上海市嘉定、黄浦区2012年高三年级第二次模拟考试
数学试卷（文科）
(2012年4月12日)
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是 ．
2．椭圆：的焦距是 ．
3．已知全集，集合
，则
= ．
4．已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点
，则幂函数
= ．
5．若函数在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是 ．
6．已知数列是公差为2的等差数列，则
= ．
7．已知点在圆
：
上，过点
作圆
的切线
，则切线
的方程是 ．
8．已知
，且
为
的共轭复数，若
(
是虚数单位)，则
= ．
9．已知是
的边
上的点，且
，
，如图1所示．若用
表示
，
则= ．
10．
的二项展开式的常数项是 ．
11．已知，
，
则= ．
12．已知圆柱的轴截面是正方形，点
是圆柱
下底面弧的中点，点
是圆柱上底面弧
的
中点，如图2所示，则异面直线与
所成的角的正切值= ．
13．某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决赛(其中高二(2)班2人，其他班级有7人)，比赛的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高二(2)班2人比赛序号不相连”的概率是 ．(结果用最简分数表示)
14．方程的不同实数根的个数是 ．
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知空间三条直线及平面
，且
、
．条件甲：
；条件乙：
，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（ ）
A．充分非必要条件． B．必要非充分条件．
C．充要条件． D．既非充分也非必要条件．
16．若实数满足约束条件
则目标函数
的最小值是…（ ）
A．． B．
． C．
． D．
．
17．现给出如下命题：
（1）若某音叉发出的声波可用函数描述，其中
的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹；
（2）在中，若
，则
；
（3）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8，则该总体标准差的点估计值是．
则其中正确命题的序号是………………………………………………………………（ ）
A．(1)、(2)． B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．
18．已知的三边分别是
，且
，当
时，记满足条件的所有三角形的个数为
，则数列
的通项公式
=………………（ ）
A ．． B．
． C ．
． D．
．
三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体截去一个角后所得的几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；(主视图投影面平行平面，主视方向如图所示。请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内)
（2）若截面
是边长为2的正三角形，求该几何体的体积
．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求
的取值范围．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，
型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年)．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用
表示A型车床在第
年创造的价值．
（1）求数列的通项公式
；
（2）记为数列
的前
项的和，
．企业经过成本核算，若
万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？(已知：若正数数列
是单调递减数列，则数列
也是单调递减数列)．
22．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分最多8分．
已知函数是定义域为
的偶函数，且对
，恒有
．又当
时，
．
（1）当时，求
的解析式；
（2）求证：函数是以
为周期的周期函数；
（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解题步骤)．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分．
① 当时，求
的解析式．(4分)
② 当(其中
是给定的正整数)时，若函数
的图像与函数
的图像有且仅有两个公共点，求实数
的取值范围．(6分)
③ 当(
是给定的正整数且
)时，求
的解析式．(8分)
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知定点，直线
，点
为坐标平面上的动点，过点
作直线
的垂线，垂足为点
，且
．
（1）求动点所在曲线
的方程；
（2）直线过点
与曲线
交于
两个不同点，求证：
；
（3）记与
的夹角为
(O为坐标原点，
为(2)中的两点)，求
的最小值．
2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(文科)
参考答案和评分标准(2012年4月12日)
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一．填空题
1．； 2．
； 3．
；
4．； 5．
； 6．
；
7．； 8．
； 9．
；
10． ； 11．
； 12．
；
13．； 14．
二、选择题： 15．A 16．C 17．B 18．B
三、解答题
19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
解(1)
word/media/image131_1.png
(每画对一个图形得2分) 6分
(2)设原正方体中由顶点出发的三条棱的棱长分别为
.
结合题意，可知，
，解得
.因此，所求几何体的体积
. 6分
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
解(1)∵，
∴. 2分
解，得
．
∴函数的单调增区间是
． 6分
(2)∵,
∴． ７分
考察函数，易知，
． ８分
∴．
∴函数的取值范围是
． 12分
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)依据题意，知构成首项为
，公差
的等差数列．
故(万元)． 3分
构成首项为
，公比
的等比数列．
因此， (万元)． 6分
于是， (万元)． ７分
(2)由(1)知，是单调递减数列，于是，数列
也是单调递减数列．
∵(万元)，
(万元)，
∴．
∴当时，
(万元)． 9分
当时，
(万元)；当
时，
(万元)． 13分
∴当时，恒有
．
∴该企业需要在第11年年初更换A型车床． 14分
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题最多8分．
解(1)∵是
上的偶函数，且
时，
，
又当时，
，有
．
∴． 5分
(2)证明∵对于，恒有
，
∴，即
． 7分
又∵是偶函数，
∴，即
是周期函数，且
就是它的一个周期． 10分
(3) 依据选择解答的问题评分
①． 14分
②． 16分
③ 18分
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
证明(1)设动点． 1分
依据题意，可得． 3分
又，
于是，，即
． 6分
因此，所求动点的轨迹方程为
．
证明(2)∵直线过
点且与曲线
交于不同的
两点，
∴的斜率不为零，故设
． ７分
联立方程组得
. ８分
设，则
，进一步得
10分
又∵曲线的准线为：
，
∴左边＝
＝右边． 12分
∴．证毕！
(3)由(2)可知，．
∴
(当且仅当
时，等号成立)． 16分
∴． 18分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b276fceb571252d380eb6294dd88d0d232d43c71.html
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