2020-2021学年山西临汾一中高一下学期期末数学试卷 答案和解析

【最新】山西临汾一中高一下学期期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为等比数列，且，，那么（ ）

A．3 B．9 C．12 D．18

2．已知向量满足，，，则（ ）

A．0 B． C． D．9

3．已知是任意实数，且，则（ ）

A． B．

C． D．

4．下列函数的最小值是2的为（ ）

A． B．

C． D．

5．若满足条件，则的最大值为（ ）

A．5 B．1 C． D．-1

6．已知等比数列的前项和为，，则（ ）

A．2 B．2 C． D．

7．已知不等式的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式的解集是（ ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，的部分图象如图，则（ ）

A． B． C． D．1

9．如果函数对任意满足，且，则（ ）

A．4032 B．2016 C．1008 D．504

10．已知，，若与夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

11．等差数列中，，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）

A．2015 B．2016 C．4030 D．4031

12．已知，，则的范围为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．在中，，，，则的值为_________．

14．已知，则_________．

15．若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．

16．若三点共线，则的取值范围为_________．

三、解答题

17．（1）化简求值：；

（2）设，，，，求的值．

18．已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）函数的图象向右移动个单位长度后得到以的图象，求在上的最大值和最小值.

19．在中，角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状．

20．已知数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和为．

21．已知不等式．

（1）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．

22．已知数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：恒成立．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：因为，所以，又，所以，故选A．

考点：等比数列的性质．

2．B

【解析】

试题分析：因为，所以，故选B．

考点：平面向量的模．

3．D

【解析】

试题分析：A中，当时，不成立；B中，当时，不成立；C中，当时，，故C不正确；D中，因为函数为减函数，所以当时，，故D正确，故选D．

考点：1、不等式的性质；2、对数函数与指数函数的性质．

4．C

【解析】

试题分析：A中，只有当时，，故A不符合题意；B中，因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，故不能取等号，故B不符合题意；C中，，当且仅当，即时等号成立，故C符合题意；D中，，当且仅当，即时等号成立，故D不符合题意，故选C．

考点：基本不等式．

5．A

【解析】

试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，故选A．

考点：简单的线性规划问题．

【方法点睛】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．

6．C

【解析】

试题分析：由题意，得，，．因为，所以，解得，故选C．

考点：1、数列的通项公式与前项和间的关系；2、等比数列的性质．

7．C

【解析】

试题分析：因为不等式的解集是，所以2和3是方程的两个根，所以，，解得，代入，得，即，解得，故选C．

考点：不等式的解法．

【方法点睛】解一元二次不等式首先应将所给不等式化为标准式(即二次项系数为正的不等式)，然后看能否求出相应方程的根，能求出两根的，根据不等式右边“大于零的解两边分，小于零的解夹中间”写出解集，其它情形宜结合相应二次函数的图象写出对应的解集.

8．D

【解析】

试题分析：由图知，函数的最小正周期，所以，所以，把点代入，得，所以，即，又，所以，所以．又图象经过点，所以，所以，所以，故选D．

考点：正切函数的图象与性质．

9．B

【解析】

试题分析：在中令，则有，所以，所以＝ ，故选B．

考点：1、函数解析式；2、新定义．

10．D

【解析】

试题分析：因为，与夹角为锐角，所以，所以，即，解得．若向量与共线，则，解得，所以实数的取值范围是，故选D．

考点：向量数量积的运算．

11．C

【解析】

试题分析：由题意知，所以，而，则有，而，所以使前项和成立的最大自然数是4030，故选C．

考点：等差数列的性质及前项和公式．

12．B

【分析】

试题分析：由，得．又由 ，得．设，则有 ，解得，所以 ，即，故选B．

考点：1、对数的运算；2、不等式的性质．

【一题多解】由，得．又由 ，得．因为，设 ，，则．作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 经过点时取得最大值，即 ＝；经过点时取得最小值，即，所以 的范围为，故选B．

【详解】

13．

【解析】

试题分析：由余弦定理，得，所以，所以＝＝．

考点：1、余弦定理；2、向量数量积．

14．

【解析】

试题分析：．

考点：同角三角函数间的基本关系．

15．.

【解析】

试题分析：不等式对一切成立，等价于对于一切成立．设，则．因为函数在区间上是增函数，所以，所以，所以的最小值为．

考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性．

【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：(1)分离参数，得到(或)；(2)求函数的最值，得到＝)；(3)极端原理，即()，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题．

16．

【解析】

试题分析：由题意，得，即．因为，所以＝＝，当且令当，即，时等号成立，所以的取值范围为．

考点：1、向量共线；2、基本不等式．

【方法点睛】对于基本不等式，重点明确基本不等式成立的条件，注意按照基本不等式成立的条件进行变化和拼凑，在利用基本不等式求最值时，要牢记三个条件：一正，二定，三相等，当等号不成立时，及时调整解法，运用函数的单调性求最值．

17．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）直接利用诱导公式化简即可；（2）首先根据角的范围求得的值，从而求得的值，然后利用两角和的正切公式求得的值，进而求得的值．

试题解析：（1）原式＝＝．

（2），

，

．

，

考点：1、诱导公式；2、同角三角形函数间的基本关系；3、两角和的正切公式．

18．（1），单调递减区间为；（2），．

【解析】

试题分析：（1）首先利用倍角公式与两角差的正弦公式化简已知条件等式，从而求得最小正周期，然后利用正弦函数的图象与性质求出单调递减区间；（2）首先根据三角形函数图象的平移变换法则求出函数的解析式，然后根据三角形函数的图象与性质求解即可．

试题解析：(1），

．

，

，

(2)

考点：1、倍角公式；2、两角差的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质；4、三角形函数图象的平移变换．

19．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理化和三角形内角和定理简，得，故；（2）由余弦定理和基本不等式，有，，，当且仅当时等号成立，故为等边三角形．

试题解析：

（1）∵，∴由正弦定理可知，，

，．

∵，∴．

∵，∴．∵，∴．

（2）由题知，

，，∴．∵由余弦定理可知：，

，∴．当且仅当“”时等号成立，

∴最大值是，此时三角形为等边三角形．

考点：解三角形．

20．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先根据与间的关系证得数列为等比数列，从而求得数列的通项公式；（2）首先根据（1）结合对数的运算法则求得，从而求得的表达式，然后利用裂项法求和即可．

试题解析：(1)当时，．

当时， ，即，

∴数列是以1为首项，2为公式的等比数列，

∴．

（2）

考点：1、等比数列的定义；2、与间的关系；3、裂项法求数列的和；4、对数的运算．

【技巧点睛】（1）给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用 ()转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求；（2）裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消达到求和的目的．

21．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先将不等式转化为，然后分与两种情况讨论，对于后种情况利用一元二次不等式的性质建立不等式组求解即可；（2）首先利用分离参数法将问题转化为恒成立，然后设，从而根据的范围求得实数的取值范围．

试题解析：，

，即．

当，即时，恒成立，∴成立；

当，即时，，解得．

综上所述： ．

（2）由（1）可知由

则要证明不等式对于任意恒成立，即证明恒成立．

设，则，

．

考点：1、不等式的解法；2、不等式恒成立问题．

【技巧点睛】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了．如本题中的第（2）就是利用分离变量法求解．

22．（1）；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据已知条件关系式，证得数列为等差数列，然后根据数列的通项公式，求得数列的通项公式；（2）首先利用错位相减法求出，由此判断出数列的单调性，从而使问题得证．

试题解析：(1),

则数列是以2为首项1为公差的等差数列，

所以，即．

（2）①

②

①-②得

由知数列为递增数列，．

综上所述原命题成立。

考点：1、等差数列的定义；2、错位相减法求数列的和；3、数列的单调性．

【易错点睛】用错位相减法求和注意：(1)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

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