数 学（文科） 参考答案
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
说明： 第1３题少写一个减３分，错的则不得分
第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15．解：
（Ⅰ）设数列![]()
3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公差为![]()
d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png. …………………………….1分
因为![]()
f295bb579a0bbe99caa03449addd1c6b.png，所以![]()
8c764a0e2378ed772cef749672b6047a.png. ………………………….3分
因为![]()
ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，所以![]()
ff26102a5f2393483f6c722074a1917b.png，即![]()
87dd9e833d58394690e907aed4c2e01c.png, …………![]()
………………….5分
所以![]()
278483a0be5d3beb654598a5e4347d3e.png. …………………………….7分
（Ⅱ）因为![]()
ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，![]()
e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png，所以![]()
923991cfe8ffe790ee51946fafc18ceb.png, …………………………….9分
所以![]()
b3ca9d0cf184cd4ff9166d74b1cb005d.png，所以![]()
6deb6268590f4cf1de096755a8e520ce.png, …………………………….11分
解得![]()
80efb32d528eb79d3249e1ee34be4f2c.png，所以![]()
7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的值为![]()
9113fc7125d58568466a6efe2bb45375.png. ……………………….13分
16.解：
（Ⅰ）因为![]()
344b6d87517b668806f58c4488916731.png
![]()
286ee7546c92badd1f7de64a3aa6d228.png …………………………….4分
![]()
a534d1685b2f0ad56a04d24a9b4ebf23.png …………………………….6分
所以函数![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小正周期![]()
f815a3836d45121f8f56c43b8c28e47a.png. …………………………….8分
（Ⅱ）因为![]()
59dc20189010b6252ac491534e42f2a8.png，
所以![]()
6987456fdbf5f5b1b0ed249bb0b7dd32.png，所以![]()
27ee999619b260f6c4677795ec23a796.png, ………………………….9分
根据函数![]()
6eb3daa863c21e84e72a568c40963922.png的性质，
当![]()
f61c4cb26199c46c17bc125a0fe74958.png时，函数![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png取得最小值![]()
182228c66a3924d1977286513afe8368.png， …………………….10分![]()
当![]()
33f1af36d900235608d6f0b7b9b227e8.png时，函数![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png取得最大值![]()
8688b8fe2196138c6d1b258b1006da83.png. ………………………….11分
因为![]()
6fa4499b843fddeae20919d40bfb3efa.png，
所以函数![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间![]()
59dc20189010b6252ac491534e42f2a8.png上的最大值与最小值的和为![]()
cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png. …………………………….13分
17．解：
（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. ……………………….3分
（少写一个扣1分）
（Ⅱ）最高温度的方差大. ![]()
…………………………….6分
（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A， ……………………….7分
则基本事件空间可以设为![]()
b580973dbe5ffe299d32c743f5ad1a8c.png，共计29个基本事件
…………………………….9分
由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件， ……………………….11分
![]()
word/media/image45_1.png所以![]()
be699d11585485368ee86f200c6f7c39.png， …………………………….13分
所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为![]()
616b5feaaead129de3d1b4a750ed869b.png.
18．解：
（Ⅰ）取![]()
e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png中点![]()
dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，连接![]()
99e5accb53076a77d8f34af1cbbd5690.png
因为点![]()
![]()
800618943025315f869e4e1f09471012.png为![]()
06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png的中点，
所以![]()
4ddcf15584385b2a32483bfbd40fdb26.png且![]()
f52db4cd1fca570730790754f5676646.png …………………………….1分
又![]()
cafc834cec8434fe7a0e6d70a14f7c7b.png，且![]()
6133c08b3592c4b9017b41adfd7dc974.png，
所以![]()
20fba7b0d00f4de645008ad4725008e3.png
所以四边形![]()
addc3d9f75e66c5ffae729ca2b48b683.png为平行四边形. …………………………….2分
所以![]()
5efa3e7c1f28d2cea97d5c0c2e2d1bb6.png
又![]()
db2c9e7f15a40e2d4dc4753f75ce9845.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，![]()
af8d0d53ec356edd7c084ccc67c9ffc4.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png, …………………………….3分
所以![]()
d17c7b411058df36de31f24d07a6b108.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png. …………………………….4分
（Ⅱ）连接![]()
87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png.
因为四边形![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形，![]()
d30618b47f563555709b45323ea96fad.png，所以![]()
c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png为等边三角形.
因为![]()
dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为![]()
e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png中点，所以![]()
9d7c00fc61729c6d9f29356eceb1ae1d.png， …………………………….6分
又因为![]()
07fe2d439c04ece895b1778c6a28c489.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，![]()
af8d0d53ec356edd7c084ccc67c9ffc4.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，所以![]()
86a9ee8f936272805f73b13b70ea10d2.png， ………………………….7分
又![]()
92a01624bd13a721462560da40a259fe.png，![]()
31a01fea3a5c7f9226cf7a662379f97d.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png， …………………………….8分
所以![]()
d78ec95bc57ef1be23497dac362378c2.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png. …………………………….9分
又![]()
5efa3e7c1f28d2cea97d5c0c2e2d1bb6.png所以![]()
f431867f7c954181048c378eba019135.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，
又![]()
e232703fd229bad9133cbc719093ef2a.png平面![]()
bb156e28d38e80191e14b4d6525c844b.png，所以平面![]()
7d1958c6eb29f228ad8ee6a19be6dda3.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png. …………………………….10分
法二：因为四边形![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形，![]()
d30618b47f563555709b45323ea96fad.png，所以![]()
c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png为等边三角形.
因为![]()
dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为![]()
e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png中点，所以![]()
9d7c00fc61729c6d9f29356eceb1ae1d.png， …………………………….6分
又因为![]()
07fe2d439c04ece895b1778c6a28c489.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，![]()
d003d8787de522bfa8c98a75af31f737.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，
所以平面![]()
0f024f27fb33af8e4fabb9af057214c8.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png， …………………………….7分![]()
又平面![]()
3c3b8de630aa3f15c18009a014d0754d.png，![]()
af8d0d53ec356edd7c084ccc67c9ffc4.png平面![]()
cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png, ………………………….8分
所以![]()
d78ec95bc57ef1be23497dac362378c2.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png. …………………………….9分
又![]()
5efa3e7c1f28d2cea97d5c0c2e2d1bb6.png所以![]()
f431867f7c954181048c378eba019135.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，
又![]()
e232703fd229bad9133cbc719093ef2a.png平面![]()
bb156e28d38e80191e14b4d6525c844b.png，所以平面![]()
7d1958c6eb29f228ad8ee6a19be6dda3.png平面![]()
9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png. ………………………….10分
（Ⅲ）因为![]()
742171b846de10be611e7759fa5f440a.png， …………………………….12分
![]()
141fa2f559b4bb4f6fb65d5e2259ea53.png, 所以![]()
451b284183163dce81011997c80eb478.png. …………………………….14分
19．解：（Ⅰ）函数![]()
0cf585ee5f8228f0568b843e04f444de.png的定义域为![]()
b921db311612fd3665c51872c7a83455.png. …………………………….1分
![]()
30c2db78c976209e6403846bb74f6a08.png. …………………………….3分
当![]()
ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png时，![]()
aed6e17ee855c96e8f9586d78c5b1d2a.png,
令![]()
4a3fc52d7e6d57bcf9bad4287f7c9ad0.png，得![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png， …………………………….4分
所以![]()
9af71d54818080baef9d9b6fbee3e740.png随![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的变化情况如下表：
![]()
…………………………….6分
所以![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处取得极小值![]()
dc2cf74e971e5291da39519a97b044db.png, 无极大值. ………………….7分
![]()
50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调递减区间为![]()
b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png，单调递增区间为![]()
a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png. ……………….8分
（Ⅱ）因为关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解,
令![]()
3556f9b5c35fab76291fb9dbb41a83f9.png，则问题等价于函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png存在零点, …………………….9分
所以![]()
40b4d37c884549dc90fff7f35f807ca6.png![]()
. …………………………….10分
令![]()
d1f3a89d953f1c3d06363d4b9c15bcbb.png，得![]()
c9e13ef347bba7ced96fd199108ce9b1.png.
当![]()
7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png时，![]()
593b55fae41779a3941cf10822c20cb8.png对![]()
b921db311612fd3665c51872c7a83455.png成立，函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在![]()
b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调递减，
而![]()
49ca1b793bce42518c8a39c91a3bc35f.png，![]()
7f6f5a04dd4c56a052cf752ded5a2495.png，
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png存在零点. …………………………….11分
当![]()
1ceed399f1d8fa4a79cc94a5e6c5c76c.png时，![]()
4ff60bf18584a6b8bdf0ee7d30a14683.png随![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的变化情况如下表：
所以![]()
cb11f470e33048463d879ab06993acae.png为函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的最小值,
当![]()
0c061d98f54c085e320e3c12370441b6.png时，即![]()
e48ebfbf060e77f9fc7c712ae19d966f.png时，函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png没有零点,
当![]()
27d5128a706698829efc507ad097ab26.png时，即![]()
741f18d36ab7547034c7f7ee1d12cc26.png时，注意到![]()
2be6a6d3f624bb003d147b967ee356e9.png, 所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png存在零点.
综上，当![]()
7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png或![]()
741f18d36ab7547034c7f7ee1d12cc26.png时，关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解. ………………….13分
法二：
因为关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解，
所以问题等价于方程![]()
db483228904d896331ff4d3e0c738136.png有解， ………………………….9分
令![]()
f464bde83116fcef4f54c3094493ca9f.png，所以![]()
24b689d0eeef1ef337450f6e7eee5354.png, ………………………….10分
令![]()
d1f3a89d953f1c3d06363d4b9c15bcbb.png，得![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png
当![]()
7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png时，![]()
4ff60bf18584a6b8bdf0ee7d30a14683.png随![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的变化情况如下表：
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处取得最大值，而![]()
e436f7ec439fd8507ee5741a48f3bdd3.png.
![]()
19ce58b7e780cd060b617089b9160c37.png，
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png存在零点. …………………………….11分
当![]()
1ceed399f1d8fa4a79cc94a5e6c5c76c.png时，![]()
4ff60bf18584a6b8bdf0ee7d30a14683.png随![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的变化情况如下表：
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处取得最小值，而![]()
c0af310b9b049f1c8a587178b8597daa.png.
当![]()
1d7de557ca51c026987389dbc414dd84.png时，即![]()
e48ebfbf060e77f9fc7c712ae19d966f.png时，函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png不存在零点.
当![]()
3c60b5386ea311587fe5b8f2bb7e5439.png，即![]()
741f18d36ab7547034c7f7ee1d12cc26.png时， ![]()
793cb27d11f905752299935a67042fb3.png
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png存在零点. …………………………….13分
综上，当![]()
7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png或![]()
741f18d36ab7547034c7f7ee1d12cc26.png时，关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解.
法三：因为关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解，
所以问题等价于方程![]()
58caf72ce7e4b56032e77b502bd4cf6f.png有解， …………………………….9分
设函数![]()
3fa63cb639c83b977261f4e3268ee54b.png，所以![]()
77845c2cefed1a8c0d9e1957031f0de3.png. …………………………….10分
令![]()
d1f3a89d953f1c3d06363d4b9c15bcbb.png，得![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，
![]()
4ff60bf18584a6b8bdf0ee7d30a14683.png随![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的变化情况如下表：
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在![]()
a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处取得最大值，而![]()
57eb55b8a80cc49b849c72f925d3648c.png， …………………….11分
又当![]()
3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，![]()
30a5793c8210036f20f8e375b3dccf88.png, 所以![]()
84cf4004a66895a27511e8621027e3ec.png,
所以函数![]()
e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的值域为![]()
22e60b1c975762533f4017962574ccd3.png, …………………………….12分
所以当![]()
ee41c082e258404d997f9ebaea85d89f.png时，关于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程![]()
ebaa0a928a46aed933610acaf36c5ac1.png有解，
所以![]()
73e676cc7ed8fb8fbb7519a6ded6e854.png. …………………………….13分
20. 解：（Ⅰ）
因为椭圆![]()
61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png的左顶点![]()
7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在圆![]()
11349262707995be1228f6a5d8bb9e40.png上，所以![]()
3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png. ………………………….1分
又离心率为![]()
aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，所以![]()
c3d5bf7fe865b61446c41e7a61354ecc.png，所以![]()
6ed975822f66163e7ca7445eda418e46.png, ………………………….2分
所以![]()
c728e4c3041cf8e8d8559308ca141bf2.png, …………………………….3分
所以![]()
61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png的方程为![]()
9d8191ab1604e1d67898f52d010b512f.png.![]()
d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png![]()
…………………………….4分
（Ⅱ）（i）
法一：设点![]()
315b8e60f2ac60f8214c84708b6b07da.png，显然直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png存在斜率，
设直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的方程为![]()
f4f651068963b01d1cea4691c5e26176.png， ………………………….5分
与椭圆方程联立得![]()
17bff5cd40b378c67061ad896b1f7952.png,
化简得到![]()
37d2e4d15849287d1afa6c56d6564e11.png， ………………………….6分
因为![]()
40840efe8331e2645667b1a21ac77f95.png为上面方程的一个根，所以![]()
33a4f0f688e153ad4f1e9c84cf7f02cb.png，所以![]()
89690ceeb2526bd2d0071f8228007829.png .…………………………….7分
由![]()
ed6f90df29070c22703451855a8eef3a.png， …………………………….8分
代入得到![]()
b8c12dae8847d44b14e85b9d848377a1.png，解得![]()
5ba0eeae1d9cd74ba6b5fcc017ed72c6.png, ……………………….9分
所以直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的斜率为![]()
214710f517e4151a813fb3adf9e19511.png.
（ii）因为圆心到直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的距离为![]()
307945b97697da39c4883c679c949e54.png， …….10分
所以![]()
ad2b5e3d1ea3612b5a9533e2586cd940.png. …………………………….11分
因为![]()
3102f187f729786ec759494a3839ddfd.png， …………………………….12分
代入得到
![]()
c01c083027367f7527a6bd9e1a94d56e.png. …………………………….13分
显然![]()
0ad74cd07be90fb1b9b5e4ada11af7f1.png，所以不存在直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png，使得![]()
a9b5013dbbb8eedb4fabb92a7f5a3db6.png. …………….14分
法二：（i）设点![]()
315b8e60f2ac60f8214c84708b6b07da.png，显然直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png存在斜率且不为![]()
cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png ，
设直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的方程为![]()
ed785c201ba847677228967715e3666b.png， ………………………….5分
与椭圆方程联立得![]()
23cbcef4e3e6df6221d25e1cbbe2f215.png,
化简得到![]()
c198ecdf5e0f4cfa340dabccfb15e6cd.png, …………![]()
………………….6分
显然![]()
40840efe8331e2645667b1a21ac77f95.png上面方程的一个根，所以另一个根，即![]()
3ead119f03aa21247536174ed1a99fb3.png, …………………………….7分
由![]()
b5bcbc31d299eef3b33c7d7884131046.png， …………………………….8分
代入得到![]()
c662dc872a1d8da99dfb62da3f872871.png，解得![]()
265fbc7211f6d34a992b235c339f6ef7.png. ……………………….9分
所以直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的斜率为![]()
214710f517e4151a813fb3adf9e19511.png
（ii）因为圆心到直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的距离为![]()
8ae245d05371ee9770016412d7c750ce.png， …………………………….10分
所以![]()
6dbf073956f41e2104e5551f82f2bdf0.png. …………………………….11分
因为![]()
3102f187f729786ec759494a3839ddfd.png， …………………………….12分
代入得到
![]()
8fcfc88c248cf0c748e5354e193e8c98.png. …………………………….13分
若![]()
e743465459b62b31c9d27cfc7d189aa4.png，则![]()
e6753e61990bc639ae1869683cb421b7.png，与直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png存在斜率矛盾，
所以不存在直线![]()
0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png，使得![]()
a9b5013dbbb8eedb4fabb92a7f5a3db6.png. …………………………….14分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/aa0e081b743231126edb6f1aff00bed5b9f37382.html
