一、极限的定义
1.极限的保号性很重要:设
(i)若A
(ii)若有
2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为
(i)数列
(ii)
(iii)
(iv)单调有界准则
(v)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)
(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。极限
二.解决极限的方法如下:
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达(L’hospital)法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)
洛必达法则(定理)
设函数f(x)和F(x)满足下列条件:
⑴x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
⑶x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
注: 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近,而不是N趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f(x)、g(x),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况:
(i)“
(ii)“
(iii)“
3.泰勒公式(含有
cos=
ln(1+x)=x-
(1+x)
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设
P(x)=
(i)
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理:主要是应用于数列极限,常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例:(1)设
解:由于
(2)求
解:由
(3)求
解:由
7.数列极限中等比等差数列公式应用(等比数列的公比q绝对值要小于1)。例如:
求
8.数列极限中各项的拆分相加(可以使用待定系数法来拆分化简数列)。例如:
9.利用
(1)已知
解:设
(2)利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设
解:(i)显然
10.两个重要极限的应用。
(i)
(ii)
11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的,
12.换元法。这是一种技巧,对一道题目而言,不一定就只需要换元,但是换元会夹杂其中。例如:求极限
原式=
13.利用定积分求数列极限。例如:求极限
14.利用导数的定义求“
例:设
解:原式=
=
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/b1fffdf05627a5e9856a561252d380eb639423d2.html
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