Pi为无理数证明
这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0，
x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n!
4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。
6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。
这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知这是个整数。
问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。
e是无理数的证明
证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...
假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数).
由e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...得e的展开式的前m+2项为e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/m!很明显此m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项为1/(m+1)!+1/(m+2)!+...=1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)+...)<1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)^2+...)=1/m!m<1/m!.
由m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项<1/m!得e不可表示为j/m!(j为整数).这与假设矛盾. 故e为无理数.
是无理数的证明
证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...
假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数).
由e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...得e的展开式的前m+2项为e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/m!很明显此m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项为1/(m+1)!+1/(m+2)!+...=1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)+...)<1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)^2+...)=1/m!m<1/m!.
由m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项<1/m!得e不可表示为j/m!(j为整数).这与假设矛盾. 故e为无理数.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b3d13d17bdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be8c9.html
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