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有限元分析过程

发布时间：2019-11-20 01:47:13 来源：文档文库

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有限元分析过程：一，结构离散化1.选择单元类型2.单元划分；二，单元分析1.选择位移函数2.分析单元力学特性；三，整体分析1.集成整体结点载荷向量2.集成整体刚度方程3.引进边界约束条件，解总体刚度方程求出结点位移分量。

位移模式应满足下列收敛性条件：完备性 1.位移模式必须包含单元的常应变状态；2.位移模式必须包含单元的刚体位移；协调性 3.位移模式应尽可能反映位移的连续性。

单元刚度矩阵的性质：1.对称性；2.单元刚度矩阵与单元位置无关；3.奇异性。

总体刚度矩阵的性质：1.稀疏性；2.带状性；3.奇异性与对称性。

由单元刚度方程组集总纲时应满足的原则：1各单元在公共节点上协调地彼此连接，即在公共结点处具有相同的位移2结构的各节点离散出来后应满足平衡条件

提高单元精度的方法:1增加结点数即提高位移模式的阶次2建立等参单元进行等参数变换

等参数变换、等参数单元、等参单元具有哪些优越性？：1将局部坐标中几何形状的单元转换成总体坐标中几何形状复杂的单元且这种坐标变换和函数插值采用了相同数目的结点数参数和相同的插值函数2采用等参数变换的单元称为等参数单元3优点：可以很方便地用来离散具有复杂性体的结构。由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，

边界条件：位移边界条件和应力边界条件

引进位移边界条件的方法：对角元素改一和乘大数

弹性力学中求解力学位移的方法：解析法或半解析法、数值法

弹性力学的基本方程：平衡方程（静力平衡关系）、几何方程（应变分量与位移间的关系）、物理方程（应力分量与应变分量之间的关系）

什么叫结点力和结点载荷？两者有什么不同？为什么应保留结点力的概念？：①结点力：结点对单元的作用力。结点载荷：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效载荷，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等②相对于整体结构来说，节点力是内力，结点载荷是外力③节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到

在薄板弯曲理论中做了哪些假设？解：①板厚方向的挤压变形可忽略不计。②在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面的法线。③薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形

减少问题自由度的措施有哪些？解：利用结构的对称性，采用子结构技术等，可以使求解方程组的自由度数大为降低

在有限元法诞生之前，求解弹性力学定解问题:按应力求解，按位移求解，混合求解

对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？①在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。②在整体分析中，对所有单元都应采用同一坐标系即整体坐标系，否则为围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此在整体分析前还要进行坐标转换。

为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz法的收敛的条件是什么？①如果真实场函数包含在试探函数内，则变分法得到的解答是精确的。然而，通常情况下试探函数不会将真是的函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。所以变分法求解只能通常只能得到近似解。②采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法遭遇困难。③Ritz法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n趋向于无穷大时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。

有哪几种梁弯曲理论？梁弯曲理论包括工程梁理论和剪切梁理论。

薄壳理论有哪些假设？与薄板理论的假设有何异同？①壳厚方向的挤压变形可忽略不记。②中面法线变形后仍保持为直线且为中面的法线。③壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。④折板假设。⑤非耦合假设

形函数是一种只与单元的形状、节点的配置及插值方式有关的数学插值函数，它规定了从结点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法，决定了单元位移场的基本形态。单刚系数Kij的物理意义：单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。

有限元基本思想：先分后合，化零为整；化整为零，积零为整。

有限单元中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程序是怎样的？解①离散：将连续区域分散成有限多个子区域；②给每个单元选择合适的位移函数来近似的表示单元内位移函数来近似的表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因为结点位移个数是有限的，故无线自由度问题就转变成了有限自由度的问题；③有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。

弹性力学中的基本变量包含（位移、应力、应变）边界条件:位移边界条件、应力边界条件

平面应力问题：很薄的均匀薄板只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力，其中零应力分量有（）非零应力分量有（）共有（8个）独立的未知量（）。

平面应变问题：无限长的柱形体，在截面上受有平行于横截面且不沿厚度变化的面力，其中零应变分量有（）非零应变分量有（）共有8个独立的未知量（）。

区别：平面应力是真正的二维分布状态，平面应变是三维应力状态。平面应变（σz不为0 由σx、σy的大小决定）

虚功方程的作用：弹性力学解析求解的过程太繁杂，故从能量的角度分析大大简化分析的过程。

虚功原理：假定加载弹性体上一个可能的、任意的、微笑的位移，在平衡条件下，弹性体内的应变能应等于外力所做虚功。

整刚矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各结点上需要施加的结点载荷。

矩形单元的优缺点：其位移模式推到出的应力、应变不再是常量，分布更接近实际物体中的分布，提高了精度。对于斜边性辩解和曲线辩解的拟合性差，切不便于在不同部位采用不同大小的单元

与平面问题相比，轴对称问题有何特点？解：周堆成问题是空间问题的一种特殊情况。结构的几何形状、约束条件及荷载分布都对称于某个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴而与环向坐标无关。

为什么轴对称单元是常应变单元？（由轴対称单元的应变矩阵可知，单元中的应变分量都是常量，但环向应变不是常量，它与单元各结点的位置有关）

按位移法求解的有限单元法中：（1）应用了哪些弹性力学的基本方程（2）应力边界条件及位移边界条件是如何反映的（3）力的平衡条件是如何满足的（4）变形协调条件是如何满足的？解：①几何方程和物理方程②应力边界条件按照节点载荷或结点的等效载荷作用在模型上；位移边界条件采用“置零一法”和“乘大数法”修改总纲矩阵反映。③力的平衡条件在两处运用了：一是单纲矩阵的推导中运用了虚功方程，二是在总刚组集中的第二个原则。④变形协调条件是由单元的位移模式必须保证有限元模型位移的连续性来保证。

板单元：①固定边界，在板的边界即固定边界上的挠度，切向转角和法向转角均为0。②当薄板和支承梁是铰接时，板的边界可看作简支，在简支边界上，挠度为零，法向的弯矩为零。③自由边界，板的边界不与其他构件或外界相连，每个结点3个自由度。

总刚组集原则：a整个离散结构变性后，各个单元在节点处仍然协调的互相连接。即环绕某个节点的n个单元在节点处有相同的位移。b各个节点应满足静力平衡条件。即每个节点上的节点力合力应等于该节点的节点载荷。

单元划分的优缺点：三角形单元的有点是简单且对结构不规则边界逼近好，矩形单元更能反映实际弹性体的应力、应变变化。

在有限元法诞生之前，求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些？

解：基本方法：按应力求解，按位移求解，混合求解。

什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下列问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件，其中附加了哪些条件？

解：①在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。②外力势能就是外力所做功的负值。③势能变分原理：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能能泛函取驻值，即势能的变分为零。对于线性弹性体，势能取最小值，即此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。势能变分原理代表的控制方程有平衡微分方程和本构方程，边界条件有应力边界条件。其中附加了几何方程和位移边界条件。

构造单元形函数有哪些基本原则？

解：单元位移函数通常采用多项式，其中的代订常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包含常数项和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可以在单元内部配置节点。但这种结点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，既满足完备性和协调性条件。

试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。

解：设坐标系中任意一点(x0,y0)为单元局部坐标系的原点，并将点（x0,y0）作为矩阵单元的形心。则坐标变换关系式为。。。。。

何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？

解：①三角形单元中任意一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定，其中,A1,A2,A3分别为三角形P23,P13,P12的面积，L1,L2,L3称为面积坐标。②特点：1，T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li。2，面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。3，三个结点的面积坐标分别为1（1，0，0）2（0，1，0）3（0，0，1）形心的面积坐标为（1/3,1/3,1/3）。4，单元边界方程为Li=0(i=1,2,3)。5，在平行于23边界的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1，而且L1就等于此直线至23边界的距离与节点1至23边的距离之比值。6，面积坐标与直角坐标互成线性关系。③面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，因此称为局部坐标或自然坐标。