2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛
2013年12月2日
关于水泥厂生产及运输方案的最优化求解
摘要
摘要内容：本论文主要讨论四个水泥厂往五个城市提供水泥的生产运输最优化问题。根据给出的条件，做出合理的分析，通过建立数学模型以及利用电脑软件Microsoft excel2003辅助，求出2012年的水泥生产成本，并根据各地不同的生产成本以及超出需要额外投资的成本，规划求解得出在资源限制范围内最优的生产运输方案以及所需要的最低费用。
关键词：回归方程；目标函数；数学模型；线性规划求解。
一、问题重述
某水泥有限公司现有4个水泥厂，这4个厂生产的水泥都销往附近的ABCDE这5个城市，而这5个城市今年的需求量分别为110万吨，160万吨，80万吨，200万吨和100万吨。已知资源消耗系数为2.5，每吨产品的运输费用见表一，表二提供了一些其他供参考的数据，表三提供了最近十年这4家水泥厂生产每吨水泥的生产成本(万元)。
问题：请你根据给定的数据设计出最优的生产及运输方案，并给该水泥公司管理层写一个报告。
表一：每吨水泥的运输费用(单位：元)
表二：一些其他供参考的数据
表三：4家水泥厂的生产成本(万元/吨)
注：资源限制是指产地资源的拥有量；资源消耗系数是指生产单位产品所需消耗的资源数。
二、问题分析
问题中给出最近几年各个水泥厂生产成本，由回归方程可得到每个水泥厂2012年的生产成本。设2012年每个水泥厂生产成本分别为W1,W2,W3,W4。
四个水泥厂运往五个城市，需要的运费各不相同。并且各个水泥厂的生产成本各不相同。超出年生产能力之后生产每吨水泥需要的额外成本也不一样，所以本题需要设两个主要的函数，分别为年生产能力之内每个水泥厂运往每个地方的水泥数量，以及年生产能力之外每个水泥厂运往每个地方的水泥数量。
设四个水泥厂的代号为A1，A2，A3，A4，五个城市的代号为B1，B2，B3，B4，B5，设产能之内各个水泥厂运往每个城市的水泥吨位为Xij，产能之外各个水泥厂运往每个城市的水泥为Yij。则总费用即为运输量乘以运费与生产成本的和。
由资源消耗系数以及资源限制量可求的四个水泥厂可生产的水泥最多分别为200万吨,320万吨,240万吨,280万吨.各自减去产能可得到超出生产能力后每个水泥厂分别最多可以再生产100万吨,170万吨,120万吨,150万吨水泥。
再根据每个水泥厂的产能限制以及运费和各地的需求量列出等式和不等式组，利用线性规划求出总费用的最小值。
三、模型假设及符号说明
3.1模型假设
由每个水泥厂运往每个城市的水泥量，以及使得其满足费用最小化的约束条件，建立成一个模型。
3.2符号说明
A1，A2，A3，A4代表四个水泥厂，B1，B2，B3，B4，B5代表五个城市。Xij为产能之内每个工厂向各地运输的水泥量。Yij为产能之外每个水泥厂往各地运输的水泥量。W1,W2,W3,W4 表示2012年各个水泥厂的生产成本（万元/吨）。设所需要的总费用为M，四个水泥厂按照题干要求的生产总成本为Z，四个水泥厂的运输总费用为Y。则M=Z+Y.目的是求使得M为最小值的生产运输方案。
四、模型的建立与求解
4.1模型的建立
这里统一单位为万元/吨
每个水泥厂运往每个城市的水泥成本为运费加上生产成本。根据计算出的2012年生产成本以及运费可以列出一下表格
每吨水泥的运输费用(单位：万元)
Z=（0.008 0.013 0.012 0.003 0.014）03fc91f98f693542a32f3544dd77eea9.png
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Y=(W1 W2 W3 W4) 5751e2b1f6b417bacc9e5ec42f8deedd.png
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M=Y+Z
限制条件1：58a0831f1acbfde22f23a18f1d2a5874.png
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限制条件2: 0≤4391805fe2e983c6d40a088f9109eceb.png
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限制条件3：0≤62229019e55133edbc383c8d81e07497.png
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4.2模型的求解
接下来利用Microsoft Excel2003列出表格数据以及规划求解，为方便求解，这里的水泥量单位统一为吨，费用单位统一为万元。
图（1）
如图1，阴影部分为这次建模主要求解的部分，即各个水泥厂的生产运输方案.
图（2）
此表格中的数据为各个水泥厂运往各地的运费，以及产能之内和产能之外的生产成本。为了方便使用SUMPRODUCT函数，我们将生产成本同样设计成4×5的表格（图2）
图（3）
图3利用SUMPRODUCT函数求出上述模型中的Z、Y、M的值。分别对应图3表格中的B100、C100、B101单元格。其中SUMPRODUCT函数的功能是是具有相同维数的表格数据对应相乘，返回值为这些乘积的和。
图（4）
接下来就是规划求解了，利用先从Excel2003工具中加载规划求解宏，然后打开规划求解工具，就能看到图（4）的界面。我们先来设置规划求解参数。目标单元格为总费用的B101单元格，目的是使其值最小，我们点选最小值选项。可变单元格为图（1）中的阴影部分，即为各个工厂的生产运输方案。添加的约束即为上述模型中的三组限制条件中的右边部分。
图（5）
如图5，在选项中，我们勾选假定非负，这样上述三组限制条件中的右边部分也已将添加了约束。然后勾选采用线性模型。
图（6）
点击确定后，规划求得结果，找到一解，可满足所有的约束及最优状况。
图（7）
图（8）
表格7为这次所求的运费以及生产费用的最小值。表格8即为满足使得总费用最小的生产运输方案。由表格可以看出，四个水泥厂要生产的水泥分别为100万吨，300万吨，120万吨，130万吨。
水泥厂1运往D城市100万吨水泥。
水泥厂2运往B城市120万吨，C城市80万吨，运往D城市100万吨。
水泥厂3运往A城市20万吨，运往E城市100万吨。
水泥厂4运往A城市90万吨，运往B城40万吨，运往C城市40万吨。表格为：
只有水泥厂2的生产超过其产能150万吨。需要的最小总费用为8697680万元。
五、模型的评价与推广
此模型充分发挥了Excel软件在解析线性规划问题中的应用，将复杂的问题建立模型后，使得其简单化，并且求出了合理的规划方案。此模型可以灵活套用在各个生产运输最优化方案中，是一个非常值得推广的方案。
附录：由Microsoft Excel 2003求出的2012年各水泥厂的生产成本以及其原函数。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a8df4857f5ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8d66.html
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