江苏省苏北四市2012届高三10月摸底考试
数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.; 2.3; 3.1; 4. 5.1; 6.1; 7.15; 8.;
9.; 10.; 11.; 12.10; 13.; 14.
二、解答题: 本大题共6小题, 15—17每小题14分,18—20每小题16分,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明,求证过程或演算步骤.
15.(1) , …………………………………………2分
又, , …………………………………6分
. ……………………………………8分
(2),,
或
由余弦定理,得 ,
.…………………………………………………………………………………14分
16.⑴因为是菱形,,所以是的中点,
又是的中点,所以. ……………………………………………2分
因为平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………6分
⑵因为平面,平面,所以,……………………8分
又因为是菱形,所以,………………………………………………10分
因为,所以平面………………………………………………12分
又因为平面
所以平面平面.……………………………………………………………14分
17.(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为:
(元)(万元),
从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多:
(元)(万元),
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20 为公差的等差数列,…2分
所以函数表达式为:
;…………6分
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:
……………………………………10分
(元)……………………12分
当且仅当,即时等号成立.
答:该写字楼建为30层时,每平方米平均开发费用最低. …………………………14分
18.(1)由题意知,,,,……………………………………4分
解得,
所以椭圆的标准方程为.…………………………………………………6分
(2)设直线的方程为,
由方程组,得,……………………………………8分
解得,所以,,……………10分
同理可得,,……………………………………………12分
,
, …………………………………………14分
所以,故直线恒过定点. …………………………16分
19.(1)当时,由已知得
,,,
因为是等差数列,所以,,成等差数列,所以,
即,所以,解得,或. …………2分
又时,,对,成立,所以数列是等差数列;
时,,对,成立,所以数列是等差数列;
所以数列的通项公式分别为或。………………………………4分
(2)因为是等比数列,所以,,成等比数列,所以,
即,化简得,所以或,
当时,,所以,不满足.
当时,若,则与矛盾,所以,因此.…………8分
则,,因为按某种顺序排列成等差数列,
所以有,或,或,
解之得. …………………………………………………………12分
又因为,所以,所以,
由,得 ,即,
因为正整数,所以的取值集合为.………………………………………………16分
20.(1)因为,所以,因此,
所以函数的图象在点处的切线方程为, ………………………2分
由得,由,得
………………………………………………4分
(2)因为,
所以,由题意知在上有解,
因为,设,因为,
则只要,解得,
所以b的取值范围 ………………………………………………8分
(3)不妨设.因为函数在区间上是增函数,所以,
函数图象的对称轴为,且,
(ⅰ)当时,函数在区间上是减函数,所以,
所以等价于
即
等价于在区间上是增函数,
等价于在区间上恒成立
等价于在区间上恒成立
所以,又
所以 ………………………………………………10分
(ⅱ)当时,函数在区间上是减函数, 在上为增函数.
①当
等价于
等价于在区间上是增函数
等价于在区间上恒成立
等价于在区间上恒成立
所以,又
所以 ………………………………………………12分
②
等价于
等价于在区间上是增函数
等价于在区间上恒成立
等价于在区间上恒成立
所以,故 . ……………………………………14分
③
由图象的对称性知,只要对于①②同时成立,那么对于③,
则存在,
使恒成立;
或存在,
使恒成立.
因此,
综上,b的取值范围是 . ……………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21A.设外圆半径为,内圆半径为,作两圆的公切线.
设交内圆于,
连结,,则,
所以.………………………………………………………………5分
由弦切角定理知,
则 ,,
所以 ,即为定值.………………………………10分
21B.(1)由 =,得,所以;……………………5分
(2)由(1)知
则矩阵的特征多项式为
令,所以矩阵的特征值为或.……………………………………10分
21C.(1)因为,即,所以,
消去参数,得⊙的直角坐标方程为:;…………………3分
又因为,消去参数,得直线的普通方程为.………………6分
(2)由(1)知,圆心到直线的距离,…………………8分
所以直线和⊙相交.…………………………………………………………………10分
21D.∵a、b、c均为正实数,
∴(+)≥≥,当且仅当时等号成立;
(+)≥≥,当且仅当时等号成立;
(+)≥≥.当且仅当时等号成立;…………………6分
三个不等式相加即得++≥++,
当且仅当时等号成立.………………………………………………………10分
22.⑴如图,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则,
所以,
,
所以直线与所角的余弦值为.………………5分
⑵在中有,即.
所以.
设平面的一个法向量为,则
令,则.平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量,所以.
所以
故二面角A-A1D-B的平面角的正弦值为.…………………………………………10分
23.时,,
时,,
时,,
所以猜想:时,。………………………………………………3分
证明(1)当时,左边,右边成立,
(2)假设当时,原不等式成立,即,
则当时,左边,
右边,
要证成立,
即证,即证,
事实上由二项式定理,
,
即当时,原不等式也成立.
由(1)(2)可得当时,不等式成立. …………………10分
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