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乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测
数学(文科)试卷
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共60分)
注意事项:
1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.
2.第一部分共12小题,每小题5分,共60分.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A. 100 B. 150
C. 200 D. 250
【答案】A
【解析】
试题分析:根据已知可得:
考点:分层抽样
2.若复数
A.
【答案】C
【解析】
试题分析:若复数
考点:1.纯虚数的定义;2.解方程.
3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,其中,中位数为22,则x等于()
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
这组数据共有8个,得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数,列出中位数的表示式,得到关于x的方程,解方程即可.
【详解】由条件可知数字的个数为偶数,
∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数,
∴中位数22
∴x=21
故选:A.
【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法,属于基础题.
4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的概率为( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【答案】B
【解析】
区间[22,30)内的数据共有4个,总的数据共有10个,所以频率为0.4,故选B.
5.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()
A.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出所有的基本事件数N与所求事件包含的基本事件数n,再由公式
【详解】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种,
故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是
故选:D.
【点睛】本题考查了古典概率模型问题,考查了列举法计算基本事件的个数,属于基础题.
6.曲线
A.
【答案】C
【解析】
【分析】
求导,令
【详解】因
【点睛】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查两直线平行的条件:斜率相等,属于基础题.
7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的
A.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图,当输入的数为
【详解】
当
【点睛】本题考查直到型循环,要注意程序框图中循环体执行的次数,否则易选成错误答案.
8.设集合
A.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出从集合A和B中随机各取一个数x,y的基本事件总数,和满足点P(x,y)满足条件x2+y2≤16的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.
【详解】∵集合A=B={1,2,3,4,5,6},
分别从集合A和B中随机各取一个数x,y,确定平面上的一个点P(x,y),
共有6×6=36种不同情况,
其中P(x,y)满足条件x2+y2≤16的有:
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,
∴C的概率P(C)
故选:A.
【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,考查了列举法计算基本事件的个数,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解答的关键.
9.在区间
A.
【答案】D
【解析】
【分析】
在区间
【详解】因为函数
因为
则事件函数
在区间
所以函数
【点睛】本题考查几何概型计算概率,考查利用面积比求概率,注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.
10.根据如下样本数据得到的回归方程为
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
A.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:由表格数据
考点:回归方程
11.若函数
A.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数
【详解】因为函数
所以
所以
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围,考查逻辑思维能力和运算求解能力,求解时要充分利用二次函数的图象特征,把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.
12.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,0) B. C. (0,1) D. (0,+∞)
【答案】B
【解析】
函数f(x)=x(lnx﹣ax),则f′(x)=lnx﹣ax+x(﹣a)=lnx﹣2ax+1,
令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,
函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=时,直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切,
由图可知,当0<a<时,y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点.
则实数a的取值范围是(0,).
故选B.
第二部分(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题;毎小题5分,共20分
13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
总体含100个个体,从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为
【详解】因总体含100个个体,
所以从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为
【点睛】本题考查简单随机抽样的概念,即若总体有
14.已知复数z满足
【答案】
【解析】
【分析】
求出复数
详解】由
所以
【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算,属于基础题.
15.如图,正方体
【答案】
【解析】
【分析】
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值.
【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),
设AE与CD1所成角为θ,
则cosθ
∴AE与CD1所成角的余弦值为
故答案为:
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
16.若曲线
【答案】
【解析】
试题分析:根据题意,函数与函数在
设
由
当
当
所以当
所以
考点:求参数的取值范围.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17.已知函数
(1)若函数
(2)若曲线
【答案】(1)
【解析】
【分析】
(1)求出函数
(2)由题意得
【详解】(1)∵
由题因为
(2)∵曲线
∴关于
∴
∴a的取值范围为
【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题,考查逻辑推理和运算求解能力,求解时要懂得把曲线
18.某中学调查了某班全部
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | ||
未参加演讲社团 | ||
(1)从该班随机选
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的
【答案】(1)
【解析】
(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有
(2)从这
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“
因此
考点:1.古典概型;2.随机事件的概率.
19.如图,四棱锥
(1)证明:
(2)设
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
试题分析:(1)连结BD、AC相交于O,连结OE,则PB∥OE,由此能证明PB∥平面ACE.(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析:(I)设BD交AC于点O,连结EO。
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点。
又E为PD的中点,所以EO∥PB
又EO平面AEC,PB平面AEC
所以PB∥平面AEC。
(II)
由,可得.
作交于。
由题设易知,所以
故,
又
法2:等体积法
由,可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d,
又因为PB=
所以
又因为(或),
,
所以
考点:线面平行的判定及点到面的距离
20.已知函数,
(1)求
(2)求
【答案】(1)极小值为
【解析】
【分析】
(1)对三次函数
(2)由(1)知函数
【详解】(1)当
x | 0 | ||||
- | 0 | + | 0 | - | |
递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 | |
故当
当
(2)①当
函数
因为
所以
②当
当
当
故当
当
【点睛】本题三次函数、对数函数为背景,考查利用导数求三次函数的极值,考查分类讨论思想的应用.
21.为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表:
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(1)求m,n;
(2)能否有95多的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,现从该校学生中随机调查6名学生,试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6635 | 10.828 |
【答案】(1)
【解析】
【分析】
(1)根据分层抽样比例列方程求出n的值,再计算m的值;
(2)根据题意完善2×2列联表,计算K2,对照临界值表得出结论;
(3)计算参加社区服务时间超过1小时的频率,用频率估计概率,计算所求的频数即可.
【详解】(1)根据分层抽样法,抽样比例为
∴n=48;
∴m=48﹣20﹣8﹣12=8;
(2)根据题意完善2×2列联表,如下;
超过1小时 | 不超过1小时 | 合计 | |
男生 | 20 | 8 | 28 |
女生 | 12 | 8 | 20 |
合计 | 32 | 16 | 48 |
计算K2
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关;
(3)参加社区服务时间超过1小时的频率为
用频率估计概率,从该校学生中随机调査6名学生,
估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题,考查了运算能力,属于中档题.
22.设函数
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若对所有
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)令
(Ⅱ)记
试题解析:
(Ⅰ)令
由
∴
(Ⅱ) 记
∴
∴ ① 当
则
② 当
∴ 必存在
即
综上,实数
点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若
(3)若
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