摇”。在习总书记讲话的鼓
舞下，驻马店某民营企业与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议，现邀请甲、乙两个
厂家进场试销 10 天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 80 元，且每
卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的产品，
每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元，分别记录其十天的销售件数，
得到如下频数表：
甲厂家销售件数频数表
销售件数 38 39 40 41 42
天数 1 2 2 4 1
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乙厂家销售件数频数表
销售件数 38 39 40 41 42
天数 2 4 2 1 1
（1）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求这两天的销售量都大于 40 的概率；
（2）若将频率视作概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙厂家的日返利额为 （单位：元），求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）某商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，
请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.
20.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，并且点 是线段
的中点，求 面积的最大值.
21.设 和 是函数 的两个极值点，其中 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
选做题（请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，且设定点 ，求 的值.
23.设函数 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若 的最小值为 ，求 的值.
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高三第 14次考试理数答案
1.C.DABA 6-10:C．BDDC 11-12:DB
13.-8 14. 15. ． 16. .
17.【答案】（1） ， .（2）
【解析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
∵ ， ， ， ，∴
∴ 或 ，且 是正项等比数列，
∴ ， ，
∴ ， .
（2）由（1）知
∴
∴
=
= .
18.【详解】（1）因为底面 为菱形，所以 ，
又平面 底面 ，平面 平面 ，
因此 平面 ，从而 .
又 ，所以 平面 ,
由 ， ， ，
可知 ， ， ， ，
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从而 ，故 ,
又 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）取 中点 ，由题可知 ，所以 平面 ，
又在菱形 中， ，
分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系 （如图示），则
， ， ， ， .
所以 ，
，
.
由（1）可知 平面 ，所以平面 的法向量可取为 ,
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
即 ，
令 ，得 ，所以 .
从而 .由图可知，所求二面角的大小为锐角，
故所求的二面角 的余弦值为 .
19.【答案】（1） ；（2）（ⅰ）分布列见解析， ；（ⅱ）选择甲厂家.
【详解】（1）记“抽取的两天销售量都大于 40”为事件 ，
则 .
（2）（ⅰ）设乙产品的日销售量为 ，则
当 时， ,
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当 时， 当 时， ,
当 时， 当 时， .
∴ 的所有可能为：152,156,160,166,172.
∴ 的分布列为
152 156 160 166 172
∴ （元）.
（ⅱ）甲厂家日平均销售量为：
甲厂家的日平均返利额为： （元），
由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为：158.6元； 元,
因此，推荐该商场选择甲厂家长期销售.
20.【答案】（1）椭圆 的方程为 ；（2） 面积的最大值为： .
【解析】
(1) 由椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆 上得 解
得 所以椭圆 的方程为 .
(2)易得直线 的方程为 .
当直线 的斜率不存在时， 的中点不在直线 上，故直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 ,与 联立消 得
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,
所以 .
设 ,则 , .
由 ,所以 的中点 ,
因为 在直线 上，所以 ,解得
所以 ,得 ,且
,
又原点 到直线 的距离 ,
所以 ，
当且仅当 时等号成立，符合 ,且 .
所以 面积的最大值为： .
21.【答案】（1） （2）
【详解】（1）函数 定义域为 ， ,
依题意，方程 有两个不等的正根 ， （其中 ）.
故 ，并且 ， ,
∴
,
∵ ，∴ ,
故 的取值范围是： .
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（2）当 时， ，从而 .
若设 ，由（1）知 ，则 .
于是有 ,
∴
，
记 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递减， ，
故 的最大值是： .
22.【答案】（1） 普通方程为 ，C直角坐标方程为 ；（2）
【详解】（1）由直线 的参数方程消去 ，得普通方程为 .
等价于 ，
将 ， 代入上式，得曲线 的直角坐标方程为 ，
即 .
（2）点 在直线 上，所以直线 的参数方程可以写为 （ 为参数），
将上式代入 ，得 .
设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
所以
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.
23.【答案】（1） ； （2） .
【详解】(Ⅰ) ，即 或 ，
∴实数 的取值范围是 .
(Ⅱ)∵ ，∴ ，∴ ，
易知函数 在 时单调递减，在 时单调递增，
∴ .
∴ ，解得 .
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