牛顿第二定律

牛顿第二定律

教学目标：

1．理解牛顿第二定律，能够运用牛顿第二定律解决力学问题

2．理解力与运动的关系，会进行相关的判断

3．掌握应用牛顿第二定律分析问题的基本方法和基本技能

教学重点：理解牛顿第二定律

教学难点： 力与运动的关系

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、牛 顿 第 二 定 律

1．定律的表述

物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，即F=ma （其中的F和m、a必须相对应）

点评：特别要注意表述的第三句话。因为力和加速度都是矢量，它们的关系除了数量大小的关系外，还有方向之间的关系。明确力和加速度方向，也是正确列出方程的重要环节。

若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不是物体的实际加速度。

2．对定律的理解：

（1）瞬时性：加速度与合外力在每个瞬时都有大小、方向上的对应关系，这种对应关系表现为：合外力恒定不变时，加速度也保持不变。合外力变化时加速度也随之变化。合外力为零时，加速度也为零。

（2）矢量性：牛顿第二定律公式是矢量式。公式word/media/image1.gif只表示加速度与合外力的大小关系.矢量式的含义在于加速度的方向与合外力的方向始终一致.

（3）同一性：加速度与合外力及质量的关系，是对同一个物体（或物体系）而言。即 F与a均是对同一个研究对象而言。

（4）相对性：牛顿第二定律只适用于惯性参照系。

（5）局限性：牛顿第二定律只适用于低速运动的宏观物体，不适用于高速运动的微观粒子。

3．牛顿第二定律确立了力和运动的关系

牛顿第二定律明确了物体的受力情况和运动情况之间的定量关系。联系物体的受力情况和运动情况的桥梁或纽带就是加速度。

4．应用牛顿第二定律解题的步骤

（1）明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为mi，对应的加速度为ai，则有：

F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan

对这个结论可以这样理解：

先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律：

∑F1=m1a1，∑F2=m2a2，……∑Fn=mnan，

将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现并且大小相等方向相反的，其矢量和必为零，所以最后得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。

（2）对研究对象进行受力分析。同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。

（3）若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则（或三角形定则）解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题（注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。

（4）当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。

解题要养成良好的习惯。只要严格按照以上步骤解题，同时认真画出受力分析图，标出运动情况，那么问题都能迎刃而解。

二、应用举例

1．力与运动关系的定性分析

【例1】 如图所示，如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是

word/media/image2.gifA．小球刚接触弹簧瞬间速度最大

B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上

C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小

D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大

解析：小球的加速度大小决定于小球受到的合外力。从接触弹簧到到达最低点，弹力从零开始逐渐增大，所以合力先减小后增大，因此加速度先减小后增大。当合力与速度同向时小球速度增大，所以当小球所受弹力和重力大小相等时速度最大。选CD。

【例2】如图所示．弹簧左端固定，右端自由伸长到O点并系住物体m．现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体一直可以运动到B点．如果物体受到的阻力恒定，则

word/media/image3.gifA．物体从A到O先加速后减速

B．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动

C．物体运动到O点时所受合力为零

D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小

解析：物体从A到O的运动过程，弹力方向向右．初始阶段弹力大于阻力，合力方向向右．随着物体向右运动，弹力逐渐减小，合力逐渐减小，由牛顿第二定律可知，此阶段物体的加速度向右且逐渐减小，由于加速度与速度同向，物体的速度逐渐增大．所以初始阶段物体向右做加速度逐渐减小的加速运动．

当物体向右运动至AO间某点（设为O′）时，弹力减小到等于阻力，物体所受合力为零，加速度为零，速度达到最大．

此后，随着物体继续向右移动，弹力继续减小，阻力大于弹力，合力方向变为向左．至O点时弹力减为零，此后弹力向左且逐渐增大．所以物体从O′点后的合力方向均向左且合力逐渐增大，由牛顿第二定律可知，此阶段物体的加速度向左且逐渐增大．由于加速度与速度反向，物体做加速度逐渐增大的减速运动．

正确选项为A、C．

点评：

（1）解答此题容易犯的错误就是认为弹簧无形变时物体的速度最大，加速度为零．这显然是没对物理过程认真分析，靠定势思维得出的结论．要学会分析动态变化过程，分析时要先在脑子里建立起一幅较为清晰的动态图景，再运用概念和规律进行推理和判断．

（2）通过此题，可加深对牛顿第二定律中合外力与加速度间的瞬时关系的理解，加深对速度和加速度间关系的理解．譬如，本题中物体在初始阶段，尽管加速度在逐渐减小，但由于它与速度同向，所以速度仍继续增大．

2．牛顿第二定律的瞬时性

【例3】如图（1）所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1 、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

（1）下面是某同学对该题的某种解法：

解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下处于平衡。word/media/image4.gifmg，word/media/image5.gif，解得word/media/image6.gif=mgtanθ，剪断线的瞬间，T2突然消失，物体却在T2反方向获得加速度，因为mgtanθ=ma所以加速度a=gtanθ，方向在T2反方向。你认为这个结果正确吗？说明理由。

（2）若将图（1）中的细线L1改为长度相同，质量不计的轻弹簧，如图（2）所示，其它条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。

解析：（1）这个结果是错误的。当L2被剪断的瞬间，因T2突然消失，而引起L1上的张力发生突变，使物体的受力情况改变，瞬时加速度沿垂直L1斜向下方，为a=gsinθ。

（2）这个结果是正确的。当L2被剪断时，T2突然消失，而弹簧还来不及形变（变化要有一个过程，不能突变），因而弹簧的弹力T1不变，它与重力的合力与T2是一对平衡力，等值反向，所以L2剪断时的瞬时加速度为a=gtanθ，方向在T2的反方向上。

点评：牛顿第二定律F合＝ma反映了物体的加速度a跟它所受合外力的瞬时对应关系．物体受到外力作用，同时产生了相应的加速度，外力恒定不变，物体的加速度也恒定不变；外力随着时间改变时，加速度也随着时间改变；某一时刻，外力停止作用，其加速度也同时消失．

3．正交分解法

【例4】如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体受到大小为20Ｎ，与水平方向成30°角斜向上的拉力F作用时沿水平面做匀加速运动，求物体的加速度是多大?（g取10 m/s2）

解析：以物体为研究对象，其受力情况如图所示，建立平面直角坐标系把F沿两坐标轴方向分解，则两坐标轴上的合力分别为

word/media/image10.gif

物体沿水平方向加速运动，设加速度为a，则x轴方向上的加速度ax＝a，y轴方向上物体没有运动，故ay＝０，由牛顿第二定律得word/media/image11.gif

所以word/media/image12.gif

又有滑动摩擦力word/media/image13.gif

以上三式代入数据可解得物体的加速度a=0.58 m/s2

点评：当物体的受力情况较复杂时，根据物体所受力的具体情况和运动情况建立合适的直角坐标系，利用正交分解法来解．

4．合成法与分解法

【例5】如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg．（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（1）求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况．

（2）求悬线对球的拉力．

解析：

（1）球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象．球受两个力作用：重力mg和线的拉力FT，由球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．做出平行四边形如图所示．球所受的合外力为

F合＝mgtan37°

由牛顿第二定律F合＝ma可求得球的加速度为

word/media/image16.gif7.5m/s2

加速度方向水平向右．

车厢可能水平向右做匀加速直线运动，也可能水平向左做匀减速直线运动．

（2）由图可得，线对球的拉力大小为

word/media/image17.gifN=12.5 N

点评：本题解题的关键是根据小球的加速度方向，判断出物体所受合外力的方向，然后画出平行四边形，解其中的三角形就可求得结果．

【例6】如图所示， m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。求：

（1）小车以a=g向右加速；

（2）小车以a=g向右减速时，细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2各多大？

解析：

（1）向右加速时小球对后壁必然有压力，球在三个共点力作用下向右加速。合外力向右，F2向右，因此G和F1的合力一定水平向左，所以 F1的大小可以用平行四边形定则求出：F1=50N，可见向右加速时F1的大小与a无关；F2可在水平方向上用牛顿第二定律列方程：F2-0.75G =ma计算得F2=70N。可以看出F2将随a的增大而增大。（这种情况下用平行四边形定则比用正交分解法简单。）

（2）必须注意到：向右减速时，F2有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此F1的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。当时G和F1的合力刚好等于ma，所以a的临界值为word/media/image20.gif。当a=g时小球必将离开后壁。不难看出，这时F1=word/media/image21.gifmg=56N， F2=0

【例7】如图所示，在箱内倾角为α的固定光滑斜面上用平行于斜面的细线固定一质量为m的木块。求：（1）箱以加速度a匀加速上升，（2）箱以加速度a向左匀加速运动时，线对木块的拉力F1和斜面对箱的压力F2各多大？

解：（1）a向上时，由于箱受的合外力竖直向上，重力竖直向下，所以F1、F2的合力F必然竖直向上。可先求F，再由F1=Fsinα和F2=Fcosα求解，得到： F1=m（g+a）sinα，F2=m（g+a）cosα

显然这种方法比正交分解法简单。

（2）a向左时，箱受的三个力都不和加速度在一条直线上，必须用正交分解法。可选择沿斜面方向和垂直于斜面方向进行正交分解，（同时正交分解a），然后分别沿x、y轴列方程求F1、F2：

F1=m（gsinα-acosα），F2=m（gcosα+asinα）

经比较可知，这样正交分解比按照水平、竖直方向正交分解列方程和解方程都简单。

点评：还应该注意到F1的表达式F1=m（gsinα-acosα）显示其有可能得负值，这意味着绳对木块的力是推力，这是不可能的。这里又有一个临界值的问题：当向左的加速度a≤gtanα时F1=m（gsinα-acosα）沿绳向斜上方；当a>gtanα时木块和斜面不再保持相对静止，而是相对于斜面向上滑动，绳子松弛，拉力为零。

5．在动力学问题中的综合应用

【例7】 如图所示，质量m=4kg的物体与地面间的动摩擦因数为μ=0.5，在与水平成θ=37°角的恒力F作用下，从静止起向右前进t1=2.0s后撤去F，又经过t2=4.0s物体刚好停下。求：F的大小、最大速度vm、总位移s。

解析：由运动学知识可知：前后两段匀变速直线运动的加速度a与时间t成反比，而第二段中μmg=ma2，加速度a2=μg=5m/s2，所以第一段中的加速度一定是a1=10m/s2。再由方程word/media/image25.gif可求得：F=54.5N

第一段的末速度和第二段的初速度相等都是最大速度，可以按第二段求得：vm=a2t2=20m/s 又由于两段的平均速度和全过程的平均速度相等，所以有word/media/image26.gifm

点评：需要引起注意的是：在撤去拉力F前后，物体受的摩擦力发生了改变。

可见，在动力学问题中应用牛顿第二定律，正确的受力分析和运动分析是解题的关键，求解加速度是解决问题的纽带，要牢牢地把握住这一解题的基本方法和基本思路。我本在下一专题将详细研究这一问题。

三、针对训练

1．下列关于力和运动关系的几种说法中，正确的是

A．物体所受合外力的方向，就是物体运动的方向

B．物体所受合外力不为零时，其速度不可能为零

C．物体所受合外力不为零，其加速度一定不为零

D．合外力变小的，物体一定做减速运动

2．放在光滑水平面上的物体，在水平方向的两个平衡力作用下处于静止状态，若其中一个力逐渐减小到零后，又恢复到原值，则该物体的

A．速度先增大后减小

B．速度一直增大，直到某个定值

C．加速度先增大，后减小到零

D．加速度一直增大到某个定值

3．下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是

A．由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比

B．由word/media/image27.gif可知，物体的质量与其所受合外力成正比，与其运动的加速度成反比

C．由word/media/image1.gif可知，物体的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比

D．由word/media/image27.gif可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合外力而求得

4．在牛顿第二定律的数学表达式F＝kma中，有关比例系数k的说法正确的是

A．在任何情况下k都等于1

B．因为k＝１，所以k可有可无

C．k的数值由质量、加速度和力的大小决定

D．k的数值由质量、加速度和力的单位决定

5．对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用的瞬间

A．物体立即获得速度

Ｂ．物体立即获得加速度

C．物体同时获得速度和加速度

D．由于物体未来得及运动，所以速度和加速度都为零

6．质量为1kg的物体受到两个大小分别为2Ｎ和2Ｎ的共点力作用，则物体的加速度大小可能是

A．5 m/s2 B．3 m/s 2 C．2 m/s 2 D．0.5 m/s 2

word/media/image28.gif7．如图所示，质量为10kg的物体，在水平地面上向左运动．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2．与此同时，物体受到一个水平向右的推力F＝20N的作用，则物体的加速度为（g取10 m/s2）

A．0 B．4 m/s2，水平向右

C．2 m/s2，水平向右 D．2 m/s2，水平向左

8．质量为ｍ的物体放在粗糙的水平面上，水平拉力F作用于物体上，物体产生的加速度为a，若作用在物体上的水平拉力变为2 F，则物体产生的加速度

A．小于a B．等于a

C．在a和2a之间 D．大于2a

9．物体在力F作用下做加速运动，当力F逐渐减小时，物体的加速度________，速度______；当F减小到0时，物体的加速度将_______，速度将________．（填变大、变小、不变、最大、最小和零）等．

word/media/image29.gif10．如图所示，物体A、B用弹簧相连，mB=2mA， A、B与地面间的动摩擦因数相同，均为μ，在力F作用下，物体系统做匀速运动，在力F撤去的瞬间，A的加速度为_______，B的加速度为_______（以原来的方向为正方向）．

11．甲、乙两物体的质量之比为5∶3，所受外力大小之比为2∶3，则甲、乙两物体加速度大小之比为 ．

12．质量为8×103 kg的汽车，以1.5 m/s2的加速度沿水平路面加速，阻力为2.5×103Ｎ，那么汽车的牵引力为 Ｎ．

13．质量为1.0 kg的物体，其速度图像如图所示，4s内物体所受合外力的最大值是 N；合外力方向与运动方向相反时，合外力大小为 Ｎ．

word/media/image30.gif14．在质量为M的气球下面吊一质量为m的物体匀速上升．某时刻悬挂物体的绳子断了，若空气阻力不计，物体所受的浮力大小不计，求气球上升的加速度．

参考答案：

1.C 2.BC 3.CD 4.D 5.B 6.ABC 7.B 8.D

9．变小、增大、为零、不变 10．0；－word/media/image31.gifμg

11. 2∶5 12. 1.45×104 13.4 2 14. word/media/image32.gif

教学后记

学生通过复习掌握了解决动力学两类问题的方法，但是对于比较复杂的综合性题目，

学生解起来有一定的难度，在以后的复习中应注意加强训练。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/af1320be657d27284b73f242336c1eb91b373361.html