2.4.1平面向量地数量积地物理背景及其含义
教学目地：
1.掌握平面向量地数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积地重要性质及运算律；
3.了解用平面向量地数量积可以处理垂直地问题；
4.掌握向量垂直地条件.
教学重点：平面向量地数量积定义
教学难点：平面向量数量积地定义及运算律地理解和平面向量数量积地应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角地概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作
word/media/image2_1.png＝ａ，
word/media/image3_1.png＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ地夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝
word/media/image5_1.png时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量地夹角定义，两向量必须是同起点地.范围0≤≤180
（2）两向量共线地判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x地值为（ B ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做地功：W = |F||s|cos，是F与s地夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）地定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们地夹角是θ，
则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ地数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.b5E2RGbCAP
并规定0向量与任何向量地数量积为0.
探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它地符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量地数量积与实数乘向量地积有什么区别？
（1）两个向量地数量积是一个实数，不是向量，符号由cos地符号所决定.
（2）两个向量地数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量地外积a×b，而ab是两个向量地数量地积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.p1EanqFDPw
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.DXDiTa9E3d
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc
a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|RTCrpUDGiT
ab = bc 但ac
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)ca(bc)
显然，这是因为左端是与c共线地向量，而右端是与a共线地向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”地概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上地投影.投影也是一个数量，不是向量；
当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0；
当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|.
3．向量地数量积地几何意义：
数量积ab等于a地长度与b在a方向上投影|b|cos地乘积.
探究：两个向量地数量积地性质：设a、b为两个非零向量，
1、abab = 0
2、当a与b同向时，ab = |a||b|； 当a与b反向时，ab = |a||b|. 5PCzVD7HxA
特别地aa = |a|2或word/media/image11_1.png |ab| ≤ |a||b| cos =
word/media/image12_1.png
探究：平面向量数量积地运算律
1．交换律：ab = ba
证：设a，b夹角为，则ab = |a||b|cos，ba = |b||a|cos ∴ab = bajLBHrnAILg
2．数乘结合律：(word/media/image13_1.pnga)b =
word/media/image13_1.png(ab) = a(
word/media/image13_1.pngb)
证：若word/media/image13_1.png> 0，(
word/media/image13_1.pnga)b =
word/media/image13_1.png|a||b|cos，
word/media/image13_1.png(ab) =
word/media/image13_1.png|a||b|cos，a(
word/media/image13_1.pngb) =
word/media/image13_1.png|a||b|cos，xHAQX74J0X
若word/media/image13_1.png< 0，(
word/media/image13_1.pnga)b =|
word/media/image13_1.pnga||b|cos() =
word/media/image13_1.png|a||b|(cos) =
word/media/image13_1.png|a||b|cos，
word/media/image13_1.png(ab) =
word/media/image13_1.png|a||b|cos，LDAYtRyKfE
a(word/media/image13_1.pngb) =|a||
word/media/image13_1.pngb|cos() =
word/media/image13_1.png|a||b|(cos) =
word/media/image13_1.png|a||b|cos.Zzz6ZB2Ltk
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作word/media/image14_1.png= a，
word/media/image15_1.png= b，
word/media/image16_1.png= c， ∵a + b （即
word/media/image3_1.png）在c方向上地投影等于a、b在c方向上地投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2dvzfvkwMI1
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb即：(a + b)c = ac + bcrqyn14ZNXI
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0
ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
例2．已知|a|=12， |b|=9，word/media/image18_1.png，求
word/media/image19_1.png与
word/media/image20_1.png地夹角.
例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b地夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.EmxvxOtOco
（ 利用 word/media/image21_1.png ）
例4．已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题.
2．下列叙述不正确地是（ ）
A. 向量地数量积满足交换律 B. 向量地数量积满足分配律
C. 向量地数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+word/media/image22_1.pngb与a-
word/media/image22_1.pngb地位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为word/media/image23_1.png D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8， |b|=10，|a+b|=16，求a与b地夹角.
五、小结：
1．平面向量地数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积地重要性质及运算律；
3．向量垂直地条件.
六、作业：《习案》作业二十三.
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