2014年高考数学总复习教案：第四章 平面向量与复数第4课时 复数

第四章　平面向量与复数第4课时　复　 数(对应学生用书(文)、(理)68～69页)

1. (课本改编题)复数z＝＋i的共轭复数为________．

答案：－i

解析：∵ z＝＋i，∴ z －＝－i.

2. (课本改编题)已知z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a＝________．

答案：1

解析：z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵ z在复平面内对应的点在实轴上，∴ a－1＝0，从而a＝1.

3. (课本改编题)已知i是虚数单位，则＝________．

答案：－＋i

解析：＝＝＝－＋i.

4. (课本改编题)设(1＋2i)＝3－4i(i为虚数单位)，则|z|＝________．

答案：

解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，

即|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝.

5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D对应的复数为________．

答案：5－3i

解析：对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为zD－(3＋3i)，平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i.

1. 复数的概念

(1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．

(2) 代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．

2. 复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，

z是实数 b＝0，z是虚数 b≠0，

z是纯虚数 a＝0，b≠0．

3. a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．

4. 复数相等的条件

a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R) a＝c且b＝d.

特殊的，a＋bi＝0(a、b∈R) a＝0且b＝0.

5. 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即|z|＝||＝.

6. 运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．

(1) z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

(2) z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(3)＝＋i.

[备课札记]

题型1　复数的概念

例1　已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：

(1) 实数；

(2) 虚数；

(3) 纯虚数．

解：(1) 当z为实数时，

则有　所以

所以m＝6，即m＝6时，z为实数．

(2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．

(3) 当z为纯虚数时，则有

所以故不存在实数m使z为纯虚数．

已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．

(1) z∈R；

(2) z是虚数；

(3) z是纯虚数．

解：(1) 由z∈R，得解得m＝－3.

(2) 由z是虚数，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，

解得m≠1且m≠－3.

(3) 由z是纯虚数，得

解得m＝0或m＝－2.

题型2　复数相等的条件

例2　若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．

解：由已知ai＋2＝b－i，∴

∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.

设复数＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋b＝________．

答案：1

解析：由＝－＝＝i，得a＝0，b＝1，所以a＋b＝1.

题型3　复数代数形式的运算

例3　已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

解：(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.

设z2＝a＋2i，a∈R，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵ z1·z2∈R，∴ a＝4.∴ z2＝4＋2i.

设i是虚数单位，若z＝＋ai是实数，则实数a＝________．　

答案：

解析：z＝＋ai＝＋ai＝＋i∈R，所以a－＝0，a＝.

题型4　复数的几何意义

例4　已知O为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若1＋z2是实数．

(1) 求实数a的值；

(2) 求以，为邻边的平行四边形的面积．

解：(1) ∵ 1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是实数，∴ a2＋2a－15＝0.

∴ a＝3，a＝－5(舍)．

(2) 由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i，∴ ＝，＝(－1，1)，∴ ||＝，||＝，cos〈，〉＝＝＝.∴ sin〈，〉＝＝，∴ S ＝||||sin〈，〉＝××＝.∴ 平行四边形的面积为.

如图所示，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：

(1)、所表示的复数；

(2) 对角线所表示的复数；

(3) 求B点对应的复数．

[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．

解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.

因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.

(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)＝＋＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.

1. (2013·江苏)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．

答案：5

解析：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，|z|＝＝5.

2. 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．

答案：0

解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.

3. 设a、b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b＝________．

答案：8

解析：由a＋bi＝，得a＋bi＝＝＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，a＋b＝8.

4. (2013·南通二模)设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为________．

答案：

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵ 复数z满足|z|＝|z－1|＝1，∴ 解得a＝.∴ 复数z的实部为.

1. (2013·重庆卷)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．

答案：

解析：z＝＝＝2＋i |z|＝.

2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________．

答案：第四象限

解析：(2－i)2＝3－4i对应的点为(3，－4)位于第四象限．

3. (2013·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．

答案：－2

解析：由m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数可知 m＝－2.

4. m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.

(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．

解：(1) 当即时，

∴当m＝5时，z是实数．

(2) 当即时，

∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．

(3) 当即时，

∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．

5. 设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z的值和|z－ω|的取值范围．

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入4z＋2z＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i.

∴解得　∴z＝＋i.

|z－ω|＝

＝＝

＝.

∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4.

∴0≤|z－ω|≤2.

1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．

2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．

3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．

请使用课时训练(B)第4课时(见活页)．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b105af467375a417866f8f9b.html