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【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数习题 新人教A版选修2-2

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第一章1.31.3.1函数的单调性与导数

A级基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有(A(1单调增函数的导数也是单调增函数；(2单调减函数的导数也是单调减函数；(3单调函数的导数也是单调函数；(4导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个C．3个
B．2个D．4个
12
[解析]分别举反例：(1y＝lnx，(2y＝(x>0，(3y＝2x，(4y＝x，故选A．
x
2．函数f(x＝ax－x在R上为减函数，则(AA．a≤0C．a<2
2
3
B．a<11D．a≤
3
[解析]f′(x＝3ax－1≤0恒成立，∴a≤0．
3．(2017·宣城高二检测函数f(x＝2＋x－2在区间(0,1内的零点个数是(BA．0C．2
B．1D．3
x
3
[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x＝2＋x－2,0<x<1，∴f′(x＝2ln2＋3x>0在(0,1上恒成立，∴f(x在(0,1上单调递增．
又f(0＝2＋0－2＝－1<0，f(1＝2＋1－2＝1>0，f(0f(1<0，则f(x在(0,1内至少有一个零点，
又函数y＝f(x在(0,1上单调递增，则函数f(x在(0,1内有且仅有一个零点．4．下列函数中，在(0，＋∞内为增函数的是(BA．y＝sinxC．y＝x－x
2
2
3
0
x3x2
B．y＝xeD．y＝lnx－x
2
2
[解析]对于B，y＝xe，则y′＝e，∴y＝xe在R上为增函数，在(0，＋∞上也为增函数，选B．
5．(2018·商洛模拟设f(x在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x的图推荐精选K12资料

推荐精选K12资料象可能是(B


[解析]由f(x的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x递减，即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选B．
lnx
6．若f(x＝，e<a<b，则(A
x
A．f(a>f(bC．f(a<f(b
1－lnx
[解析]因为f′(x＝，2
B．f(a＝f(bD．f(af(b>1
x
∴当x>e时，f′(x<0，则f(x在(e，＋∞上为减函数，因为e<a<b，所以f(a>f(b．选A．二、填空题
π5π7．(2018·无锡期末函数f(x＝x＋2cosx(0≤x≤2π的单调递减区间为(，．
66[解析]∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0，1
∴sinx＞，
2
π5ππ5π
又∵x∈[0,2π]，∴x∈(，，故答案为(，．
6666
132
8．(2018·沙市区校级期中函数y＝x－x－x的单调增区间为(－∞，，(1，＋∞．
31322
[解析]由y＝x－x－x，∴f′(x＝3x－2x－1＝3(x＋(x－1．
3
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1
令f′(x＝0，解得x＝－，1．
3列表如下：
x
f′(xf(x
1
(－∞，－
3
＋单调递增
1－30极大值
1
(－，13－单调递减
10极小值
(1，＋∞
＋单调递增
1
由表格可知：函数f(x的单调递增是(－∞，－，(1，＋∞；
31
故答案为(－∞，，(1，＋∞．
3三、解答题
9．(2018·天津理，20(1已知函数f(x＝a，g(x＝logax，其中a>1．求函数h(x＝f(x－xlna的单调区间．
[解析]由已知，h(x＝a－xlna，有h′(x＝alna－lna．令h′(x＝0，解得x＝0．
由a>1，可知当x变化时，h′(x，h(x的变化情况如下表：
x
x
x
xh′(xh(x
(－∞，0
－
00极小值
(0，＋∞
＋

所以函数h(x的单调递减区间为(－∞，0，单调递增区间为(0，＋∞．
10．(2017·长沙高二检测已知a≥0，函数f(x＝(x－2axe．设f(x在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
[解析]∵f(x＝(x－2axe，∴f′(x＝(2x－2ae＋(x－2axe＝e[x＋2(1－ax－2a]
令f′(x＝0，即x＋2(1－ax－2a＝0，解x1＝a－1－1＋a，x2＝a－1＋1＋a，其中x1<x2，
当x变化时，f′(x，f(x的变化情况如下表
2
2
22
2
x
x
x2x
x2
xf′(xf(x
(－∞，x1
＋
x1
0极大值
(x1，x2－
x2
0极小值
(x2，＋∞
＋

∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0．f(x在区间(x1，x2上单调递减，∴x2≥1，即a－1＋1＋a≥1，推荐精选K12资料
2

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3∴a≥．
4
B级素养提升
一、选择题
1．(2018·和平区二模已知f(x是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0处的切线方程为y＝(x0－x0－2x＋(y0－x0＋x0＋2x0，那么函数f(x的单调递减区间为(A
A．(－1,2C．(－∞，－1
B．(－2,1D．(2，＋∞
2
3
2
[解析]因为函数f(x，(x∈R上任一点(x0，y0的切线方程为
32
y＝(x20－x0－2x＋(y0－x0＋x0＋2x0，
即函数在任一点(x0，y0的切线斜率为k＝x0－x0－2，即知任一点的导数为f′(x＝x－x－2＝(x－2(x＋1，
由f′(x＜0，得－1＜x＜2，即函数f(x的单调递减区间是(－1,2．故选A．
2．(2018·黔东南州一模已知函数f(x＝2sinxcosx＋2cosx－1，则函数y＝lnf(x的单调递增区间是(A
ππ
A．(kπ－，kπ＋](k∈Z
883ππ
B．[kπ－，kπ＋(k∈Z
88π3π
C．[kπ＋，kπ＋(k∈Z
88π5π
D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z
88
π
[解析]由已知，化简得f(x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋，
4又y＝lnf(x与y＝f(x的单调性相同且f(x＞0，ππ
所以2x＋∈(2kπ，2kπ＋]，
42ππ
∴x∈(kπ－，kπ＋](k∈Z，
88故选A．
1
3．若函数f(x＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞单调递增，则a的取值范围是(C
3A．[－1,1]推荐精选K12资料
1
B．[－1，]
3
2
2
2

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11C．[－，]
33
1
D．[－1，－]
3
1
[解析]函数f(x＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞单调递增，等价于f′(x＝1
32425
－cos2x＋acosx＝－cosx＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞恒成立．设cosx＝t，333
425
则g(t＝－t＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，
33
g
所以g
45
＝－＋a＋≥0
33－
45＝－－a＋≥0
33

，
11
解得－≤a≤．故选C．
33二、填空题
4．已知函数f(x＝x＋ax＋(2a－3x－1．
(1若f(x的单调减区间为(－1,1，则a的取值集合为{0}．(2若f(x在区间(－1,1内单调递减，则a的取值集合为{a|a<0}．[解析]f′(x＝3x＋2ax＋2a－3＝(x＋1(3x＋2a－3．(1∵f(x的单调减区间为(－1,1，∴－1和1是方程f′(x＝0的两根，∴
3－2a
＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．3
23
2
(2∵f(x在区间(－1,1内单调递减，∴f′(x<0在(－1,1内恒成立，又二次函数y3－2a＝f′(x开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，
3
∴a的取值集合为{a|a<0}．三、解答题
5．(2017·驻马店高二检测已知函数f(x＝(ax＋x－1e，其中e是自然对数的底数，
2
x
a∈R．
(1若a＝1，求曲线f(x在点(1，f(1处的切线方程；(2若a＝－1，求f(x的单调区间．
[解析](1因为f(x＝(x＋x－1e，所以f′(x＝(2x＋1e＋(x＋x－1e＝(x＋3xe，所以曲线f(x在点(1，f(1处的切线斜率为k＝f′(1＝4e．
又因为f(1＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1，即4ex－y－3e＝0．
x
2
xx2x2
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(2f(x＝(－x＋x－1e，因为f′(x＝－x(x＋1e，令f′(x<0，得x<－1或x>0；f′(x>0得－1<x<0．
所以f(x的减区间为(－∞，－1，(0，＋∞，增区间为(－1,0．12
6．(2018·咸阳期末已知函数f(x＝ax－lnx－2．
2(1当a＝1时，求曲线f(x在点(1，f(1处的切线方程；(2若a＞0，求函数f(x的单调区间．12
[解析](1当a＝1时，f(x＝x－lnx－2，
2
2
xx
f′(x＝x－，
x
3
∴f′(1＝0，f(1＝－，
2
3
∴曲线f(x在点(1，f(1处的切线方程为y＝－；
2
1
ax2－1
(2∵f′(x＝(x＞0，
xa＞0时，令f′(x＞0，解得：x＞
∴f(x在(0，
aa，令f′(x＜0，解得：0＜x＜，aa
aa
递减，在(，＋∞递增．aa
C级能力拔高
已知函数f(x＝x＋2alnx．(1求函数f(x的单调区间；
2
(2若函数g(x＝＋f(x在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
2
x
2a2x＋2a
[解析](1f′(x＝2x＋＝，
2
xx
函数f(x的定义域为(0，＋∞．
①当a≥0时，f′(x>0，f(x的单调递增区间为(0，＋∞；②当a<0时f′(x＝
x＋－a
x
x－－a
．
当x变化时，f′(x，f(x的变化情况如下：
xf′(x
(0，－a
－
－a0
(－a，＋∞
＋
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f(x递减递增
由表格可知，函数f(x的单调递减区间是(0，－a；单调递增区间是(－a，＋∞．222a2
(2由g(x＝＋x＋2alnx，得g′(x＝－2＋2x＋，
xxx
由已知函数g(x为[1,2]上的单调减函数，则g′(x≤0在[1,2]上恒成立，22a
即－2＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．
xx
12
即a≤－x在[1,2]上恒成立．
x
1112
令h(x＝－x，x∈[1,2]，则h′(x＝－2－2x＝－(2＋2x<0，
xxx
7
∴h(x在[1,2]上为减函数．h(xmin＝h(2＝－，
277
∴a≤－，故a的取值范围为{a|a≤－}．
22
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b212985f0875f46527d3240c844769eae109a36a.html

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