第三讲 圆锥曲线性质的探讨
[对应学生用书P37]
1．正射影的概念
给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．
一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．
2．平行射影
设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别
正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．
4．两个定理
(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．
③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．
[对应学生用书P37]
[例1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．射线
[思路点拨] 要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．
[解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
[答案] A
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．
1．下列说法正确的是( )
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆
解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．
答案：B
2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．
解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或梯形
3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．
(1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形；
(2)当∠BAC＝60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.
解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C，
∴A′B2＋A′C2<AB2＋AC2＝BC2.
∴cos ∠BA′C＝<0.
∴∠BA′C为钝角．∴△A′BC为钝角三角形．
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设AA′＝1，则A′B＝，A′C＝1，AC＝
，AB＝2，
∴BC＝
＝，
cos ∠BA′C＝＝
.
[例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦点的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.
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