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高考数学（文科）公式大全

发布时间：2020-04-12 20:32:58 来源：文档文库

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高考数学（文科）公式大全

第一章集合与常用逻辑用语…………………………………………2

第二章函数……………………………………………………………3

第三章倒数及其应用…………………………………………………7

第四章三角函数………………………………………………………8

第五章平面向量………………………………………………………12

第六章数列……………………………………………………………13

第七章不等式…………………………………………………………15

第八章立体几何………………………………………………………17

第九章平面解析几何…………………………………………………19

第十章概率、统计及统计案例………………………………24

第十一章算法初步及框图……………………………………………25

第十二章推理与证明…………………………………………………26

第十三章数系的扩充与复数的引入…………………………………26

第十四章几何证明选讲………………………………………………26

第十五章坐标系和参数方程…………………………………………27

第十六章不等式选讲…………………………………………………27

第一章集合与常用逻辑用语

1. 集合的基本运算

；；

2. .集合的包含关系:；；

3. 识记重要结论： 5ce3b95c44d7703eb7fa7525a2136c12.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png8222227339e31b091463424292a35628.png;a5d45c1ac8523541d8d0c6fcf121fae8.png;

72e064987f67748c17a83a99ee81c513.png;0df0cf564051fa7822a86d23bf9b04d7.png

4．对常用集合的元素的认识

①3f389b71c3a08af734485806451db5e3.png中的元素是方程19e245f7fa60a6fa81716f6d3206196c.png的解，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png即方程的解集；

②049cdc39632e60ecb435978c1bc3b435.png中的元素是不等式72eea258e38e3b7568e31f3a090cfe3b.png的解，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png即不等式的解集；

③897de7da9eee10de3cd73c4f794fbe71.png中的元素是函数58dce5b668ae39fe8785496678f21063.png的函数值，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png即函数的值域；

④f4dbfd3e968e123c8f717cec596c3819.png中的元素是函数1f3630082d11f909613c0d1a34a4f3c9.png的定义域，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png即函数的定义域；

⑤517d90fca7c7dc2783366ea7b63db164.png中的元素可看成是关于f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png的方程的解集，也可看成以方程939a067baac534f38165dc97860f19bf.png的解为坐标的点，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为点的集合，是一条直线。

5. 集合e0b360a7007cc8ef5f61e442e57d664e.png的子集个数共有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png 个；真子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png–1个；非空子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png–1个；非空的真子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png–2个.

6. 方程fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png在3403483e34bb0dead606aeb6cad999f4.png上有且只有一个实根,与898373b73082a92e83ce18523e35cc20.png不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.

特别地, 方程de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png有且只有一个实根在3403483e34bb0dead606aeb6cad999f4.png内,等价于898373b73082a92e83ce18523e35cc20.png,或d148b00108017e9f080255f979f70066.png且69c839172f11bdbb47a458e071a55c9d.png,或ee5dcfa3af67d2e4920928417e8d1fe8.png且4ef39a7469be1758ceb425b8f343569e.png.

7. 闭区间上的二次函数的最值问题：

二次函数eda617ae545483f1e89662d99858189e.png在闭区间927c776e6a576855df1b4c90c7b791e9.png上的最值只能在7e4d00683fb8b156188622da21b2fbf9.png处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1) 当a>0时，

①若b40b21eb694db57b4afa4fcbbba51959.png，则有

a2eb5a7fb989bca20d30fd96a6294caf.png；

②若db705ad318ffa60ed4bc46064fa54c66.png，则有

49f1894ee813783532c7cf50494f58a3.png，6ddb96cbb2616524f082731eb262d9c8.png.

(2) 当a<0时，

①若b40b21eb694db57b4afa4fcbbba51959.png，则有6ddb96cbb2616524f082731eb262d9c8.png，

②若db705ad318ffa60ed4bc46064fa54c66.png，则有49f1894ee813783532c7cf50494f58a3.png，6ddb96cbb2616524f082731eb262d9c8.png.

8. 5bc1464ec5ba1e341f17bc7c9c471151.png；5f293dbf5a8a2df8f823ef9982bdd7d3.png

9. 由不等导相等的有效方法：若8f9e0f5d2aaaa508e93e9573379511ea.png且7fbbc343bc39b6d22ab0e6a18cc7d63e.png，则7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png.

10. 真值表

11. 常见结论的否定形式

12. 四种命题的相互关系

如右图所示

13. 充要条件

（1）若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，则说83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件，同时7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件

（2）充要条件：若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件.

另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设5378bf0830cf7426c7298dbd7793aef9.png，2e7efada942c381253d86e4e158192c7.png，①若966b74a6c04697dc89c05d3461ea3ba5.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分不必要条件；②若8f7a740158de8c041161f97f5a3966e0.png,则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要不充分条件；③若78c2bf0e745ef66ed23a53269b5435ad.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件。

第二章函数

14. 函数的单调性

(1)设d2ff18199725d163f8f387efeef4ee0b.png那么

53c95935771cabc47de9124f275445c6.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png756cf8ae8455b6a9cc0752bc04d7f6fb.png上是增函数；

e969c7875ebf4c28afc8d975ff81691a.png21f3065fc22cf3d1973b5e56566e5f15.png上是减函数.

(2)设函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在某个区间内可导，如果8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数；如果99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为减函数.

⑶单调性性质：

①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

15. 复合函数单调性的判断方法：

⑴如果函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png和e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数f070deff5c0629450c5a975b58c3c33a.png也是减函数（增函数）;

⑵

16．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）

⑴若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是偶函数，则ff64789c3c6e84e08905c6de648ccc1b.png；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间。

⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间。

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：4d67ba86e978d4452621706a5994671f.png或者1da26907676b604aeba9f29c02113738.png

⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

⑸多项式函数252487f0feaad256fcb9df5eacb478f1.png的奇偶性

多项式函数c19f6b6a7bae1fd5b14f578c6edc3454.png是奇函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngc19f6b6a7bae1fd5b14f578c6edc3454.png的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数c19f6b6a7bae1fd5b14f578c6edc3454.png是偶函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngc19f6b6a7bae1fd5b14f578c6edc3454.png的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

17. 函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象的对称性：函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称77d909c1490584baec513b31e88b132c.pngf1acb3b3c820a317a90dea21943312fe.png.

18. 两个函数图象的对称性

(1)函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与函数630d2289384d4b0198a632ef136bb626.png的图象关于直线e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png(即415290769594460e2e485922904f345d.png轴)对称.

(2)函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与函数fc38054cc3be81421033782c9ca26b10.png的图象关于直线fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png(即9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴)对称.

(3)指数函数393ebe262145878d9511b869048e5f77.png和ca3ca237036a9fbedfc93431f8043826.png的图象关于直线y=x对称.

19. 若将函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象右移0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、上移92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png个单位，得到函数3e42b24d1fc1a044829e75b2b6f94809.png的图象；若将曲线a4e83e912ce616d6298f3b1ab55b7bdb.png的图象右移0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、上移92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png个单位，得到曲线63f85d60889f18fbbd943b5f2cb0924e.png的图象.

20．互为反函数的两个函数的关系（指数函数393ebe262145878d9511b869048e5f77.png和对数函数

ab587eee30545ebf4cbad3f764727f4f.png）：6273671bc080426e1ad92c60f6d6fe93.png.

21. 几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型

(1)正比例函数c8db8843e66b7cd96178743a6c66ace0.png,d1528b8c1c9974fd56cb6a8cbf67064e.png.

(2)指数函数1408a7bb5b3a38343414a4ad6696915e.png,18c8748f77419b8982ef92982cda52df.png.

(3)对数函数f4cca5eeab844215d09183b7e85f3b7a.png,

32a9e3841919fdc29c0e7df2e3a3240f.png.

(4)幂函数2397daa48353e9f7ad9e175a2b68cad2.png,de89a6b2749d872e91d6bf16970eaa4d.png.

(5)余弦函数885be27150363bc9eebb570de36cab9a.png,正弦函数c9d5287c88835b28ab69a1eb11875005.png，ed36b136aa83052e191038866c60282b.png，c7be1ed226d5413a469a31676f5a0692.png.

word/media/image137.emf22. 对于5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png，ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png，d0360b65da395195302d76bd4a7267bc.png，702cb96abb1e1e2ed474fbf23bf5456f.png，5c7a27826eb8e82cafac80703fa07513.png的图象，了解它们的变化情况．

如图：

23. 几个函数方程的周期9d6c8aa1cd3900118cc8280bbcc805bd.png

⑴f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png对b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png时，b7178f657723e6d095bc952b2da2cbb3.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的周期函数

⑵99a14b498a86541af0b153330636c38d.png或ea4a1f25fa76b0ea7d0eccb1b42384ed.png683af183d2e449b0f8f20684d807df7b.png恒成立，则f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png是周期为e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png的周期函数

⑶若f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png是偶函数，其图像又关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称，则是周期为192f50398a4adab1830ced43699906dc.png的周期函数

⑷若f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png是奇函数，其图像又关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称，则是周期为00977cf771f8c8830b326bf3625f512c.png的周期函数

⑸f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png对b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png时，e74e6c0d1d298e609cd2939dab2c0c08.png，或77b88666f80eb097bf6940c1a82ff75a.pngd87e8b223f195be960319a1644892755.png,则f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的周期192f50398a4adab1830ced43699906dc.png的周期函数

24. 函数图像变换

25. 分数指数幂

(1)0b92166b6739da6f5eedd8f0f900d4b0.png（adeb1ddd926c81dba4f09f8cadab7f97.png，且eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png）;(2)8f2bc0094c38995ae1564ca66468a85c.png（adeb1ddd926c81dba4f09f8cadab7f97.png，且eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png）.

26．根式的性质

（1）6f42e04bd5bcd60b95bbae97600c8383.png;（2）当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数时，7434aaa4beee5964a4821af65c1a1732.png；当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数时，6a7ff0fa8a2286642b0cb13cb6cfb5f7.png.

27．有理指数幂的运算性质

(1)9ad75ecd3390d4e948c9c2ca0e399e25.png;(2)580ace4b5d17cb954f7f2a842b240726.png;

(3)b42178f4b84f86c60b1c08a4dc16dc41.png.

28. 指数式与对数式的互化式

b72f9b99f4ada22489f383c28ed178f4.png72f71353d61f5cc75ea4d454bc6602f7.png.

29. 对数的换底公式

02d8a2cce2b0bf2b46e7502749a792a6.png (323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png,且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png,0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png,且6040b3ef70ed610225fa0cfbcffce00e.png, e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png).

推论 978a81bd7933b82dd370ca1c6f7e06ec.png(323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png,且cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png,3606633bba20c6d87dac95b706058a15.png,且6040b3ef70ed610225fa0cfbcffce00e.png,558102c4ce5b227b6bd595dfbe34ea29.png, e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png).

30．对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)649a1803f29980c27f55facfdb9b072f.png;(2) 1143009a3024f19b92986df626997e0c.png;

(3)0d6459513cd872233802974d92b1728e.png；

31. 对数有关性质：

⑴844b90533f1f4d4d25eca214e5a56593.png的符号有口诀“同正异负”记忆；⑵30a5d1addef20d4a10676cefb4543cae.png；⑶2f4daa3a598b89ddaa3c24a14c6b1eaf.png；

⑷对数恒等式：bf24931d37ffe2e30ce7cb4a0523c463.png

⑸32ce31d69c49fe3c259f4936f487d894.png；

⑹设函数34a570389491d14090ce9b5486d3a129.png,记20e48dd6a929bf5042abad743d6491ff.png.若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png,则323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，且22b283f53d8b0d92b009962318a066af.png;若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的值域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png,则323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，且c607d2a67abd10e67696e060dfdbe835.png.对于ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png的情形,需要单独检验.；

32. 对数函数ab587eee30545ebf4cbad3f764727f4f.png的图像和性质分析：

⑹指数函数e59508993cef72870b5488c6525e185f.png的图像和性质分析：

33. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则对于时间9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的总产值415290769594460e2e485922904f345d.png，有e5dff4107b96d3a6c6cf2487321b4b3d.png.

第三章导数及其应用

34．导数的定义：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数记作

a3465348e832a267ee4ef115bf5ecd78.png.

35. ⑴50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的导数概念：1669059bc495ddf99121acdc9e4d20f5.pnga65e8657d86316f07a3504e6dfaff3d0.png.

⑵能根据导数概念求函数a54e800063a7895144f3d7947d455bd0.png (0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png为常数)，5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png，5c7a27826eb8e82cafac80703fa07513.png，ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png，570201776491d89a9559514065e192fe.png的导数.

36. 函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数的几何意义：

函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数是曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在dab143db21a217f62dbbc29ad796167c.png处的切线的斜率339f6c34ba971092fc8d8a89c625e70a.png，相应的切线方程是1822b77ca265c4337ea987e5295e9040.png.

37. 几种常见函数的导数

(1) bc54f21aa2128a570e6acb52eb894ea9.png（C为常数）；

(2) a0d65749e8bc96ed2e43ea18fe750a23.png；

(3) 600e20f9d69712e82e9009309e13c8e0.png；

(4) c604069607e2a8d39e7c5d2185a4b8e6.png；

(5) e42eed91db281a651aa6dc9e2f06f5c4.png；8e234dbed46c2b880ecc04aebb16ebf3.png；

(6) 318fa59cddf6f41c590b687e0ea16316.png.

38. 导数的运算法则

法则1 ：dbd58e23b62dbecb2cb5a48d05f5ebf8.png；

法则2 ：7b3c9390ba90c1065fb3de6e88946a26.png；

法则3 ：5439059c296489fdb86f9724dc6b88d9.png

39. 判别0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png是极大（小）值的方法

当函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处连续时，

（1）如果在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png附近的左侧8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png，右侧99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，则0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png是极大值；

（2）如果在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png附近的左侧99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，右侧8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png，则0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png是极小值.

第四章三角函数

40． ⑴终边相同的角的集合：8ddd606ab03ca93d8acdbcf16bba4778.png;

⑵角度与弧度的换算：66961b7d3de9c3a4288cba85a0efd217.png；

⑶弧长与扇形的面积公式：弧长0b28a7a4a58a80b4ccc8ef1c8aa52665.png，扇形面积9a7439a0381daca5cd3c02f6816be039.png.

⑷常见恒成立的三角不等式（给定范围条件下）

①若dcd3aefe735eb6aea3eac4d540f13cb4.png，则a89b7c9a85bb73db4a50f6e1a03741d0.png；②若dcd3aefe735eb6aea3eac4d540f13cb4.png，则abc6ac94a4d0f4c65e4c63827e00f9ac.png；

③ 8d47425c475391983e402d57ac5c824e.png.

41. 常用三角函数不等式及相关等式的解集：

⑴不含绝对值情况： ①ca9b04e0b4255955a5620cc5bf757972.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是

b7e4e6f7dda0799957dcf59a9d180234.png；

②d51f950aa3d36a97f726e11bff4d6d0e.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是

6b850488feae4237085a3c3c72bad2f5.png；

③55c15222a98115036926b57101a5e567.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是a0df305267c2a32f2ac7cca410e523f3.png。

⑵含绝对值情况：①ab7ae5c005e171545bd88a218b0f5c96.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是

b610c4c48f1f3ee2bc42ab51b6512b66.png；

②c5415399623be75660e35a25bf46c448.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是

7831ca3e87b3b52f9f89b8804d46365a.png；

③b9fa4c9a15b0244d361d8da0724c88cd.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png集合是ed1ea74bff2c4da4275476b9e7c9136d.png。

42. ⑴对于“8d3d40f6893a98969efc82d5f1eb3424.png”这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余二式的值。

⑵三角函数的诱导公式

“奇变偶不变，符号看象限，看左边，写右边”

形似角中的角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号；

43. ⑴同角三角函数的基本关系式：e118925b0f3e63aba478299dda2422d8.png，479c99e9f28bd49e9cdc9a477664ecd3.png=245af287d5b20e36cce37b71dcb170bd.png

推论：e626ca38eb5954c5c5f3db74e6259b4b.png；

2a226ce726bbd97912981a23892b08a4.png（正负号取决于ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png所在的象限）

⑵和角与差角公式

2f2b28e2279d2c73d3811766cc6af1c4.png;946c54c50d5465738d77c8615c836810.png;

2d70bb770b622c114d8ff7f9f94ab34c.png；

8d13e8e968a7c3db1982aa1e4d68dd95.png(正弦平方差公式);

d924f32b6ad48ad25e225b822289d61f.png(余弦平方差公式)；

6e05bef7c83d102ec0bf27ff999ca60f.png=8542d0281419e25a29a36ec7859df5f4.png(辅助角6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png所在象限由点2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的象限决定,其中7e51b8e0dfe26a3de7361447c956c30d.png ).

⑶二倍角公式：

0591059a5da040e3e902a6da025c3ff1.png；b6dbd85fa17003540faf928b01fac822.png；

万能公式：3a2e1cddc1d990e4d59f290faf85e0e8.png；dbcc223233dea225cc80fd2f1ac33854.png；77307b3116c6268323805a992e30cbd2.png

⑷半角公式（降幂公式）：

①e1c6fa0038db5941125475e177165b25.png；eca915c34722eb4f60a02c5806f55e12.png；4610fc3a1e0865494b42f9623c1f90db.png

②92086ac11a9acbe88c3b73fbc677ed76.png

44. 三角函数的周期公式

函数ae10d3e58e961e5826d906d26a1ef99c.png，x∈R及函数a7379b8ed4c6a1a0fbfe65e29a867648.png，x∈R(A,ω,6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期7c3e73a85e1109da0535195a40bd9df0.png；

函数bae9eea9d4e606a3664ec5a82dd9859e.png，05d5c318e3f75da138d5d9e0cffa7b02.png(A,ω,6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期b28d823dc0e2a9449c0cad0bf93dc423.png.

45. ①类正弦函数75c5188174af845bf278e4f1bfd0cb58.png的图像的变换（两种办法殊途同归）

②类正弦函数3d35825d34015c6c527d110487551691.png的参数计算：振幅2a400d1884436f94ca13fe9cb1ece79e.png，d56f8866fdbbc67dcc833543160bd93f.png,

8ff4933fa260d4d1e1f30ba5dc529ba0.png,求7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png时，一般代入最高点或者最低点的坐标后，利用已知三角函数值求角，再根据给定7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png的范围进而分析得到7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png值。

46. 正弦函数和余弦函数的图像和性质

47. 正切函数的图像和性质

48. ⑴正弦定理：

ba95bde14a58a443492dd352cdcb9025.png.（R为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）.

fc83610e51bcf55a641eca9dda9ae80e.pnge5ab38d5aafe241da18a7c9b35cddf88.png

①ba95bde14a58a443492dd352cdcb9025.png660352680f47200d4f45fd828957616b.png，fbeb50cf70827b894f97bf9dce99d0a0.png，4e5f0bb651c86f6a4e87015cc27a51e7.png等；

②ba95bde14a58a443492dd352cdcb9025.png353c8efdf769309802e9eeca82b56672.png，667efc614232d65866c32362dd5953ec.png，

b17dcafed4cc32b7d43e42913d9176a3.png等；

⑵余弦定理：

5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.pngecc4df9c26b0877b84cc7eebec4b9ff7.png;

da1b2f9db47f71f917e0d2bcc5e15270.png13712ddf7f306203b1d5fb91f2df24ad.png;

e8c5fc33ca5e71b23433548560bfe291.pnga0cb5d0b33f60cd087e0d1e639180f4e.png.

⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴；解题时注意一种重要关系：在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，给定角48b69cf839c6e294c3bf2ec26e6b8232.png的正弦或余弦值，则角0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的正弦或余弦有解（即存在）72824ff606ab334e985df0587e4394bb.png

49. 三角形内角和定理：在△ABC中，有cb45c9588070e19f2568ef2dc4da941d.png

66c3405dafacbbb0e909381d73e75fd3.png2124d08c47ab567874ae92b876c86243.png

50. 面积定理

⑴23e4e4341a8c4a37824a31dd295ad256.png（70b486f0c87aa561dc6753caa756a868.png分别表示a、b、c边上的高）.

⑵4ed68ee90c7c214066be107cc3487601.png

⑶30d638253b064de7d5f2947c28c6efed.png (其中e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的外接圆的半径)

⑷b94a7228dc99212c22b52c0c54434a51.png（R为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）

⑸e4087a60cce02908de6f1618d9a88087.png(其中4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径c4f35332d7e1b744319042fa301599c4.png，其中4e58b14a67416f313f02fe5d0d4f9017.png为两条直角边，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为斜边。)

⑹0aad4a68eb17dae58064c8e9473bbd43.png(其中917ee8ef0c454136c07dce8481fb15cf.png，海伦公式)

⑺35b0a06fa0e8f230ed220be6198178fb.png（注意：此时以坐标原点为一个顶点的三角形的面积公式）；设778feebb10e13e1680584eaba84c595a.png，则6e3641ce7f84481a7fff7bc70ad9de26.png

第五章平面向量

51. 向量的加减法的代数结构：

⑴f39bf73ee42eb651b4262e3b4de894d3.png ⑵40efa6f3ac2dc53d716528065e05c8c8.png

52. 平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．）

53．向量平行与垂直的坐标表示：设89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，且7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png，

则89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png∥7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png (143c7db566d9050ea567f851e40fcc9f.png)7df724f55e59590daeaaef3107709696.png；166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.pngd56afa4567ac387ef5bff563d0453502.png.

54. a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．其几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

55. 平面向量的坐标运算

(1)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a+b=cc609d511651798230ad1161bad4af08.png；

(2)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a-b=bfb588fbb9ae41ab9bfad6878ae7bd9c.png；

(3)设A613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png，Bb283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png,则afbdbc3eb49695d14b06c7c8d8a40926.png；

(4)设a=ccfec81affd1be5aed4b27e2ce47e14c.png，则6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pnga=d90d7cbbf7194a4bfdd3579ce9c05cfb.png；

(5)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a·b=719823980386682cbf49b7d88c010000.png.

56. 两向量的夹角公式：f78e673a0bebcf5bfa7fa147533fe272.png(a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png).

57. 平面两点间的距离公式：3d41141dd0cf0cb930e85840143584b7.png=c6aa402fb20f6c5629fec11fecd8cbed.pngc87c2108d5182301430800870f8502f8.png(A613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png，Bb283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png).

58. ①线段的定比分公式：

设58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png，44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png，4b1ba35f3a26c92043b659cb00da4721.png是线段0acf75775b20e3f8d94ad48f9461b9f6.png的分点,6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png是实数，且510dce0719710c8b205397de9bbeb133.png，则

7880b371f823952a334afbf72bcc7de5.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngaf11d097cc0cce487b9907f71e2eb773.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png7ea90a6a0aa9d6f2b774edcf85daa777.png（a078f291e86544f1a96b69fc3af1cda9.png）.

②中点的向量形式：平面内，设线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点为0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png外任意一点，则有9b73c2f983b304d7ed91a9bea039ab44.png;

设此时778feebb10e13e1680584eaba84c595a.png，则中点9f031f3755d99a7802954df990aa06e2.png的坐标公式：65df5c2c2daf2e77335f1cbc6138a01a.png

59. 三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png、32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png、0537750ebd40c843967280a3e11aff48.png,则△ABC的重心的坐标是9e888f02e7140f423a1c863bad687a9f.png.

60. 三角形四“心”向量形式的充要条件

设f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png所在平面上一点，角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png所对边长分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，则

（1）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的外心1404c6923abf4c8d2cd3231e17b73240.png.

（2）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的重心bfbd54173e39d1a6c73775417232d2c1.png.

（3）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的垂心90e2846ee4cdf3e729509fc020f824bf.png.

（4）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内心6e4a329b6c5b8755d07456d5bf518d43.png.

第六章数列

61. ⑴自然数和公式：

①bce3ff33775c3b41790b99bf93dedddd.png；

②3a89075fe9b168a4f341d38262b92ae0.png；

③ad458ef44fdf5ab8303e0a55c8f185fc.png

⑵常见的拆项公式：

①9add37319a2e0f2a90cad273eaa08043.png；

②1e8f652dcfd61f43ca595631d6e4ae40.png；

③35d5be09c187c5c06fd4f4805c2cf199.png；

④c1b6d27312fc0de5f6c8cf30d86f2470.png；⑤20eca54318524788536c7beafa74c4d3.png.

⑶数列的通项公式与前n项的和的关系

①edcced93d9268bfb7aa42d2504ab7b6c.png

②a6421dae4fae3302d73ed882e3d73ae6.png （注：该公式对任意数列都适用）

③8f706790a2886e8afeb80d288aaa43c3.png （注：该公式对任意数列都适用）

62. ⑴ 等差数列的通项公式：

①一般式：f64f01ee66d18fec80c766122a31feac.png；

②推广形式： 933feeffb3fd27ae1c368fe6a1848075.png；605e60189443a4a8fd6333fca220f8b2.png

③前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和形式0e7197f117bcb0af5975e99f9ad401f1.png（注：该公式对任意数列都适用）其前n项和公式为：

0cd74ed1012835a0a7aac4f7549e75c7.png8a27577ba263ca75b74878799f5c0ff3.pngaad0411d01f541508a8050f538e13fb9.png.

⑵ 数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列1f19cbfc966d028aa2845c6cd024b3d6.png（8277e0910d750195b448797616e091ad.png为常数）

71a0f0d3bb51fcabfaea715565da9b70.png

⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 be45271c89b42face8bc16e84fb426a4.png ；特别地：若a08082be928b9e40c5990fc728d89ffa.png的等差中项，则有20f6b68439206a32867f98885236be302.pngn、m、p成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如8c570bbd27222457d034d0796b030163.png61b9daf4c4599404889ce90ee05aeb5b.pngb43ee506ebce9614063ae96ee508aa71.png，2173b173f90051de85efa0e39c3b82c4.png）仍是等差数列；

③02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列，44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为其前n项和，则7cba6d439a6881c4c16bfc5b46490fb2.png，b9fb3dac893c84e77e2e48670fad7832.png，．．．也成等差数列；

④3aec463510fe8e4c6688bde68a667dc0.png；

⑤1+2+3+…+n=4e9a57bdc3d91df036ea29ee23253641.png

63. 等比数列的通项公式：

⑴ ①一般形式：eab6a272c1e2a171fb3f396ad32eed56.png；

②推广形式：de8bef743afc860719dc634c1e326b60.png，0283fecb13feaa4aecb651e2aa25314a.png

③其前n项的和公式为：eabdac6d7c89c85ba42909c036969392.png，或7e9d18b374301a539d000da876a2312d.png.

⑵数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等比数列

131cd29292e8fec20476863545037b05.png3787283b4e03b593a81bb992ad603153.png4be6dc7a9aa82c9d81f717d4a3639298.png

⑶ 常用性质：

1 若m+n=p+q ，则有 8859f2e3548b623eb925e06f64a8f3fc.png ；特别地：若a08082be928b9e40c5990fc728d89ffa.png的等比中项，则有 24bce17379474ccc8b86221c04b60326.pngn、m、p成等比数列;

2 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如8c570bbd27222457d034d0796b030163.png61b9daf4c4599404889ce90ee05aeb5b.pngb43ee506ebce9614063ae96ee508aa71.png，2173b173f90051de85efa0e39c3b82c4.png）仍是等比数列；

③02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等比数列，44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为其前n项和，则7cba6d439a6881c4c16bfc5b46490fb2.png，b9fb3dac893c84e77e2e48670fad7832.png，．．．也成等比数列（仅当当c0eca2773448b0ac9eaa1c5e502a6602.png或者af3fec8ea3ed4280f941eefeade4c74d.png且6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png不是偶数时候成立）；

④设等比数列eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项积为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，则a579819fc5b129283cf41518669e2461.png，992991ccf4d369d775a186dffec58618.png，a4cfb3bda5c252da9afdaad336d3978d.png成等比数列．

第七章不等式

64. 常用不等式：

⑴6c12c6a680f729d40ccbd9c06d71bba0.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png3825027dfa6fb96b72501b9db6622055.png(当且仅当a＝b时取“=”号)；

⑵46da7b0b51c10c37b5cc4324a7c811c1.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png5c300f2e30d6778119a75058226b5525.png(当且仅当a＝b时取“=”号)；⑶7a055ecf0096b49f1c7de90a303c4b08.png.

65. 极值定理

已知f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png都是正数，则有

（1）若积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png是定值83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时和45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png有最小值71a03fd4685796c58a747022d5487743.png；

（2）若和45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png是定值03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png，则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png有最大值4403ed668b462589be5376f04d102e6e.png.

推广形式：已知077618809ee20302ac1b44b114886e91.png，则有749c36e02d49ad0b24f8751c5f0a5bda.png

（1）若积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png是定值,则当b4dfec35bc7a4b8663c84d443b0598bf.png最大时,942c3ab5428619fa94af2663eff0036b.png最大；当b4dfec35bc7a4b8663c84d443b0598bf.png最小时,942c3ab5428619fa94af2663eff0036b.png最小.

（2）若和942c3ab5428619fa94af2663eff0036b.png是定值,则当b4dfec35bc7a4b8663c84d443b0598bf.png最大时, ed55f4944eed62035f302ab9ce2feed9.png最小；当b4dfec35bc7a4b8663c84d443b0598bf.png最小时, ed55f4944eed62035f302ab9ce2feed9.png最大.

66. ①一元二次不等式b8d76fb9a42883dc41be99b62c27862a.png130366ae218a4bfeca23462bf8972a16.png，如果0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与5b7bc9adb96a6ee1dc17b024f1ddab74.png同号，则其解集在两根之外；如果0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与5b7bc9adb96a6ee1dc17b024f1ddab74.png异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

5dc5cc3bc7f10f714558813149def8f0.png；

3e49f67b0585e330673c0fad9adef525.png.

②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。

例如：f6e0da9755644fb34d658f5c1c4c5a50.png，如图

从图中易知解集为

bf1316340a1575d9b78cd7b92e2146ec.png

③一元二次方程的根的分布情况：设9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png是实系数二次方程67be5e35fe7ed6c5e81c0f0d1b42a1af.png的两个实根，则9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：

67. 含有绝对值的不等式，当a> 0时，有

a7a1aa4ad38e8bcf7075f0228fea17a9.png.

a91e191a9b1704e3cb0475922704159d.png或5615e6e95da71889845e815d48cc6275.png

68. （1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

e94eec257f8a1f949814cb9f8caaf7e9.png，6c12c6a680f729d40ccbd9c06d71bba0.png；

588bd932eb211952bca685b5f3a00574.png，6c12c6a680f729d40ccbd9c06d71bba0.png.

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

c0f6ce884413ed71763c2c5a13263aff.png；dce72388b29dee00d9381bc510f773f8.png；a81d6ab69ae5c0067eebd976b7177182.png.

69. 无理不等式

（1）519948dcbc7827ba4e21b98147e97d37.png ；

（2）dd5af067c8656e838bcc422408fdd41f.png；

（3）9b0377b7b5e0ab68447c89fe44af1413.png

70. 指数不等式与对数不等式

(1)当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时,

d322c92f7a9619d1b44d9c052de50f31.png; 8299456686d85ba8b963af97759cb090.png.

(2)当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时,

aebc69487020fdf5e482ae166383dbf1.png;

c873829189de31de4fc317e4a73a14c6.png

第八章立体几何

71. 常用公理和定理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．

⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．

⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．

word/media/image584.emf⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．

⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．

⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）

设AB与平面α所成的角为24cb6977275a74cc193cd895c462291b.png,AC是α内的任一

条直线，且AC与AB的射影AB/所成的角

word/media/image586.emf为f0db02faea3832d1c6cab0775f04ef54.png，AB/与AC所成的角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png．则

6bfaf1e0f61c2b9923b89b06b75c799d.png.如右图⑴。

73. 空间两点间的距离公式若Ad1c9e96dcd21aad69e50d80b59a0b3b9.png，Bc91b4124fc686cd1c0589ab53451610c.png，

则3d41141dd0cf0cb930e85840143584b7.png=c6aa402fb20f6c5629fec11fecd8cbed.pngeb0b15ef8a4a3e482f1febce99ffc3f0.png.

74. 面积射影定理：ee688f645bd39512731a85e17df58532.png.(平面多边形及其射影的面积

分别是5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png、186e70e6cf68c892160520307d89ff0b.png，它们所在平面所成锐二面角的为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png).如图⑵。

75．已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

194a942fce87ef443a303434c6089529.png，因此有322a3ee8393ba54b2527b85f8bd3fbfd.png；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为194a942fce87ef443a303434c6089529.png，则有3f123a12bea3dd306ce015071907c85e.png。（线线面12）

76．棱锥的平行截面的性质：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，则：.

77. 球

①球的半径是R，则其体积127c830497144649da2ae6ca85ee4963.png,其表面积588974957aabb8b4461773b5d5a99d9c.png；

②球的半径（R），截面圆半径（4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png），球心到截面的距离为（8277e0910d750195b448797616e091ad.png）构成直角三角形，因而有关系：eb351d11fe806aba44e3d76d90118f24.png，它们是计算球的关键所在。

78. 球的组合体

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的正四面体的内切球的半径为d92b92ddc19f69b34875ad3492bc1b8a.png,外接球的半径为2149fb7d8f2362407dceb67e16bdb48d.png.

79．柱体、锥体的体积

efffb4dde345930c2a1f41dbc4d32e1b.png（5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是柱体的底面积、2510c39011c5be704182423e3a695e91.png是柱体的高）;dcceefa8563da36eb9a15c4acbc8e8e5.png（5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是锥体的底面积、2510c39011c5be704182423e3a695e91.png是锥体的高）.

80. 空间向量的直角坐标运算：设0a2dce98f588621ad00d4a0612deb30f.png，则

64ac779243a829b4b9266516e5bc2bbe.png；2455b30eff487a1a1cc8b58cd7f7afdd.png；0a76186a8a8b2b4363ccaf2a52f1422e.png；89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png∥7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png6b4615d099efb59afdd41c5d8f3c4897.png,或c315f1d7e5a36c8626a901d48d53c83b.png；

89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png⊥7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngee19c6b645843965bd062dcb32175c05.png

81. 二面角67111ca5532c8e2b2acf2d7394ad91dd.png的平面角计算（夹角）公式：设d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png为平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的法向量。通常情况下，若已知0a2dce98f588621ad00d4a0612deb30f.png，则43575718ac3d7b4a15858749b2111765.png

82. 空间两点的距离公式：设477fca60329161a565884608baf6be7c.png，则4f5783f5011564f6064fa7ae35a52a2e.png.

83．高中数学角的范围：

① 向量夹角:[0°,180°]；

3 直线的倾斜角:[0°,180°)；

③ 共面直线的夹角:[0°,90°]；

④ 直线和平面夹角:[0°,90°]；

⑤ 异面直线夹角:(0°,90°]；

⑥ 二面角:[0°,180°]。

第九章平面解析几何

84. 斜率公式

①903bd5576a7510fa774317892bbb2bf4.png（58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png、44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png）d21231547891885c47a160f6aac6ef2a.png.

②曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在点f5a884a44d362e8e0a0168449b4cad94.png处的切线的斜率be4d41ec521fa279f2c6ae5182a574d6.png，切线方程：3f53d00ec12818a0e17b350c1a337d38.png.

③直线10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png的一个方向向量为29022cdaca540c2d0a613caa6ec7d9ed.png

85. 直线的五种方程﹙一般两点斜截距﹚

（1）点斜式 14b9b403231b965eb087bc35574db3b9.png (直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过点58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png，且斜率为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)．

（2）斜截式 10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png(b为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png在y轴上的截距).

（3）两点式 abbc69ee138f91c873b4cb790cfea485.png(fa2a194803a45456a806111a2a3a3a67.png)(58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png、44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png (b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png)).

(4)截距式 fa23b9b672960bd5bea7a8c86dfacbff.png(4e58b14a67416f313f02fe5d0d4f9017.png分别为直线的横、纵截距，bafd1e1b540a87d3e2f1e1ca7583009d.png)

（5）一般式 a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png(其中A、B不同时为0).

86. 两条直线的平行和垂直

(1)若bb2dafa08c463a0c271d975d60fc0db8.png，bd482b503ec98d89288a59046385d418.png

①7c9d051aa0aaed4d2d2d8556002eb24d.png; ②946ba3532749bd0f2610907b2a602c0c.png.

(2)若8ef3fbb93371365778665efffe68babc.png,b23857a18f198cf882350f8276bde0b4.png,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①5a97958d5a8e6fdcfdcf8dc4b8c3102e.png；②dc7da5669ae3a562ad9a92eb9e5c79a7.png；

（3）直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png:a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png中，若b86c19f9b75367ff4c0bf2f3de1489e1.png,

则2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png垂直于415290769594460e2e485922904f345d.png轴；若efbf34d93e9a8b3d824b6bb0dbfe8c5c.png,则2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png垂直于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴。

87．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程

(1)定点直线系方程：经过定点2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png的直线系方程为ad3cd7b161cc564fe79e5cba86910d02.png(除直线4354047bfb538af878fb79fb1fd72899.png),其中8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png是待定的系数; 经过定点2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png的直线系方程为461d84cfd3679b122c2eb91670e9f35c.png,其中6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线8ef3fbb93371365778665efffe68babc.png,b23857a18f198cf882350f8276bde0b4.png的交点的直线系方程为d23e91efe5f8e3fba6fff56fa8a0b161.png(除c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png平行的直线系方程是33ddf4989d12e55579831badf2025b91.png(a038c52ef004650dba500af94bc0f2c5.png)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是4178e4f7952a942ddcc7b021197d4230.png,λ是参变量．

88. 点到直线的距离

4b552c669e0dedb826fb09214833583b.png(点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png,直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png).

89. b5577f4a090bbd583da757b903f5dccc.png或c1bbc506cc8c63118a998a3e37ca5c23.png(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域

设直线c5539ddf061060c2215f9c9749f6a159.png，则b5577f4a090bbd583da757b903f5dccc.png(或c1bbc506cc8c63118a998a3e37ca5c23.png)所表示的平面区域是：

若6b0699d4353e6e9daea7d95bb95c2559.png,则用原点994410eaa5265b2b7e97359125c7bd03.png试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；

若8df0070301d2c858f745526ae74f58df.png，则用点150f0277c060fb6ce770d5624240c4cf.png或者7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png试，方法同上。

90. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png；

（2）圆的一般方程 6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png(1ae7531fe8127f16966b0230eea6beba.png＞0).

（3）圆的直径式方程 37115329a2046b572333558e1e78c263.png(圆的直径的端点是f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png、32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png).

91. 点与圆的位置关系

点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png与圆a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png的位置关系有三种若fd9cf97d4b141c310224579f759b4760.png，则ea84cd93abab1005d2f43478cd363ab0.png点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在圆外;0a62d1284269241c8632f2ab865e9f36.png点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在圆上;a044de35d214b4b7ab41bafc3e37a4d5.png点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在圆内.

92. 直线与圆的位置关系

直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png与圆a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png的位置关系有三种:

①63e00f2765b2619fbaf77cd8ab0bb578.png;

②05cf3327f7d6712bf9447d28770e0400.png;

③21ad8c018f8fae580600bce0e11303a1.png.其中f11b9337c5cf315e10b2dc756b90a2dc.png.

93. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，4fe025e98d236682a66395bb4dd331bd.png

①653b0db38b20f3f89ee58292da9aa36e.png;

②d8615e39ffaa43cbb6e44f90d835008b.png

③7008094eea7698ae0f4971928623b2d7.png;

④0f010ba6c610da8e6c608a9b4f0961bc.png;

⑤69e4161275c44b78fadc8f1350ea0e87.png.

94. 圆的切线方程：已知圆96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png．过圆上的2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png点的切线方程为0021f5fabbf70fb41873c06c17f5ecf5.png;

95. 椭圆

①椭圆定义：38b45d9eae381f85720d1c0e9914cd19.png；

②ae27ae30e707ecff861fe541643c5f7b.png（即f5b8770544b94ea290d5b93d480d182b.png，注意4ecd4a78ea9bcba916a6350d90fe782e.png）；

③设44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是椭圆上任意一点，且d4d509eda8906c6e11c38f14de30152f.png，则有b19b53331d8c05edf225d47af192e21d.png.

④下表是椭圆的标准方程及几何性质。

⑴椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png焦半径公式：903dd9ca14ac8758a4e442e6afd844b1.png，466b90e6d38efb4ba85c48be10303050.png；

⑵椭圆的的内外部：

①点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的内部f388e45d90ca8e9d03c92a3922ad51da.png；

②点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的外部622038ca3d3fc8da0af8a7e56331ab80.png；

⑶椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png相切的条件是a4264fa0f945fcef32e049f4d23a1fcc.png.

96. 双曲线

①双曲线定义：353ba76d32498cf08451dc9d463975e0.png；

②639c1a8c8dcd4dd00984616ca19f842c.png（即998f4cf78292f2fc6f5dbd56904fac88.png，注意f29dd8d45e5690b4ad7b507e2eb3f930.png，其中dec844ff72cd6430105e64ffd63d3072.png为同一象限内的实顶点、虚顶点，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点）；

③设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是双曲线上任意一点，且e53b3d64153ce64ecd30bf5cc376c9e5.png，则有846c55b002926d0bf57bf3dba905a15d.png.

④下表是其标准方程及几何意义。

⑴ 双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的焦半径公式：fd04247950bb76043b495ad57769a639.png，553880b84e0b2e2ec13974496b658103.png;

⑵ 双曲线的内外部：

①点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的内部35f3d278feaad600998d1aab7e38fbd1.png；

②点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的外部9eb593ae1b913501c32b4ead3d4dea1d.png;

⑶ 双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png相切的条件是45d7d9058dcd71dca8efbec79c8c5da1.png.

97. 抛物线

⑴抛物线c41d2a58a25b47f596263c85da4f9338.png的焦点弦（过焦点的弦）为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，778feebb10e13e1680584eaba84c595a.png，则有如下结论：

1 焦半径公式：d1cd5879604d35813588ecebe4d1802b.png；

2 焦点弦长7be4d7adc70e538bbc559e9b4de9f43c.png；

③1ffeef098f7dc339cba3bd8a35e75c6c.png，1055b685a7d5eddc7a0e9e78cde498ca.png.

⑵抛物线的内外部：

1 点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在抛物线8453a76292bcf676851b25f8ab891508.png的内部be34a2e1b97a6eedd5ffc8644da5ef90.png；

②点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在抛物线8453a76292bcf676851b25f8ab891508.png的外部d8586488d121d4bdcc915eb28bd875ca.png；

⑶抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png7a9817ed16703b5bb4da63b6da0c7429.png上的动点可设为Pc94bc6817d3f22051c21ae18a60ade8b.png，可简化计算。

⑷ 抛物线的切线方程：

1 抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png上一点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png处的切线方程是d7d753f5646cd180ef624a883defe4cf.png；

②抛物线8453a76292bcf676851b25f8ab891508.png与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png相切的条件是fb23f7cd376c84178ff0b11f6cacb1be.png.

98. 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形

99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式 60007720b2d28c639c796db4a57a5c17.png或

d908c63536af0d3ee166d3445276e5c1.png

（弦端点Aafd589161286076ddaedf12bbcf0434d.png，由方程a43e46447c572e406351e37f6dc79cd1.png 消去y得到0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png，55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png,8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为直线的斜率）;

②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为af44b3b59de219886c5e9413fed1efed.png；

③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：设Aafd589161286076ddaedf12bbcf0434d.png为椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png上不同两点，d27ff22cf5208bf3f65ae2c1a02b0570.png是b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点，则de65d41a9c6203f98acb67d56f94d792.png；对于双曲线bf74c258d4e7e23d1f547574dbd7ec00.png，类似可得：706099a9d42d575290bcee1308a92c81.png；对于抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png7a9817ed16703b5bb4da63b6da0c7429.png有6dae4b124718ef8d6b788586e34b4386.png.

100. 圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线7e48660eec05d185568a01bb8b06270d.png关于点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png成中心对称的曲线是c37315e5f05b1bfed5624c1a2a1057cb.png.

（2）曲线7e48660eec05d185568a01bb8b06270d.png关于直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png成轴对称的曲线是

9d8760da1213f37957a1f8ec619872b3.png.

第十章概率、统计及统计案例

word/media/image821.wmf101. 等可能性事件的概率：832a793d5b611a862e0cbfd5008d7b11.png=

102. P（A）=4d3478c65aca85afc8345f2a73f08836.png.

103. 互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

104. 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

105. 抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：

或者 ad297f45085717260f84905674f5550f.png

106. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.

107. 样本平均数：c70e50b4a9ad2378ecfc4a15f79cc01d.png；

样本方差：5726ccf63e64552bb6c247f2c355f227.png；

样本标准差：d34bbdc70789c80eae81dfb9fd70e723.png。

第十一章算法初步及框图

108. ①画出计算7d993bee5bb55ec397b2af6d375b0048.png的程序框图，如图⑴；②对图⑵，若输入93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，则执行程序后输出y的值为:____

第十二章推理与证明

109. ⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。；

⑵类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠

110. 综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”；反证法，往往用于“正难则反”，思路决定出路。

第十三章数系的扩充与复数的引入

110. 复数的相等：43b7723375fcd9d51e54bbb9568210f2.png.（fe5a5bae59350f160c8e7544a53577d3.png）

111. 复数565fa857017a4609f9c6d22a2a38eefc.png的模：425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png=5c8c8f3ab17a2f231c9d54d80de83870.png=e1e2cead4e74ae76312567ad0b73e17e.png.

112. 复数的四则运算法则

(1)230b360e1be1867c31e71470fffb370d.png;(2)2ebbdd1b617bcdff07eef4e924e0075e.png;

(3)95362bbcaab0187c158bec7739cd82f3.png;

(4)f54a8c66ca34b3db3a89488ab5343f45.png.

113. 7449397052410508a19eacdd669f3a1b.png(其中565fa857017a4609f9c6d22a2a38eefc.png和8d6ed572fd765ea64bf0a865d6acc04f.png互为共轭复数)

114. ⑴ae6479cf1cc1f1ce4ec98a60a4055a17.png；

⑵049dbe96cf8904b58ad766b977298ec5.png；802a9802639a3234c3c24e8be977ce64.png

⑶虚数单位865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png的幂的周期性：

8ccc398d0e17661dafbcfa8f2129bdc9.png，0a7ef92c0ebbadcbba7f643c9b83ed2e.png，1e247071f058144717558647972a3c6e.png，b82f2958da0e2b50f290d25e2933133f.png，5109849b816e4633da48286dca3e8b4a.png

115. 设0ea06638a7122f2b103832a7c914d648.png,则有: ①b8f484182227785637f7bafd7309553b.png；②84a806fdaefd3a5b9ee3b3b0cb7ef986.png；③f156996942f8699025f7e6d13e664723.png.

第十四章几何证明选讲

116． ① 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

② 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。

③ 切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项。

word/media/image865.emf推论（割线定理）：从圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积。

④ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

⑤ 直角三角形的射影定理：e9149e965c763e8a7888ad6a3a5e39d5.png75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png为斜边上的高，如图⑷。则有

⑴2941c2532d4c1564996ad19e34ddf68d.png;⑵c01a7e73641f31cc963137975a8ffe34.png⑶;edb8b28f6649ffd55a41fe82682153ff.png.

第十五章坐标系和参数方程

117. 极坐标和直角坐标的互化

word/media/image872.emf设为平面上的任一点，它的直角坐标为，极坐标为，如图⑸，由图可知下面的关系式成立：

2003b6e6ba37c2f2b87d7d0fdc5162ef.png 或者 d29f0283c326c0061e402e191c18ff97.png

这就是极坐标和直角坐标之间的互化公式。

第十六章不等式选讲

118. ⑴函数cd31797620abf3a10017468b4d4e9357.png的值域。（答案提示：c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png，图像如图⑴所示）。函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的几何意义；表示在数轴上，到定点1和2的距离之和。

⑵函数7de1154c464e6cee2f37380509fd4abd.png值域，（答案提示05132f14fb0a837981cc8b0715c9165f.png，其图像如图⑵所示）。函数5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的几何意义：表示在数轴上，到定点1的距离与到定点2的距离的差。