福建省福州文博中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

福州文博中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．已知集合，，则集合与集合的关系是（ ）.

A．M=N B．MN C．MN D．M∩N=

2．已知向量和向量对应的复数分别为和，则向量对应的复数为

A． B． C． D．

3．“”是“向量互相垂直”的（ ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．把函数的图像向左平移个单位后所得函数解析式为（ ）

A． B． C． D．

5．现从4名男生与3名女生中选出2人担任班委，则至少有1名女生当选的概率是（ ）

A． B． C． D．

6．函数在上是（ ）.

A．单调增函数 B．在上单调递增，在上单调递减

C．单调减函数；D．在上单调递减，在上单调递增.

7．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于 (　　)

A. B. C. D.

8. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8

9．设函数其中表示不超过的最大整数；则下列结论错误的是（ ）

A.的值域为； B.是奇函数； C.是周期函数； D.在是增函数；

10．若把函数的图像绕原点O逆时针旋转一个角后与y轴相切，则（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．设=

12．函数的图像与两坐标轴围成的封闭区域面积为

13.数列的通项公式，其前n项和时，则n等于_________

14．已知且与垂直，则实数的值为 .

15．若函数的图像关于对称，则

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

16、（13分）设，，记．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若时，函数的最小值为2，求函数的最大值并指出此时的取值。

17、（13分）设的内角所对的边分别为，已知

（1）求的周长；

（2）求的值

18、（13分）已知数列的前n项和且=2.

(1) 求、、的值；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 求证：.

19．（13分）中央电视台《福州月中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

20．（14分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元.写出，的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

21．（14分）已知函数；

（1）若在其定义域上恒成立，求的取值所构成的集合；

（2）在函数的图像任意给定相异两点、，其中，是否总存在使得？请说明理由！

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