2020七宝中学招生人数2020-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2020七宝中学招生人数2020-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中数学试题（解析版）

20XX-2020学年市中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设命题甲“”,命题乙“”，那么甲是乙的（ ）

A.充分非必要条 B.必要非充分条 C.充要条 D.既非充分又非必要条 【答案】A 【解析】分析成立的条,根据充分性、必要性的概念即可选出正确答案.

【详解】

因为,所以由一定能推出,由,不一定能推出,所以甲是乙的充分非必要条. 故选：A 【点睛】 本题考查了充分非必要条的判断,属于基础题. 2．已知集合,，则与的关系为（

）

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】用列举法表示集合,这样就可以选出正确答案. 【详解】 或或或. 因此,所以. 故选：C 【点睛】 本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合元素的属性特征是解题的关键. 3．若实数、、满足,则下列不等式正确的是（

）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案. 【详解】 选项A：当时,显然满足,但是,显然不成立；

选项B：,因为, 所以,故本结论成立；

选项C：当时,显然不成立；

选项D：当时,不等式能成立,但是此时不成立. 故选：B 【点睛】 本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题,利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法.

4．已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（

）

A.若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 B.若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 C.若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 D.若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 【答案】D 【解析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时,

集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时,

集合的元素个数情况,最后选出正确答案. 【详解】 选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；

选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；

选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；

选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3. 故选：D 【点睛】 本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想. 二、填空题

5．已知集合,,且,则实数的取值范围是_______

. 【答案】 【解析】利用数轴,根据集合并集的定义,结合已知,可以求出实数的取值范围. 【详解】 因为集合,,且,所以,因此实数的取值范围是. 故答案为：

【点睛】 本题考查了已知集合运算的结果求参数问题,利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.

6．若集合,,若,则实数_______

. 【答案】 【解析】根据,可以确定,运用分类讨论方法进行求解,求解过程中要再计算一下. 【详解】 因为,所以. 当时,解得,此时,因此,这与不符,故舍去；

当时,解得,此时,所以符合题意；

当时,方程无实根,综上所述实数. 故答案为：

【点睛】 本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键. 7．命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 。

【答案】若至少有一个为零，则为零 【解析】解：因为命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是就是将条和结论同时否定，再作为新命题的结论和条，即可。故为.若a ,b至少一个为0，则ab为0 8．科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则________.

【答案】 【解析】按照操作过程,得到一个方程,解方程即可. 【详解】 由题意得：. 故答案为：8 【点睛】 本题考查了数学阅读理解的能力,考查了解方程的能力,属于基础题. 9．设函数，若，则________.

【答案】 【解析】根据分段函数的解析式,分类讨论即可求出的值. 【详解】 当时,因为,所以,而, 所以；

当时, 因为,所以,而,所以舍去,综上所述：. 故答案为：

【点睛】 本题考查了已知分段函数的函数值求自变量取值问题,考查了分类思想,考查了数学运算能力. 10．已知函数,，则________.

【答案】 【解析】求出函数的定义域,再求出函数的定义域,然后进行运算即可. 【详解】 函数的定义域为：,而函数的定义域为：,因此函数 的定义域为,所以. 故答案为：

【点睛】 本题考查了求函数的定义域,考查了数学运算能力. 11．已知不等式的解集中有且只有5个整数，则实数的取值范围是________.

【答案】 【解析】在直角坐标系内,画出函数图象,平移函数的图象,利用数形结合思想,结合已知,可以求出实数的取值范围. 【详解】 在直角坐标系内,画出函数图象,如下图所示；

平移函数的图象,可以发现：

当时, 不等式的解集中有且只有5个整数.

故答案为：

【点睛】 本题考查了利用函数图象解决不等式整数解问题,考查了数形结合思想. 12．若关于的不等式在上的解集为,则实数的取值范围是________.

【答案】 【解析】根据一元二次不等式的解法可知：一元二次方程根的判别式小于零,因此可以通过解不等式可求出实数的取值范围. 【详解】 因为关于的不等式在上的解集为,所以一元二次方程 根的判别式小于零,即. 故答案为：

【点睛】 本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,掌握一元二次不等式的解法是解题的关键,考查了方程与不等式之间的联系. 13．已知函数的定义域为,则函数的定义域为________.

【答案】 【解析】根据的定义域,可以得出函数中自变量的满足的不等式组,解这个不等式组即可. 【详解】 因为函数的定义域为,所以有, 因此函数的定义域为. 故答案为：

【点睛】 本题考查了求函数的定义域,掌握求复合函数的定义域的方法是解题的关键. 14．已知，，则的最小值为

. 【答案】3 【解析】试题分析：根据条，解得 ，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 【考点】基本不等式 15．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.

【答案】 【解析】在平面直角坐标系内,画出函数的图象,画出函数的图象的示意图,平移函数的图象,利用数形结合，可以求出实数的取值范围. 【详解】 在平面直角坐标系内,画出函数的图象,画出函数图象的示意图,如下图所示：

向右平移函数图象的过程中可以发现：当从左到右平移到与横轴的交点为时，要想不等式对任意恒成立,即满足 ；再继续往右平移时，当函数图象的左侧经过点时,此时 ,显然当时, 不等式对任意恒成立,综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：

【点睛】 本题考查了利用函数图象求解不等式恒成立问题,考查了数形结合思想、平移思想.

16．对于集合，定义函数，对于两个集合、，定义集合,用表示有限集合所含元素的个数,若,,则能使取最小值的集合的个数为________.

【答案】 【解析】通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据取最小值时所满足的条,最后可以求出集合的个数. 【详解】 因为,所以有,要想 最小,只需最大,且最小,要使 最小, 则有, ,所以集合是集合和集合子集的并集,因此集合的个数为个. 故答案为：8 【点睛】 本题考查了新定义题,考查了集合与集合之间的关系,考查了数学阅读能力. 三、解答题

17．已知集合,函数的定义域为集合,且,求实数的取值范围.

【答案】 【解析】解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域,结合已知,利用数轴,可以求出实数的取值范围. 【详解】 , 或,所以. 因为,所以有：或,解得或,综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键. 18．若实数、、满足,则称比接近.

(1)若比4接近1,求实数的取值集合；

(2)若、均属于(1)中集合,求证：比接近0.

【答案】(1)

；(2)证明见解析. 【解析】(1)根据

题目已知给的信息,可以把比4接近1,转化成不等式,解这个不等式即可；

(2)根据题意可以得到,想要证明比接近0,只需证明 即可,运用平方法、差比的比较法、因式分解法可以证明出结论.

【详解】

(1)因为比4接近1,所以有 ,所以实数的取值集合；

(2)由题意可知：

, 因为,所以,即 于是有,由题意可知：比接近0. 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式,考查了证明绝对值不等式,考查了数学阅读能力. 19．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．

（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．

【解析】试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数， 即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值. 试题解析：

（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费. 由,得 所以

（2）因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．

（2）导数解法：，令得

当时，，当时，．

所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．

【考点】导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．

20．已知是满足下述条的所有函数组成的集合：对于函数定义域内的任意两个自变量、,均有成立.

(1)已知定义域为的函数,求实数、的取值范围；

(2)设定义域为的函数,且,求正实数的取值范围；

(3)已知函数的定义域为,求证：. 【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析. 【解析】(1)根据题意得到不等式,通过不等式可以求出实数、的取值范围；

(2)求出时,

正实数的取值范围,然后根据补集思想,求出正实数的取值范围即可；

(3)设,利用分子有理化,绝对值不等式的性质，可以证明出 ,这样就可以证明出. 【详解】 (1)因为定义域为的函数,所以均有 成立,即 ,显然,因此，；

(2) 设定义域为的函数,且,所以均有 成立,即 , 设,即在上恒成立, ,因此有：

,因此当时, 正实数的取值范围为：；

(3) 设 , 所以有,显然 也成立. 【点睛】 本题考查了数学阅读能力,考查了有关不等式恒成立问题,理解题意、运用绝对值的性质、分子有理化的方法是解题的关键. 21．对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；

(2)求证：集合是“和谐集”；

(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数. 【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；

(2)集合去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；

(3)判断任意一个元素（）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数. 【详解】 (1)当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：

,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；

(2)集合所有元素之和为49. 当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

(3)设正整数集合（，）所有元素之和为,由题意可知 均为偶数,因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数,所以（）也都是奇数,由于,显然为奇数；

若是偶数, 所以（）也都是偶数.此时设（）显然也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合中元素的个数也是奇数, 综上所述：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数. 【点睛】 本题考查了新定义的理解与运用,正确理解题意,运用分类讨论的方法是解题的关键.

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