椭圆练习题1
A组 基础过关
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于 ( ).
A. B. C. D.
解析 由题意得2a=2b⇒a=b,又a2=b2+c2⇒b=c⇒a=c⇒e=.
答案 B
2.(2012·长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ).
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
解析 依题意知:2a=18,∴a=9,2c=×2a,∴c=3,
∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方程为+=1.
答案 A
3.(2012·长春模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为( ).
A. B. C. D.
解析 先将x2+4y2=1化为标准方程+=1,则a=1,b=,c==.离心率e==.
答案 A
4.(2012·佛山月考)设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为( ).
A.1 B. C.2 D.
解析 由题意知,点P即为圆x2+y2=3与椭圆+y2=1在第一象限的交点,解方程组得点P的横坐标为.
答案 D
5.(2011·惠州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( ).
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
解析 依题意设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12, ∴2a=12,∴a=6,
∵椭圆的离心率为. ∴=,
∴=.解得b2=9,
∴椭圆G的方程为:+=1.
答案 C
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是________.
解析 由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a,所以点P到其另一个焦点F2的距离为|PF2|=2a-|PF1|=10-6=4.
答案 4
7.(2011·皖南八校联考)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.
解析 在三角形PF1F2中,由正弦定理得
sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=,
设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|=,
∴离心率e==.
答案
8.(2011·江西)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),
即2kx-2y-2k+1=0,
由=1,解得k=-,
所以圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,
求得切点A,
易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.
令y=0得右焦点为(1,0),
令x=0得上顶点为(0,2).∴a2=b2+c2=5,
故得所求椭圆方程为+=1.
答案 +=1
三、解答题(共23分)
9.(11分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2.
试求:(1)椭圆的方程;(2)△PF1F2的面积.
解 (1)∵P点在椭圆上, ∴+=1.①
又PF1⊥PF2,∴·=-1,得:c2=25,②
又a2=b2+c2,③
由①②③得a2=45,b2=20.
椭圆方程为+=1.
(2)S△PF1F2=|F1F2|×4=5×4=20.
10.(12分)(2011·陕西)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
解 (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
由已知得
∵P在圆上,∴x2+2=25,即C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,即x2-3x-8=0.
∴x1=,x2=.
∴线段AB的长度为|AB|====.
B级 提高题
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2012·丽水模拟)若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( ).
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF1F2中,设|PF2|=1,则|PF2|=2.|F1F2|=,∴e==.
答案 A
2.(2011·汕头一模)已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( ).
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
解析 当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.
答案 C
二、填空题(每小题4分,共8分)
3.(2011·镇江调研)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________.
解析 设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·
(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2①
将y2=b2-x2代入①式解得x2=,
又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈.
答案
4.(2011·浙江)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.
解析 根据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d).F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-,0)、(,0),可得=(m+,n),=(c-,d),∵=5,∴c=,d=.∵点A、B都在椭圆上,∴+n2=1,+2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).
答案 (0,±1)
三、解答题(共22分)
5.(10分)(2011·大连模拟)设A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左,右顶点,为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.
(1)求椭圆的方程;
(2)设P(4,x)(x≠0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:∠MBN为钝角.
(1)解 (1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2,
设椭圆方程为+=1,将代入,得c2=1,故椭圆方程为+=1.
(2)证明 由(1),知A(-2,0),B(2,0),
设M(x0,y0),则-2<x0<2,y=(4-x),
由P,A,M三点共线,得x=,
=(x0-2,y0),=,
·=2x0-4+=(2-x0)>0,
即∠MBP为锐角,则∠MBN为钝角.
6.(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足·=2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.
解 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得解得a2=4,b2=3.
故椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>-.
又x1+x2=,x1x2=,
因为·=2,
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,
所以(x1-2)·(x2-2)(1+k)=|PM|2=.
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.
所以(1+k)==,解得k1=±.
因为k1>-,所以k1=.
于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.
【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为:,第一步:假设结论成立.,第二步:以存在为条件,进行推理求解.,第三步:明确规范结论,若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾,即否定假设.,第四步:回顾检验本题若忽略Δ>0这一隐含条件,结果会造成两解.
椭圆练习题2
一、填空题
1.椭圆的焦距为______________。
2.如果方程表示焦点在轴的椭圆,则的取值范围是_____________。
3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点,则椭圆方程是_______。
4.椭圆的焦距是2,则的值是______________。
5.若椭圆长轴的长等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为______________。
6.是椭圆上的一点,和是焦点,若∠F1PF2=30°,则△F1PF2的面积等于______________。
7.已知是椭圆上的一点,若到椭圆右准线的距离是,则点到左焦点的距离是______________。
8.椭圆的点到左准线的距离为5,则它到右焦点的距离为______________。
9.椭圆的中心到准线的距离是______________。
10.中心在原点,准线方程为x =±4,离心率为的椭圆方程是______________。
11.点P在椭圆上,则点P到直线的距离的最大值是___________。
12.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是_____________。
13.若椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是______________。
14.已知椭圆内有一点,是椭圆的右焦点,在椭圆上求一点,使之值为最小的的坐标是______________。
二、解答题
15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率,短轴长为,求椭圆的方程
16.已知A、B为椭圆+=1上两点,F2为椭圆的右焦点,若=,AB中点到椭圆左准线的距离为,求该椭圆方程。
17.一条变动的直线与椭圆+=1交于、两点,是上的动点,满足关系.若直线在变动过程中始终保持其斜率等于1.求动点的轨迹方程,并说明曲线的形状。
椭圆2参考答案
一、填空题
1.2 2. 3. 4.5 5. 6.
7. 8. 6 9.3 10. 11.
12. 13. 14.
二、解答题
15.由 ,∴椭圆的方程为:或.
16.设,,由焦半径公式有,
∴即AB中点横坐标为,又左准线方程为,∴,即a=1,∴椭圆方程为。
17.设动点,动直线:,并设,是方程组的解,消去,得其中
,∴,且,,又∵,.由,得,也即,于是有。
,。由,得椭圆夹在直线间两段弧,且不包含端点.由,得椭圆。
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