湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级4月联合考试数学试题 Word版含答案

恩施高中、龙泉中学、宜昌一中

2021届高三年级4月联合考试

数学试题

本试卷共2页，共22题．满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效．

3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．命题“”的否定是（ ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合，设集合，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．

3．数列是各项均为正数的等比数列，是与的等差中项，则的公比等于（ ）

A．2 B． C．3 D．

4．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）

A．若，则直线m与n一定平行

B．若，则直线m与n可能相交、平行或异面

C．若，则直线m与n一定垂直

D．若，则直线m与n一定平行

5．已知向量满足，且，则（ ）

A． B． C． D．

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式．用该术可求得圆率的近似值．现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ）

A． B．3 C． D．9

8．已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（ ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知是复数，下列结论正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．的对称中心的坐标是

B．的图象是由的图象向右移个单位得到的

C．在上单调递减

D．函数在内共有7个零点

11．如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）

A．存在无数个点M满足

B．当点M在棱上运动时，的最小值为

C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是

D．满足的点M的轨迹是一段圆弧

12．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）

A．点P的坐标为 B．

C．的面积的最大值为 D．的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．写出一个存在极值的奇函数___________．

14．二项式的展开式中，常数项为___________．

15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________．

16．已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第n次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为___________．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．

（1）求B的值；

（Ⅱ）若，求的面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，，．

（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面是菱形，，M是棱上的点，O是中点，且底面，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．

（Ⅰ）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（Ⅱ）若现在是小明以6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆C交于A，B两点，连接并延长交椭圆C于D、E两点，连接，求的值．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数在的最大值；

（Ⅱ）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．

恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级4月联合考试

数学参考答案

一、单项选择题：1-4 DCAC 5-8 BBDA

二、多项选择题：9．ABC 10．ABD 11．AD 12．ACD

三、填空题 13．，答案不唯一． 14．60 15． 16．

四、解答题

17．解：（Ⅰ）由得，， 2分

所以，又，则． 5分

（Ⅱ）因为，所以，

即，当且仅当时等号成立； 8分

所以的面积． 10分

18．解：（Ⅰ）由已知，整理得，， 2分

所以，当时，，

所以是以为首项，3为公比的等比数列， 5分

所以，所以； 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

当时，，当时，， 8分

所以，故 9分

当时，

当时，，对也满足．

故． 12分

19．解：（Ⅰ）证明：在菱形中，，∴为等边三角形．

又∵O为的中点，∴，又∵，∴ 2分

∵底面，平面，∴ 3分

∵平面，∴平面 4分

∵M是棱上的点，∴平面．∴ 5分

（Ⅱ）∵底面，，∴建立如图所示空间直角坐标系，

设，则．

∵，

∴．由，

得． 7分

设是平面的法向量，

由，得令，

则，则． 9分

又∵平面的法向量为，

∴． 11分

由题知，二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为． 12分

20．解：（Ⅰ）恰好打了7局小明获胜的概率是， 2分

恰好打了7局小亮获胜的概率为， 4分

∴比赛结束时恰好打了7局的概率为． 5分

（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5，

，，

，，

∴X的分布列如下：

12分

21．解：（Ⅰ）由在椭圆上，可得，， 2分

又，可得，所以椭圆C的方程为． 4分

（Ⅱ）设，则，直线，

代入，得，

因为，代入化简得，

设，，则，所以，， 7分

直线：，同理可得，

化简得，

故，即，， 9分

所以 10分

又， 11分

故． 12分

法二：设，令，，

即，又，则得，

即，解得，同理可得，故，

则，即

22．解：（Ⅰ）

当时，，则0' altImg='9adf663942a9f4ddf4a93f359d81b127.png' w='90' h='21' class='_4'>，故在上单调递增， 2分

又0' altImg='5d761b009e42a53bb5e73c41501dc192.png' w='290' h='43' class='_5'>，所以在有唯一的零点t． 3分

当时，；时，0' altImg='799af97e2a6c8cb6a63e6b4d69a82588.png' w='84' h='21' class='_5'>．

故在上单调递减，在上单调递增， 4分

，，所以在的最大值为． 5分

（Ⅱ），

则①当时，单调递增，又0' altImg='141725935d99ade6eb1b97ccf4d19ca5.png' w='412' h='52' class='_5'>，

所以在有唯一的零点，

此时当时，；时，0' altImg='3a0439be03ddb67e9c067f711444ef7b.png' w='90' h='21' class='_5'>，

所以是极小值点，不妨让． 7分

②当时，，所以\frac{1}{2}−e^{−x}>\frac{1}{2}−e^{−\frac{π}{2}}>0' altImg='c1f3e725c2c61dd08f9e9a2772cb7cc0.png' w='383' h='43' class='_5'>；

故在上单调递增，没有极值点； 8分

③当，．由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，且，故有唯一的零点，

则时，，即单调递减；时，0' altImg='64396d223e82168ae1254277c0697633.png' w='96' h='21' class='_5'>，即单调递增，

又0,g{g}'\begin{pmatrix}\frac{7π}{4}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}−e^{−\frac{7π}{4}}<0,g{g}'(2π)=−\frac{1}{2}−e^{−2π}<0' altImg='3e304a4edb6cecea573874bbe40de0a2.png' w='571' h='52' class='_5'>，

所以在有唯一的零点，

此时时，0' altImg='3a0439be03ddb67e9c067f711444ef7b.png' w='90' h='21' class='_5'>；时，，

所以是极大值点，即， 10分

所以在有两个极值点，其中，，

且，由于，所以．

因为，，

所以，即． 12分

过程中判断极值点的时候，也对．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a70509b81cd9ad51f01dc281e53a580217fc5040.html