曲线积分和曲面积分不等式的构造与证明
马晓东*,1 ，蒋婧珊2
【摘 要】积分不等式是数学分析的一个重要内容. 针对曲线积分和曲面积分不等式问题，本文利用条件极值及曲线积分和曲面积分的性质建立几个不等式，并给予证明，旨在培养学生的创新和发散思维能力，也为教师在教学过程中提供一些思想方法.
【期刊名称】渤海大学学报（自然科学版）
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】5
【关键词】曲线积分；曲面积分；不等式；条件极值
0 引言
不等式是数学分析和高等数学中的重要内容，也是学生不易理解的内容.因此，许多学者对不等式的证明进行了广泛研究〔1-3〕，近年来，对积分不等式研究也引起广泛注意〔4-7〕.在积分不等式中，有一类关于积分估值不等式问题，对于定积分这一类问题较多，但对于重积分、曲线积分及曲面积分的估值问题较少，最近，孙燕等人构造几个二重积分和三重积分不等式的估值问题，并给予证明〔8〕.本文以条件极值为工具，利用曲线积分和曲面积分性质构造几个第一型曲线积分和第一型曲面积分估值不等式问题，并给予证明，其目的为了提高学生的创新能力和发散思维能力，同时也为教师在不等式教学中提供了一些思想方法.
下面给出本文所需知识：
引理1〔9〕 若函数f在有界闭域D上连续，则f在D上能取得最大值和最小值.
引理2〔9〕 若与都存在，且在曲线L上f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则
引理3〔9〕 若与都存在，且在曲线L上有f(x,y,z)，则
引理4〔10〕 设椭圆长半轴与短半轴分别为a和b，则椭圆周长s满足：
1 曲线积分不等的构造与证明
命题1 设曲线L为球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0相交的圆周，则
证明 令f(x,y,z)=xyz，现求f(x,y,z)在曲线L上最大值与最小值.
设L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x2+y2+z2-1)+μ(x+y+z)，解方程组
得稳定点为由于f(x,y,z)在L上连续，由引理1知，f(x,y,z)在L上存在最大值与最小值，又f(x,y,z)在L上可微，故f(x,y,z)在L上存在最大值为与最小值于是在L上由引理2有
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