2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理科）
（2012年4月12日）
填空
1．函数word/media/image1.gif的定义域为 ．
2．若双曲线word/media/image2.gif的一个焦点为
word/media/image3.gif
word/media/image4.gif，则实数
word/media/image5.gif ．
3．若word/media/image6.gif，则方程
word/media/image7.gif的解
word/media/image8.gif ．
4．已知幂函数word/media/image9.gif存在反函数，若其反函数的图像经过点
word/media/image10.gif，则该幂函数的解析式
word/media/image11.gif ．
5．一盒中有word/media/image12.gif件正品，
word/media/image13.gif件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数
word/media/image14.gif的概率分布律如下表：
那么抽取次数word/media/image14.gif的数学期望
word/media/image24.gif ．
6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为
word/media/image25.gif、
word/media/image26.gif，则两台机床都不需要维护的概率为 ．
7．已知word/media/image27.gif，
word/media/image28.gif为
word/media/image29.gif的共轭复数，若
word/media/image30.gif（
word/media/image31.gif是虚数单位），则
word/media/image32.gif ．
8．已知word/media/image34.gif、
word/media/image35.gif，若
word/media/image36.gif，
word/media/image37.gif，则
word/media/image38.gif ．
word/media/image33.gif
9．如图，已知圆柱的轴截面word/media/image39.gif是正方形，
word/media/image40.gif是圆柱下底
面弧word/media/image41.gif的中点，
word/media/image42.gif是圆柱上底面弧
word/media/image43.gif的中点，那么异面
直线word/media/image44.gif与
word/media/image45.gif所成角的正切值为 ．
10．若过圆word/media/image40.gif：
word/media/image46.gif（
word/media/image47.gif）上一点
word/media/image48.gif作
该圆的切线word/media/image49.gif，则切线
word/media/image49.gif的方程为 ．
11．若word/media/image50.gif（
word/media/image51.gif）二项展开式中的各项系数和为
word/media/image52.gif，其二项式系数和为
word/media/image53.gif，则
word/media/image54.gif ．
12．设集合word/media/image55.gif，
word/media/image56.gif，其中
word/media/image57.gif，且
word/media/image58.gif．若将满足上述条件的每一个有序整数对
word/media/image59.gif看作一个点，则这样的点的个数为 ．
13．已知函数word/media/image60.gif（
word/media/image61.gif），给出下列四个命题：
① 当且仅当word/media/image62.gif时，
word/media/image63.gif是偶函数；
② 函数word/media/image63.gif一定存在零点；
word/media/image64.gif
③ 函数在区间word/media/image65.gif上单调递减；
④ 当word/media/image66.gif时，函数
word/media/image63.gif的最小值为
word/media/image67.gif．
那么所有真命题的序号是 ．
14．已知△word/media/image68.gif，点
word/media/image3.gif的坐标为
word/media/image69.gif，点
word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif分别在图中抛物线
word/media/image72.gif及圆
word/media/image73.gif的实线部分上运动，且
word/media/image41.gif总是平行于
word/media/image15.gif轴，那么△
word/media/image68.gif的周长的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知空间三条直线word/media/image74.gif、
word/media/image75.gif、
word/media/image76.gif及平面
word/media/image34.gif，且
word/media/image77.gif、
word/media/image78.gif
word/media/image79.gif
word/media/image80.gif．条件甲：
word/media/image81.gif，
word/media/image82.gif；条件乙：
word/media/image83.gif，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
16．已知word/media/image74.gif、
word/media/image84.gif，则下列不等式中不一定成立的是……………………………………（ ）
A．word/media/image85.gif B．
word/media/image86.gif
C．word/media/image87.gif D．
word/media/image88.gif
17．已知△word/media/image89.gif的三边分别是
word/media/image90.gif，且
word/media/image91.gif（
word/media/image92.gif），若当
word/media/image93.gif（
word/media/image51.gif）时，记满足条件的所有三角形的个数为
word/media/image52.gif，则数列
word/media/image94.gif的通项公式…………………（ ）
A．word/media/image95.gif B．
word/media/image96.gif
C．word/media/image97.gif D．
word/media/image98.gif
18．已知word/media/image99.gif、
word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif、
word/media/image40.gif是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数
word/media/image100.gif、
word/media/image101.gif、
word/media/image102.gif，使得
word/media/image103.gif，则三个角
word/media/image104.gif、
word/media/image105.gif、
word/media/image106.gif………………………（ ）
A．都是钝角 B．至少有两个钝角
C．恰有两个钝角 D．至多有两个钝角
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．word/media/image107.gif
已知三棱锥word/media/image108.gif，
word/media/image109.gif平面
word/media/image89.gif，
word/media/image110.gif，
word/media/image111.gif，
word/media/image112.gif．
（1）求二面角word/media/image113.gif的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）把△word/media/image114.gif（及其内部）绕
word/media/image115.gif所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积
word/media/image116.gif．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数word/media/image117.gif（
word/media/image61.gif）
（1）求函数word/media/image9.gif的单调递增区间；
（2）若word/media/image118.gif，求
word/media/image63.gif的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
某高科技企业研制出一种型号为word/media/image70.gif的精密数控车床，
word/media/image70.gif型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为
word/media/image70.gif型车床所创造价值的第一年）．若第1年
word/media/image70.gif型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年
word/media/image70.gif型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年
word/media/image70.gif型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用
word/media/image52.gif（
word/media/image51.gif）表示
word/media/image70.gif型车床在第
word/media/image119.gif年创造的价值．
（1）求数列word/media/image94.gif（
word/media/image51.gif）的通项公式
word/media/image52.gif；
（2）记word/media/image120.gif为数列
word/media/image94.gif的前
word/media/image121.gif项和，
word/media/image122.gif．企业经过成本核算，若
word/media/image123.gif万元，则继续使用
word/media/image70.gif型车床，否则更换
word/media/image70.gif型车床．试问该企业须在第几年年初更换
word/media/image70.gif型车床？ （已知：若正数数列
word/media/image124.gif是单调递减数列，则数列
word/media/image125.gif也是单调递减数列）．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知定点word/media/image126.gif，直线
word/media/image127.gif，点
word/media/image128.gif为坐标平面上的动点，过点
word/media/image128.gif作直线
word/media/image49.gif的垂线，垂足为点
word/media/image129.gif，且
word/media/image130.gif
word/media/image131.gif．设动点
word/media/image128.gif的轨迹为曲线
word/media/image40.gif．
（1）求曲线word/media/image40.gif的方程；
（2）过点word/media/image3.gif的直线
word/media/image132.gif与曲线
word/media/image40.gif有两个不同的交点
word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif，求证：
word/media/image133.gif；
（3）记word/media/image134.gif与
word/media/image135.gif的夹角为
word/media/image136.gif（
word/media/image99.gif为坐标原点，
word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif为（2）中的两点），求
word/media/image137.gif的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
对word/media/image51.gif，定义函数
word/media/image138.gif，
word/media/image139.gif．
（1）求证：word/media/image140.gif图像的右端点与
word/media/image141.gif图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．
（2）若直线word/media/image142.gif与函数
word/media/image138.gif，
word/media/image139.gif（
word/media/image143.gif，
word/media/image51.gif）的图像有且仅有一个公共点，试将
word/media/image144.gif表示成
word/media/image119.gif的函数．
（3）对word/media/image51.gif，
word/media/image143.gif，在区间
word/media/image145.gif上定义函数
word/media/image9.gif，使得当
word/media/image146.gif（
word/media/image147.gif，且
word/media/image148.gif，
word/media/image17.gif，…，
word/media/image119.gif）时，
word/media/image149.gif．试研究关于
word/media/image15.gif的方程
word/media/image150.gif（
word/media/image151.gif，
word/media/image51.gif）的实数解的个数（这里的
word/media/image144.gif是（2）中的
word/media/image144.gif），并证明你的结论．
2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）
参考答案和评分标准（2012年4月12日）
说明：
1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．word/media/image152.gif 2．
word/media/image13.gif 3．
word/media/image153.gif
4．word/media/image154.gif 5．
word/media/image155.gif 6．
word/media/image156.gif
7．word/media/image157.gif或
word/media/image158.gif 8．
word/media/image159.gif 9．
word/media/image160.gif
10．word/media/image161.gif 11．
word/media/image162.gif 12．
word/media/image163.gif
13．①④ 14．word/media/image164.gif
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．A 16．C 17．B 18．B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．
[解]（1）解法一：设word/media/image45.gif的中点
word/media/image165.gif，联结
word/media/image166.gif，
word/media/image167.gif，易知在等腰三角形
word/media/image168.gif、
word/media/image89.gif中，
word/media/image169.gif，
word/media/image170.gif，故
word/media/image171.gif为二面角
word/media/image113.gif的平面角． （2分）
在等腰word/media/image172.gif△
word/media/image89.gif中，由
word/media/image111.gif及
word/media/image110.gif，得
word/media/image173.gif．
由word/media/image109.gif平面
word/media/image89.gif，得
word/media/image174.gif．
在word/media/image172.gif△
word/media/image175.gif中，
word/media/image176.gif． （6分）
故二面角word/media/image113.gif的大小为
word/media/image177.gif． （8分）
解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标word/media/image179.gif，
word/media/image180.gif，
word/media/image181.gif，
word/media/image182.gif．
word/media/image178.gif
于是word/media/image183.gif，
word/media/image184.gif． （2分）
由word/media/image109.gif平面
word/media/image89.gif，得平面
word/media/image89.gif的一个法向量
word/media/image185.gif．
设word/media/image186.gif是平面
word/media/image168.gif的一个法向量．
因为word/media/image187.gif，
word/media/image188.gif，所以
word/media/image189.gif，
word/media/image190.gif，
即word/media/image191.gif，
word/media/image192.gif，解得
word/media/image193.gif，
word/media/image194.gif，
取word/media/image195.gif，得
word/media/image196.gif． （4分）
设word/media/image197.gif与
word/media/image198.gif的夹角为
word/media/image199.gif，则
word/media/image200.gif． （6分）
结合图可判别二面角word/media/image113.gif是个锐角，它的大小为
word/media/image201.gif． （8分）
（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为word/media/image18.gif，高为
word/media/image202.gif．
该圆锥的体积word/media/image203.gif． （12分）
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
[解]（1）由题设word/media/image204.gif， （2分）
由word/media/image205.gif，解得
word/media/image206.gif，
故函数word/media/image9.gif的单调递增区间为
word/media/image207.gif（
word/media/image208.gif）． （6分）
（2）由word/media/image209.gif，可得
word/media/image210.gif． （7分）
考察函数word/media/image211.gif，易知
word/media/image212.gif， （10分）
于是word/media/image213.gif．
故word/media/image9.gif的取值范围为
word/media/image214.gif． （12分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
[解]（1）由题设，知word/media/image215.gif，
word/media/image216.gif，…，
word/media/image217.gif构成首项
word/media/image218.gif，公差
word/media/image219.gif的等差数列．
故word/media/image220.gif（
word/media/image221.gif，
word/media/image51.gif）（万元）． （3分）
word/media/image222.gif，
word/media/image223.gif，…，
word/media/image52.gif（
word/media/image224.gif，
word/media/image51.gif）构成首项
word/media/image225.gif，公比
word/media/image226.gif的等比数列．
故word/media/image227.gif（
word/media/image224.gif，
word/media/image51.gif）（万元）． （6分）
于是，word/media/image228.gif（
word/media/image51.gif）（万元）． （7分）
（2）由（1）知，word/media/image94.gif是单调递减数列，于是，数列
word/media/image229.gif也是单调递减数列．
当word/media/image230.gif时，
word/media/image231.gif，
word/media/image229.gif单调递减，
word/media/image232.gif（万元）．
所以word/media/image123.gif（万元）．
当word/media/image224.gif时，
word/media/image233.gif， （9分）
当word/media/image234.gif时，
word/media/image235.gif（万元）；当
word/media/image236.gif时，
word/media/image237.gif（万元）． （13分）
所以，当word/media/image238.gif，
word/media/image51.gif时，恒有
word/media/image239.gif．
故该企业需要在第11年年初更换word/media/image70.gif型车床． （14分）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
[解]（1）设点word/media/image128.gif的坐标为
word/media/image59.gif． （1分）
由题意，可得word/media/image240.gif，
word/media/image241.gif，
word/media/image242.gif，
word/media/image243.gif．（3分）
由word/media/image130.gif与
word/media/image244.gif垂直，得
word/media/image245.gif，即
word/media/image246.gif（
word/media/image247.gif）． （6分）
因此，所求曲线word/media/image40.gif的方程为
word/media/image246.gif（
word/media/image247.gif）．
[证明]（2）因为过点word/media/image3.gif的直线
word/media/image132.gif与曲线
word/media/image40.gif有两个不同的交点
word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif，所以
word/media/image132.gif的斜率不为零，故设直线
word/media/image132.gif的方程为
word/media/image248.gif． （7分）
于是word/media/image70.gif、
word/media/image71.gif的坐标
word/media/image249.gif、
word/media/image250.gif为方程组
word/media/image251.gif的实数解．
消word/media/image15.gif并整理得
word/media/image252.gif． （8分）
于是word/media/image253.gif进一步得
word/media/image254.gif （10分）
又因为曲线word/media/image246.gif（
word/media/image247.gif）的准线为
word/media/image255.gif，
所以word/media/image256.gif，得证． （12分）
（3）由（2）可知，word/media/image257.gif，
word/media/image258.gif．
于是word/media/image259.gif，
（16分）可求得word/media/image260.gif的取值范围为
word/media/image261.gif． （18分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
[证明]（1）由word/media/image262.gif得
word/media/image140.gif图像右端点的坐标为
word/media/image263.gif，由
word/media/image264.gif得
word/media/image141.gif图像左端点的坐标为
word/media/image263.gif，故两端点重合． （2分）
并且对word/media/image51.gif，这些点在直线
word/media/image265.gif上． （4分）
[解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程word/media/image266.gif在
word/media/image139.gif上有两个相等的实数根．
整理方程得word/media/image267.gif，
由word/media/image268.gif，解得
word/media/image269.gif， （8分）
此时方程的两个实数根word/media/image270.gif，
word/media/image271.gif相等，由
word/media/image272.gif，
得word/media/image273.gif，
因为word/media/image274.gif，所以只能
word/media/image275.gif（
word/media/image143.gif，
word/media/image51.gif）．（10分）
（3）当word/media/image143.gif时，
word/media/image276.gif，可得
word/media/image277.gif，
且word/media/image144.gif单调递减． （14分）
① 当word/media/image278.gif时，对于
word/media/image279.gif，总有
word/media/image280.gif，亦即直线
word/media/image142.gif与函数
word/media/image281.gif的图像总有两个不同的公共点（直线
word/media/image142.gif在直线
word/media/image265.gif与直线
word/media/image282.gif之间）．
对于函数word/media/image283.gif来说，因为
word/media/image277.gif，所以方程
word/media/image284.gif有两个解：
word/media/image285.gif，
word/media/image286.gif
word/media/image287.gif．
此时方程word/media/image150.gif（
word/media/image151.gif，
word/media/image51.gif）的实数解的个数为
word/media/image288.gif．
（16分）
② 当word/media/image289.gif时，因为
word/media/image290.gif，所以方程
word/media/image291.gif有两个解．此时方程
word/media/image292.gif（
word/media/image293.gif）的实数解的个数为
word/media/image13.gif． （17分）
综上，当word/media/image143.gif，
word/media/image51.gif时，方程
word/media/image150.gif（
word/media/image151.gif，
word/media/image51.gif）的实数解的个数为
word/media/image294.gif． （18分）
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