山东省淄博市临淄中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
一、本题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．
1．（4分）已知命题p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an≤0，则（）
A． ￢p：∀x∈R，xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an≤0
B． ￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an＞0
C． ￢p：∀x∈R，xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an＞0
D． ￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an≥0
2．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）
A． y2=﹣8x B． y2=8x C． y2=﹣4x D． y2=4x
3．（4分）已知向量，使
成立的x与使
成立的x分别为（）
A． B． ﹣
6 C． ﹣6，
D． 6，﹣
4．（4分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜
”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
5．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，3a=2c=6，则b的值为（）
A． B．
C．
﹣1 D． 1+
6．（4分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）
A． 35 B． 33 C． 31 D． 29
7．（4分）△ABC中，cosA=，则△ABC形状是（）
A． 正三角形 B． 直角三角形
C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形
8．（4分）过曲线（x＞0）上横坐标为1的点的切线方程为（）
A． 3x+y﹣1=0 B． 3x+y﹣5=0 C． x﹣y+1=0 D． x﹣y﹣1=0
9．（4分）{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为=（）
A． B． 1 C．
D．
10．（4分）如图，在四面体OABC中，G是底面△ABC的重心，则等于（）
A． B．
C． D．
11．（4分）设函数f（x）=sin22x，则f′（x）等于（）
A． ﹣2cos4x B． ﹣2sin4x C． 2cos4x D． 2sin4x
12．（4分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）
A． B．
C．
D． 2
13．（4分）已知命题：
①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；
②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；
③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；
④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．
上述命题中真命题的个数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
14．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面ACC1A1所成的角的正弦值为（）
A． B． ﹣
C．
D． ﹣
15．（4分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•
•f′（x），于是得到：y′=f（x）g（x），运用此方法求得函数y=
的一个单调递增区间是（）
A． （e，4） B． （3，6） C． （0，e） D． （2，3）
16．（4分）双曲线一条渐近
线的倾斜角为
，离心率为e，则
的最小值为（）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案纸中横线上.
17．（4分）已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角=弧度．
18．（4分）命题“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题为．
19．（4分）已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=．
20．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．（10分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2），g（x）=2x﹣2﹒
（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若¬p是假命题，求m的取值范围﹒
22．（10分）数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：
．
23．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．
24．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M（4，0）的直线l与C相交于A，B两点，若，求直线l的方程﹒
25．（13分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．
26．（13分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+
=1（a＞b＞
0）的离心率为
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
山东省淄博市临淄中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、本题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．
1．（4分）已知命题p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an≤0，则（）
A． ￢p：∀x∈R，xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an≤0
B． ￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an＞0
C． ￢p：∀x∈R，xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an＞0
D． ￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an≥0
考点： 命题的否定．
专题： 简易逻辑．
分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断即可．
解答： 解：因为特称命题的 否定是全称命题．
所以，命题p：∃x0∈R，x0n+a1x0n﹣1+a2x0n﹣2+…+an≤0，则￢p：∀x∈R，xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an＞0．
故选：C．
点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）
A． y2=﹣8x B． y2=8x C． y2=﹣4x D． y2=4x
考点： 抛物线的标准方程．
专题： 计算题．
分析： 根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．
解答： 解：∵准线方程为x=﹣2
∴=2
∴p=4
∴抛物线的方程为y2=8x
故选B
点评： 本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．
3．（4分）已知向量，使
成立的x与使
成立的x分别为（）
A． B． ﹣
6 C． ﹣6，
D． 6，﹣
考点： 平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 计算题．
分析： 利用平行与垂直的充要条件将垂直与平行转化为关于x的方程解方程求x．
解答： 解：若，则
；
若，则2：（﹣4）=（﹣1）：2=3：x，x=﹣6．
故应选A．
点评： 考查空间向量的垂直与平行的坐标表示．在现在的人教A版中这些内容已删，请答题者注意自己教材生版本．莫做超 纲题
4．（4分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜
”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 推理和证明．
分析： 根据：若＜
则
﹣
=
＜0，a＞b＞0或0＞a＞b；由充分必要条件的定义可判断．
解答： 解：若a＞b＞0，则﹣
=
＜0，即
＜
出成立．
若＜
则
﹣
=
＜0，a＞b＞0或0＞a＞b
所以“a＞b＞0是＜
”的充分不必要条件．
故选：A
点评： 本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．
5．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，3a=2c=6，则b的值为（）
A． B．
C．
﹣1 D． 1+
考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 常规题型．
分析： 由C的度数求出cosC的值，再由a与c的值，利用余弦定理，列出关于b的方程，即可得到b的值．
解答： 解：∵a=2，c=3，∠C=60°，
∴根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC
9=4+b2﹣2b，
则b=．
故选D．
点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6．（4分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）
A． 35 B． 33 C． 31 D． 29
考点： 等比数列的性质；等比数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．
解答： 解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1
∴a4=2
a4+2a7=a4+2a4q3=2×
∴q=，a1=
=16
故S5==31
故选C．
点评： 本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
7．（4分）△ABC中，cosA=，则△ABC形状是（）
A． 正三角形 B． 直角三角形
C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由余弦定理化简cosA=，利用勾股定理即可判断△ABC的形状．
解答： 解：由题意得，cosA=，
则由余弦定理得，，
化简得，a2+b2=c2，
所以C=90°，即△ABC是直角三角形，
故选：B．
点评： 本题考查余弦定理的应用：边角 互化，以及三角形的形状的判断，属于基础题．
8．（4分）过曲线（x＞0）上横坐标为1的点的切线方程为（）
A． 3x+y﹣1=0 B． 3x+y﹣5=0 C． x﹣y+1=0 D． x﹣y﹣1=0
考点： 导数的几何意义．
专题： 计算题．
分析： 先求出切线的斜率，以及切点的坐标，点斜式写出切线方程，并化为一般式．
解答： 解：∵，
∴该切线的斜率k=y'|x=1 =﹣3，
曲线（x＞0）上横坐标为1的点（1，2），
故所求的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），即 3x+y﹣5=0，
故选 B．
点评： 本题考查求函数在某点的切线方程的求法，先求出切线的斜率及且点的坐标，从而得到切线方程．
9．（4分）{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为=（）
A． B． 1 C．
D．
考点： 等差数列的性质．
分析： 由等差数列的求和公式及等差数列的性质可得=
=
即可得到答案．
解答： 解：∵=
=
=
=1
故选B
点评： 本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于公式的灵活应用
10．（4分）如图，在四面体OABC中，G是底面△ABC的重心，则等于（）
A． B．
C． D．
考点： 向量的加法及其几何意义．
专题： 空间向量及应用．
分析： 利用重心的性质和向量的三角形法则即可得出．
解答： 解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．
∵点G是底面△ABC的重心，
∴，
．
∴=
=．
又，
，
∴
=．
故选：D．
点评： 本题考查了重心的性质和向量的三角形法则，属于基础题．
11．（4分）设函数f（x）=sin22x，则f′（x）等于（）
A． ﹣2cos4x B． ﹣2sin4x C． 2cos4x D． 2sin4x
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据复合函数的导数公式，直接进行求导即可得到结论．
解答： 解：f′（x）=2sin2x•（sin2x）′=2sin2x•cos2x•（2x）′=2sin4x
故选：D
点评： 本题主要考查函数的导数计算，利用复合函数的导数公式是解决本题的关键．
12．（4分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）
A． B．
C．
D． 2
考点： 空间两点间的距离公式．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 由两点的距离公式，算出|AB|2关于t的式子，结合二次函数的性质可得t=时，|AB|2有最小值，相应地A、B两点距离也取得最小值．
解答： 解：∵点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），
∴|AB|2=（t+1）2+（2t﹣1）2+（t﹣t）2=5t2﹣2t+2
∵t=时，|AB|2=5t2﹣2t+2=5（t﹣
）2+
取得最小值
，
∴当t=时，|AB|的最小值为
故选：C．
点评： 本题给出两点含有字母参数t的坐标，求两点间的最短距离，着重考查了两点间的距离公式和二次函数的性质等知识，属于基础题．
13．（4分）已知命题：
①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；
②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；
③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；
④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．
上述命题中真命题的个数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： 直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．
解答： 解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；
②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；
③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；
④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如
．
故选：A．
点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．
14．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面ACC1A1所成的角的正弦值为（）
A． B． ﹣
C．
D． ﹣
考点： 直线与平面所成的角．
专题： 计算题；空间角．
分析： 根据题意画出图形，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，证明DG⊥面AA1C1C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．
解答： 解：如图所示，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，
在正三棱柱中，有B1E⊥AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，
故DG⊥面AA1C1C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=，
AG==
，AD=
=
故sinα=
故选：A．
点评： 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．
15．（4分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•
•f′（x），于是得到：y′=f（x）g（x），运用此方法求得函数y=
的一个单调递增区间是（）
A． （e，4） B． （3，6） C． （0，e） D． （2，3）
考点： 导数的运算；函数的单调性及单调区间．
专题： 计算题；新定义．
分析： 根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可
解答： 解：由题意知=
，（x＞0）
令y'＞0，得1﹣lnx＞0
∴0＜x＜e
∴原函数的单调增区间为（0，e）
故选C
点评： 本题考查函数的单调性，要求首先读懂定义，并熟练掌握导数运算，同时要注意函数的定义域．属简单题
16．（4分）双曲线一条渐近线的倾斜角为
，离心率为e，则
的最小值为（）
A． B．
C．
D．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 由题设知，设a=k，b=
，（k＞0）则c=2k，
=
，由此能得到其最小值．
解答： 解：由题设知，
设a=k，b=，（k＞0）则c=2k，
∴=
=
．
故选A．
点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案纸中横线上.
17．（4分）已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角=弧度．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由条件利用正弦定理可得a：b：c=3：5：7，设a、b、c三边分别为3、5、7，角C为最大角，则由余弦定理求得 cosC= 的值，可得最大角C的值．
解答： 解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，
∴c变为最大边，角C为最大角，设a、b、c三边分别为3、5、7，
则由余弦定理可得 cosC==
=﹣
，
∴C=，
故答案为：．
点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，属于中档题．
18．（4分）命题“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题为若x、y不全为0，则x2+y2≠0．
考点： 四种命题间的逆否关系．
专题： 应用题．
分析： 由已知可得，原命题的题设P：x2+y2=0，结论Q：x，y全为零．在根据原命题依次写出否命题、逆命题、逆否命题．否命题是若非P，则非Q；逆命题是若Q，则P；逆否命题是若非去，则非P．
解答： 解：依题意得，原命题的题设为若x2+y2=0，结论为则x，y全为零．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0
故答案为：若x，y不全为零，则x2+y2≠0
点评： 写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．
19．（4分）已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=﹣2．
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．
解答： 解：由f（x）=x2+3xf′（2），
得：f′（x）=2x+3f′（2），
所以，f′（2）=2×2+3f′（2），
所以，f′（2）=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．
20．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是
．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 通过椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，可得椭圆与圆x2+y2=2c2应相交，进而可得b≤≤a，计算即得结论．
解答： 解：椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，
即椭圆与圆x2+y2=2c2的位置关系应为相交，
∴b≤≤a，
即≤
c≤a，
由≤
c可知：a2≤3c2，
∴e==
≥
=
；
由c≤a可知：e=
≤
=
；
综上所述，≤e≤
，
故答案为：．
点评： 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．（10分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2），g（x）=2x﹣2﹒
（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若¬p是假命题，求m的取值范围﹒
考点： 命题的真假判断与应用；命题的否定．
专题： 简易逻辑．
分析： （Ⅰ）通过命题“log2g（x）≤1”是真命题，转化为不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；
（Ⅱ）写出命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0的¬p，利用¬p是假命题，原命题是真命题，转化为不等式，求解即可得到m的取值范围﹒
解答： 解：（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，即log2g（x）≤1恒成立；
即log2g（x）≤log22，等价于…（3分）
解得1＜x≤2，…（4分）
故所求x的取值范围是{x|1＜x≤2}；…（5分）
（Ⅱ）因为¬p是假命题，则p为真命题，…（6分）
而当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，…（7分）
又p是真命题，则x＞1时，f（x）＜0，
所以f（1）=﹣（1+2）（1﹣m）≤0，即m≤1；…（9分）
（或据﹣（x+2）（x﹣m）＜0解集得出）
故所求m的取值范围为{m|﹣2＜m≤1}﹒…（10分）
点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，转化思想的应用，不等式组的解法，考查分析问题解决问题的能力．
22．（10分）数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：
．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．
专题： 计算题；证明题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由题意可知，Sn=2an﹣1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求bn，
（2）由，利用裂项求和可求Tn，然后结合数列的单调性可证
解答： 解：（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn=2an﹣1…（1分）
当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1…（2分）
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，
∴an=2an﹣1，即 …（3分）
∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
…（5分）
设{bn}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1…（8分）
（2）…（9分）
∴…（10分）
∵n∈N*，∴…（11分）
∴数列{Tn}是一个递增数列 …（12分）
∴．…（13分）
综上所述，…（14分）
点评： 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用
23．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．
考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与
，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；
（Ⅱ）先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．
解答： 解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，
O（0，0，2），M（0，0，1）
（Ⅰ）设AB与MD所成的角为θ，
∵，
∴，∴
，
∴AB与MD所成角的大小为（5分）
（Ⅱ）∵，
∴设平面OCD的法向量为，
则，即
，
取，解得
．（6分）
易知平面OAB的一个法向量为（7分）
．（9分）
由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为（10分）
点评： 本小题主要考查直线与平面所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
24．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M（4，0）的直线l与C相交于A，B两点，若，求直线l的方程﹒
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）设Q（x0，4），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）设A，B的坐标，运用向量共线的坐标表示，设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，消去x，运用韦达定理，联立方程即可解得m，进而得到直线方程．
解答： 解：（Ⅰ）设Q（x0，4），代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，
所以，
由题设得，解得p=﹣2（舍去）或p=2．
所以C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设，
由，得
，
所以，①
设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，
由，消去x得y2﹣4my﹣16=0，
所以②
由①②联立，解得，
，
﹒
或，
，
，
故所求直线l的方程为或
﹒
点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．
25．（13分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．
解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，
由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，
即a=b，
又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，
即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，
故a=b=1；
（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，
故f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，
而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，
当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；
当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，
即f′（x）=0有两个根x1，x2，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，
综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．
点评： 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．
26．（13分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
解答： 解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得
又
，
所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积
=
，
设，则t＞0，
，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣
x﹣2．…（12分）
点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
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