豫南九校2016-2017学年下期第三次联考
高二数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则满足
的复数
在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，
是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为（ ）
A． B．
C．
D．
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
4.已知数列为等差数列，其前
项和为
,
，则
为（ ）
A．110 B．55 C．50 D．不能确定
5.设为抛物线
的焦点，曲线
（
）与
交于点
，
轴，则
（ ）
A． B．1 C．
D．2
6.曲线在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C．
D．
7. 下列说法：①分类变量与
的随机变量
越大，说明“
与
有关系”的可信度越大，②以模型
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
，将其变换后得到线性方程
，则
的值分别是
和0.3，③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
中，
，
，
，则
，④若变量
和
满足关系
，且变量
与
正相关，则
与
也正相关，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 在中，
，
边上的高等于
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
9.已知是双曲线
的左、右焦点，点
在
上，
与
轴垂直，
，则
的离心率为（ ）
A． B．
C．
D．2
10.若函数在
处取最小值，则
（ ）
A． B．
C．3 D．4
11. 若关于的方程
在
上仅有一个实根，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C．
D．
12. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”，某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为（
，且
）；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列推理正确的是（ ）
A．每场比赛第一名得分为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数的导函数
是偶函数，则实数
．
14. 在三角形中，内角
满足
，则
．
15.等差数列的前
项和为
，且
，
，数列
满足
，则数列
的前9和
．
16.已知点满足
，点
是圆
上的两个点，则
的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，设边
所对的角分别为
，
都不是直角，且
.
（1）若，求
的值；
（2）若，求
面积的最大值.
18. 已知是等差数列，
是等比数列，且
，
，
，
.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列
的前
项和.
19. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面是临界值表仅供参考：
参考公式：的观测值：
（其中
）
20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
轴上且过点
，离心率是
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点
且与椭圆
交于
两点，若
，求直线
的方程.
21. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线
的方程为
，在以原点为极点，
轴的非负关轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（1）将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和
倍后得到曲线
，求曲线
的参数方程；
（2）若分别为曲线
与直线
的两个动点，求
的最小值以及此时点
的坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
已知不等式与不等式
的解集相同.
（1）求；
（2）若，且
，求
的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5: AABBD 6-10: BCCAC 11、12：BC
1．A【解析】由得
.故选A.
2．A【解析】依题意得：“甲没有降落在指定范围”，
：“乙没有降落在指定范围”，因
此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为，故选A.
3．B【解析】解析 ①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；
②S＝0＋13＝1，k＝1＋1＝2，满足k≤2；
③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3，不满足k≤2，输出S＝9.故选 B
4．B【解析】，
．
故选B．
5．D【解析】
6．B【解析】
7．C【解析】由题意易知中
与
负相关.
8．C【解析】设边上的高线为
，则
，所以
，
．由余弦定理，知
，故选C．
9．A【解析】离心率，由正弦定理得
．故选A．
10．C【解析】∵，
∴，
当且仅当，即
时取等号．
11．B【解析】设函数，则
，易得
在
上
递减，在上递增，又
，由图象可知
或
，解得
，故选B.
12．C【解析】由题可知故
，所以
得分只
有两种情况，又甲6场得26分，则只有
这一种情况，且
，故A,B均错，又乙在其中一场比赛中获得第一名，而甲有5场第一，所以D错.而乙只能是
，故选C.
二、填空题
13. 14.
15. 180 16.
13．【解析】由题意是偶函数
．
14．【解析】，
∴，
∴，
∴，∴
，∴
15．【解析】设等差数列的公差为d，因为
，所以
，两
式相减为常数，所以数列
也为等差数列．因为
为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以
，
，所以等差数列
的公差
，所以前n项和公式为
，所以
．
16．【解析】由已知可得点在如图所示的平面区域内（包含边界）运动，易知点
位于圆外，则当
最大时，应有
所在直线与圆相切，且点
位于离圆心最近的
处；此时，圆心到直线
的距离
，所以在
中
，所以
，同理
，此时
.
三、解答题
17．（1）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
由正弦定理得
（2）
即
当且仅当
时取等号
，
所以面积最大值为
18．解：（1）设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由得
∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
（2）设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1
＝2(1＋2＋…＋n)－n＋
＝2×－n＋
＝n2＋.
即数列{cn}的前n项和为n2＋
19．解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为人
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：
（2）因为
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1， 2，任取2名学
生，则所有可能情况为（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、（c，1）、（c，2）、（1，2），共10种.
其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、
（c，2），共6种
所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为
20．解：（1）设椭圆的标准方程为
．
由已知可得，
解得.
故椭圆的标准方程为
（2）由已知，若直线的斜率不存在，则过点
的直线
的方程为
，
此时令，显然
不成立．
若直线的斜率存在，则设直线
的方程为
．
则，整理得
由.
设．故
，①
.②
因为，即
.③
1 ③联立解得.
所以直线的方程为
或
.
21．解：（1）函数的定义域为
，
则，解得
，
所以．此时，
，由
得
，
得
，
所以函数的单调增区间为
，单调减区间为
．
（2）不等式等价于
，
由（1）在
上的最大值为
，
所以①，
令，所以
，
，
所以，当时，
，所以
在
上单调递增，
所以，所以
在
上单调递增，
所以，即
，
因为，所以
，
所以，时，
．
22．解析：（1）在曲线上任取一点
，设点
的坐标为
，则点
在曲线上，满足
，所以曲线
的直角坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）……………5分
（2）直线的直角坐标方程为
：
，设点
，点
到直线
的
距离为，当
，即点
的直角坐标为
时，
取得最小值
.
23．解：（1）
（2）由（1）得，
…7分
（当且仅当
时取等）
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a5f6b628ff4733687e21af45b307e87100f6f801.html
文档为doc格式