第1讲（第1次课） 包含与排除

第一讲 包含与排除

【专题解析】

集合：指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一，如某班全体学生可以看做一个集合，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素，如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，即：C＝A＋B－AB。（AB表示A与B的相同元素组成的集合）

【解题秘笈】

1、 容斥原理（解答包含排除问题方法）：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈画图（韦恩图）来帮助思考。

2、 容斥原理（两量重叠问题）：

●A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

●用符号可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B（其中符号“∪”读作并“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。）

●则称这一公式为包含年与排除原理，简称容斥原理。

①先包含——A+B （重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次）

②再排除——A+B－A∩B（把多加了1次的重叠部分A∩B减去）

● 图示如右：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：

● 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）

● 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C＝A∩B（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

3、 容斥原理（三量重叠问题）

● A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类

又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。

● 用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C

● 图示如右：小圆表示A的元素个数，中圆表示B的元素的个数，

大圆表示C的元素的个数。

1 先包含——A+B+C（重叠部分A∩B、A∩C、B∩C重叠了2次，多加了1次）。

2 再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C（重叠部分A∩B∩C重叠了3次，

但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算是都被减掉了）。

【经典例题】

【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年报》，有48人订了《小学生报》，问两种刊物都订的有多少人？

【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？

【巩固】、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？

【例3】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问只懂英语的老师有多少人？

【巩固】、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问只做对第一题的有多少人？

【例4】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？

【巩固】、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？

【例5】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？

【巩固】、六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？

【例6】一家干洗店统计洗上衣、裙子和裤子的顾客人数，只洗上衣的顾客与只洗裤子和裙子两样的顾客都是9人；只洗裤子的顾客与不洗裤子的顾客人数相等；三样全洗、只洗一样、只洗两样的顾客人数相同；只洗上衣和裤子两样的顾客有15人，洗裙子的顾客有48人。总共有多少为顾客？

【例7】用数字1，2，3，4，5，6，填满一个6×6的方格表，如图所示，每个

小方格只能填其中的一个数字，将每个2×2方格内的四个数字的和称为

这个2×2方格的“标示数”，问能否给出一种填法，使任意两个“标

示数”均不相同？如果能，请举出一例；若不能，请说明理由。

【例8】某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的人数。

【例9】图中为大、小两个正方形，中心重叠于O点。将小正方形绕O点旋转45°，得到右图。阴影部分的面积a为9平方厘米，b为2平方厘米。问：两个正方形的面积各是多少？

【作业习题】

1、一个班有学生52人，参加体育代表队的有40人，参加文艺代表队的有33人，并且每个人都至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？

2、一个少儿俱乐部有92人，其中会下中国象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋，两种棋都会下的有多少人？

3、某校的每个学生至少爱好爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？

4、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？

5、五年级122名同学参加语文，数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。

6、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？

7、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的有35人，语文和数学都在90分以上的有20人，语文和数学都在90分以下的有多少人？

8、老师在统计考试成绩，数学得分以上的有25人，语文得分90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问两样都在90分以上的有多少人？

9、天雷小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？

10、少年乐园学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？

11、在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，能被3或4整除的数共有多少个？

12、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科都参加了，那么只参加数学竞赛的女生有多少名？

13、某数学竞赛共有160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人，在这次决赛中至少有多少人得满分？

14、参加大型团体操的同学共240名，他们面对教练站成一排，从左至右按1，2，3，4，…依次报数，教练让每个同学记住自己报的数并做以下动作；先让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是5的倍数的学生向右转，最后让报数是7的倍数的学生向后转，问此时还有多少学生面对教练？

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