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2016甘肃卫生职业学院数学单招试题测试版（附答案解析）

发布时间：2020-08-14 17:48:12 来源：文档文库

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限时：90分钟　满分：122分

一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)

1．若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A．{x|－1≤x≤1}　　　　　 B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1} D．∅

解析：选C　依题意得，∁RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以(∁RA)∩B＝{x|0≤x≤1}．

2．已知命题p：∃x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，则綈p为(　　)

A．∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

B．∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x≠df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

C．∃x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x≠df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

D．∃x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x>df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

解析：选B　依题意得，命题綈p应为：∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，sin x≠df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

3．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(　　)

A．“p且q”是真命题 B．“p或q”是假命题

C．綈p为假命题 D．綈q为假命题

解析：选B　∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝dcd527f34637e6fa3a62d4759b85821e.png综上可知，“p或q”是假命题．

4．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4 B．a≤4

C．a≥5 D．a≤5

解析：选C　命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．

5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图像大致是(　　)

解析：选C　函数f(x)＝1＋log2x的图像是把函数y＝log2x的图像向上平移一个单位长度得到的，函数f(x)的图像与x轴的交点坐标为bf027a00cea7a8a93446e93d39d7de4d.png，选项B、C、D中的图像均符合；函数g(x)＝2－x＋1＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx－1的图像是把函数y＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx的图像向右平移一个单位长度得到的，函数g(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2)，选项A、C符合要求．故正确选项为C.

6．已知g(x)为三次函数f(x)＝40fc4a6018bc23e35a7c49ba8ec78727.pngx3＋ax2＋cx的导函数，则它们的图像可能是(　　)

解析：选D　由题意知g(x)＝f′(x)＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，则g(x)的图像关于直线x＝－1对称，排除B、C；对选项A，由g(x)的图像知x＝0是f(x)的极小值点，与f(x)的图像不相符，所以只有D项的图像是可能的．

7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2df9d44c415cf85869851442e92d33b3.png)<f(x)的x的取值围是(　　)

A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

C．[－2，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)

解析：选C　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵f(2df9d44c415cf85869851442e92d33b3.png)<f(x)，∴f(2df9d44c415cf85869851442e92d33b3.png)<f(|x|)，∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴2df9d44c415cf85869851442e92d33b3.png<|x|，即5255fbf3a0cb0aacfc6845d06e24fa37.png解得－2≤x<－1或x>2.

8．若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则cf3df428a2a8f0f9c172bb6b849a7755.png＋13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png的取值围是(　　)

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(4，＋∞) D.6eee0a4f701620180b47ee2c0fa968f1.png

解析：选B　函数f(x)＝ax＋x－4的零点是函数y＝ax的图像与函数y＝4－x的图像的交点A的横坐标，函数g(x)＝logax＋x－4的零点是函数y＝logax的图像与函数y＝4－x的图像的交点B的横坐标．由于指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，直线y＝4－x与直线y＝x垂直，故直线y＝4－x与直线y＝x的交点(2,2)即为线段AB的中点，所以m＋n＝4，所以cf3df428a2a8f0f9c172bb6b849a7755.png＋13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png(m＋n)·d59eedbbf75f99534b39f565dcbe0fdf.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngecd70a9867d4ce193006c75556d079d5.png≥1，当且仅当m＝n＝2时等号成立，此时只要a＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png即可．

二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)

9．函数f(x)＝d4add6292dc9d82330e692c0012afaea.png的定义域为________．

解析：由题意知ba86623eb823c7184d5998bde4e85a81.png

解得e43f33c584b597b32f4b76260082965e.png故1<x<2或2<x≤3.

答案：(1,2)∪(2,3]

10．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－4206e696cef74ef9f4c8c93851a7e146.png，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(2 012)＝________.

解析：∵f(x＋6)＝－fcc1482aa752627e97a6e13717bd21e6.png＝f(x)，

∴f(x)是以6为周期的函数，

∴f(2 012)＝f(6×335＋2)＝f(2)．

又f(x)为偶函数，

∴f(2)＝f(－2)＝2－2＝0495c943adeef64d4e2ed7db21a0c83e.png.

答案：70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

11．已知x>0，y>0，xlg 2＋ylg 8＝lg 2，则b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png＋6e837d905fe00bfc4914c997c002302d.png的最小值是________．

解析：因为xlg 2＋ylg 8＝lg 2x＋lg 23y＝lg(2x·23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以fdb253a34abb54bedd1be84f59a86317.png＋6e837d905fe00bfc4914c997c002302d.png＝f6925b0275b36a3f9c468ca29c90dda2.png·(x＋3y)＝2＋a60f14af947a1c4e91b4712315ca6611.png＋eb1335449030ae789378e31c6f430cb2.png≥2＋2 e8fe8d75feffe3c6f913088971946fe3.png＝4，当且仅当a60f14af947a1c4e91b4712315ca6611.png＝eb1335449030ae789378e31c6f430cb2.png，即x＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，y＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png时等号成立，故b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png＋6e837d905fe00bfc4914c997c002302d.png的最小值是4.

答案：4

12．已知点P(x，y)在不等式组99c6ab527533dab8dd192a2aaa077277.png表示的平面区域上运动，则z＝x－y的最小值是________．

解析：在坐标平面画出不等式组表示的平面区域及直线x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝x－y取得最小值，且最小值是－1.

答案：－1

13．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图像如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为________．

解析：由函数f(x)的导函数f′(x)的图像可知，函数f(x)为二次函数，且其图像的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，

∵f(0)＝0，

∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)的图像过点(－1,0)与点(0,2)，则有5ba75207aa7e9ca56c369ca3a6daf0b9.png∴a＝1，b＝2，

∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.

答案：－1

14．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngx－1.若在区间(－2,6]关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值围是________．

解析：函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．根据f(x－2)＝f(x＋2)，可得f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是周期为4的函数．当x∈[－2,0]时，f(x)＝fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngx－1，在同一个坐标系中分别画出函数f(x)(x∈[－2,6])和函数y＝loga(x＋2)的图像，如图．若方程f(x)－loga(x＋2)＝0在区间(－2,6]恰有3个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图像与函数y＝loga(x＋2)的图像在区间(－2,6]恰有三个不同的交点，再结合图像可得实数a应满足不等式loga(6＋2)>3且loga(2＋2)<3，即log2a<1且log4a>a5f4ffc2f224128c316910e293a9bf13.png，即4160efb80ce706ca9dc3d312d4e755dc.png<a<2.

答案：(4160efb80ce706ca9dc3d312d4e755dc.png，2)

三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)

15．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值．

解：(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得

f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]．

当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.

(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，

解得x＝－(a＋2)或x＝0.

当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，

f′(x)≥0，

所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝－a；

当－(a＋2)>0，即a<－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

由上表可知函数f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为

f(－(a＋2))＝6a3582f45d50c8f63389db347d47dcca.png.

综上可知，当a≥－2时，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为－a；

当a<－2时，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为6a3582f45d50c8f63389db347d47dcca.png.

16．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－c390cc635f744a610184cb440f27b2b0.pngx＋003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a≤0时，若对于任意给定的x0∈[0,2]，在[0,2]上总存在两个不同的xi(i＝1,2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值围．

解：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)．

由f′(x)>0，得x>1或x<0；由f′(x)<0，得0<x<1.

故函数f(x)的单调递增区间是(－ ∞，0)和(1，＋∞)；

单调递减区间是(0,1)．

(2)①当a＝0时，f(x)＝1，g(x)＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，显然不满足题意；

②当a<0时，f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)．

x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：

又因为当a<0时，g(x)＝－bb147f053a9b7947467f20fc6b665e46.pngx＋003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png在[0,2]上是增函数，对于任意x∈[0,2]，g(x)∈e191e3de024186c7cb91e4eda23088db.png，

由题意可得－be7e419dad118aed18feac14389f454f.png＋003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png<1－a，解得a<－1.

综上，a的取值围为(－∞，－1)．

17．已知函数f(x)＝sin x(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．

(1)若f(x)≤g(x)恒成立，数a的取值围；

(2)当a取(1)中最小值时，求证：g(x)－f(x)≤fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.pngx3.

解：(1)令h(x)＝sin x－ax(x≥0)，则h′(x)＝cos x－a.若a≥1，h′(x)＝cos x－a≤0，h(x)＝sin x－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sin x≤ax(x≥0)成立；

若0<a<1，存在x0∈687919dd18bb2f6b6ccf0df62d0295fd.png，使得cos x0＝a，当x∈(0，x0)时，h′(x)＝cos x－a>0，h(x)＝sin x－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意：

结合f(x)与g(x)的图像可知a≤0显然不合题意．

综上可知，a的取值围是[1，＋∞)．

(2)证明：当a取(1)中的最小值1时，

g(x)－f(x)＝x－sin x.

设H(x)＝x－sin x－fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.pngx3(x≥0)，则H′(x)＝1－cos x－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx2.令G(x)＝1－cos x－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx2，则G′(x)＝sin x－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cos x－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx2在[0，＋∞)上单调递减，此时G(x)＝1－cos x－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cos x－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx2≤0，所以H(x)＝x－sin x－ed687137e445cfbc0591a90df2046efa.pngx3(x≥0)单调递减，所以H(x)＝x－sin x－ed687137e445cfbc0591a90df2046efa.pngx3≤H(0)＝0，即x－sin x－ed687137e445cfbc0591a90df2046efa.pngx3≤0(x≥0)，