一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2. 若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 函数的定义域为（ B ）
A. B.
C.
D.
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．=（0，0），
=（1，﹣2） B．
=（﹣1，2），
=（5，7）
C．=（2，﹣3），
=（
，﹣
） D．
=（3，5），
=（6，10）
5. 已知，
，则
=（ ）
A． B．
C．
D．
6. 设D为△ABC所在平面内一点，且，则
=（ ）
A． B．
C．
D．
7. 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．4x+2y﹣5=0 B．4x﹣2y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=0
8. 函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象关于直线x=x0对称，则|x0|的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A．8﹣ B．8﹣
C．8﹣2π D．
10. 已知向量，设M是直线OP上任意一点（O为坐标原点），则
的最小值为（ ）
A．8 B． C．
D．-8
11. 已知f（x）=x3，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥ D．a≤
12. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（ ）
A．f（2014）﹣f（2017）＜0 B．f（2014）﹣f（2017）=0
C．f（2014）+f（2017）＜0 D．f（2014）+f（2017）=0
二.填空题：（本大共4小题．每小题5分，满分20分）
13. 已知向里m=(x－2，1), n=(1，x)，若m⊥n，则实数x的值为
14. 若的值是___________
15. y=cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．
16. 圆C的方程为，圆M的方程为
，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则
的最小值为 ．
三.解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知||=4，|
|=
，（
+
）•（
﹣2
）=16．
（1）求•
；
（2）求|+
|．
18. 已知，且tanα＞0．
（1）由tanα的值；
（2）求的值．
19. 设函数f（x）=sinxcsox+cos2x+m
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈R时，f(x)的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
21. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象过点M（
）
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
22. 已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+y﹣3=0，过O作l的垂线，垂直为M，线段OM与圆O的交点为点N，P（x0，y0）是直线l上的动点，N'是N关于x轴的对称点．
（1）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；
（2）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB的斜率为定值．
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（B ）
A．{0，1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2. 若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（ D ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 函数的定义域为（ B ）
A. B.
C.
D.
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ B ）
A．=（0，0），
=（1，﹣2） B．
=（﹣1，2），
=（5，7）
C．=（2，﹣3），
=（
，﹣
） D．
=（3，5），
=（6，10）
5. 已知，
，则
=（ B ）
A． B．
C．
D．
6. 设D为△ABC所在平面内一点，且，则
=（ A ）
A． B．
C．
D．
7. 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（ B ）
A．4x+2y﹣5=0 B．4x﹣2y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=0
8. 函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象关于直线x=x0对称，则|x0|的最小值为（ A ）
A． B．
C．
D．
9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ A ）
A．8﹣ B．8﹣
C．8﹣2π D．
10. 已知向量，设M是直线OP上任意一点（O为坐标原点），则
的最小值为（ D ）
A．8 B． C．
D．-8
11. 已知f（x）=x3，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0恒成立，则a的取值范围是（ C ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥ D．a≤
12. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（ A ）
A．f（2014）﹣f（2017）＜0 B．f（2014）﹣f（2017）=0
C．f（2014）+f（2017）＜0 D．f（2014）+f（2017）=0
二.填空题：（本大共4小题．每小题5分，满分20分）
13. 已知向里m=(x－2，1), n=(1，x)，若m⊥n，则实数x的值为 1
14. 若的值是___________
15. y=cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 1 ．
16. 圆C的方程为，圆M的方程为
，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则
的最小值为 6 ．
三.解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知||=4，|
|=
，（
+
）•（
﹣2
）=16．
（1）求•
；
（2）求|+
|．
【解答】解：（1）∵（+
）•（
﹣2
）=16，
∴2﹣2
2﹣
•
=16，
即•
=
2﹣2
2﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6；
（2）|+
|=
=
．
18. 已知，且tanα＞0．
（1）由tanα的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由，得
，
又tanα＞0，则α为第三象限角，所以，∴
．
（2）．
19. 设函数f（x）=sinxcsox+cos2x+m
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈R时，f(x)的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=sinxcsox+cos2x+m=
sin2x+
+m
=sin（2x+）+m+
，
∴最小正周期为=π．
由2kπ﹣≤2x+
≤2kπ+
得：kπ﹣
≤x≤kπ+
，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+
]，k∈Z．
（Ⅱ）最大值为4，
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
==
．
21. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象过点M（
）
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即
，即T=
；
∵T=，解得：ω=4，那么：f（x）=sin（4x+φ）．
∵0＜φ＜．图象过点M（
）带入可求得φ=
，
∴解析式；
（2）由（1）可知：；将f（x）的图象向右平移
个单位后，得到
的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．即g（x）=sin（2x﹣
）
∵
∴≤2x﹣
≤
g（x）+k=0在[0，]上只有一个实数解，即图象g（x）与y=﹣k，只有一个交点，
当x=时，g（x）图象取得最低点，即g（﹣
）=
．由正弦函数图象可知：
时只有一个交点，以及k=﹣1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：
或k=﹣1．
22. 已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+y﹣3=0，过O作l的垂线，垂直为M，线段OM与圆O的交点为点N，P（x0，y0）是直线l上的动点，N'是N关于x轴的对称点．
（1）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；
（2）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB的斜率为定值．
【解答】解：（1）∵OM⊥l，∴直线l上的斜率为﹣1，
∴直线l上的方程为：，即x+y﹣3=0．
（2）如图可知，对每个给定的点P，当PQ为圆O的切线时，∠OPQ最大，此时OQ⊥PQ，
若此时∠OPQ=30°，则，故只需
即可，即
，
又x0+y0﹣3=0⇒y0=3﹣x0，代入得：．
（3）证明：据题意可求N（1，1），
∵N'是N关于x轴的对称点，∠ANN'=∠BNN'，∴kAN=﹣kBN，设kAN=k，则kBN=﹣k，
则直线AN的方程为：y﹣1=k（x﹣1），直线BN的方程为：y﹣1=﹣k（x﹣1），
联立，消去y得：（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+k2﹣2k﹣1=0，
∵，∴
，同理可求
，
，
故直线AB的斜率为定值1．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a9e65580443610661ed9ad51f01dc281e43a5623.html
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