2017-2018 学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）

1．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则 sinA 等于（ ）

A．2 B． C． D．

2．（3 分）下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是（ ）

A． B． C． D．

3．（3 分）如果两个相似三角形的相似比是 1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（ ）

A．2：1 B．1：16 C．1：4 D．1：2

4．（3 分）要使菱形 ABCD 成为正方形，需要添加的条件是（ ）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

5．（3 分）已知点 A（3，a）与点 B（5，b）都在反比例函数 y=﹣的图象上，则 a 与 b 之间的关系是（ ）

A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b

6．（3 分）某池塘中放养了鲫鱼 1000 条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共

抓到鲫鱼 200 条，鲮鱼 400 条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（ ）

A．500 条 B．1000 条 C．2000 条 D．3000 条

7．（3 分）对于二次函数 y=﹣3（x﹣2）2+9，下列说法正确的是（ ）

A．图象的开口向上B．当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大

C．当 x=2 时，取得最小值为 y=9 D．图象的对称轴是直线 x=﹣2

8．（3 分）关于一元二次方程 x2﹣2x+3=0 的根的情况正确的是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定

9．（3 分）如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，添加如下一个条件后，仍不能得到

△ABP∽△ACB 的是（ ）

A． = B．∠APB=∠ABC C． = D．∠ABP=∠C

10．（3 分）一次函数 y=ax+b（a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（ ）

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A． B． C． D．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．（4 分）方程 x2=2x 的解是 ．

12．（4 分）如图，已知 DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则 AD= ．

13．（4 分）如图，过反比例函数 y=（x＞0）图象上的一点 A，作 x 轴的垂线，垂足为 B 点，连接 OA，则 S△AOB=

14．（4 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，

则菱形 ABCD 的高 DH= ．

15．（4 分）如图，在 A 时测得某树的影长为 4m，B 时又测得该树的影长为 16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．

16．（4 分）已知矩形的长是 3，宽是 2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍，那么新矩形的长是 ．

三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）

17．（6 分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°

18．（6 分）如图，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．

（1） 以 O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为 1：2；

（2） 连接（1）中的 BB′，CC′，求四边形 BB′C′C 的周长．（结果保留根号）

19．（6 分）由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，

据某自行车经销店 4 至 6 月份统计，某品牌自行车 4 月份销售 200 辆，6 月份销

售 338 辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．

四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

20．（7 分）如图，某幢大楼顶部有广告牌 CD，小宇目高 MA 为 1.89 米，他站在立在离大楼 45 米的 A 处测得大楼顶端点 D 的仰角为 30°；接着他向大楼前进 15 米、站在点 B 处，测得广告牌顶端点 C 的仰角为 45°．（取≈1.732，计算结果保留一位小数）

（1） 求这幢大楼的高 DH；

（2） 求这块广告牌 CD 的高度．

21．（7 分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、

蓝三种颜色的小球，其中红球 2 个，篮球 1 个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．

（1） 求袋中黄球的个数；

（2） 第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．

22．（7 分）某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件 30 元，当

售价为每件 50 元时，每周可卖出 200 件，现需降价处理，经过市场调查，发现

每降价 1 元，每周可多卖出 20 件．

（1） 为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为 4420 元？

（2） 当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？

五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）

23．（9 分）如图，一次函数 y=x+b 和反比例函数 y=（k≠0）交于点 A（4，1）．

（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；

（2） 求△AOB 的面积；

（3） 根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．

24．（9 分）如图，以△ABC 的各边，在边 BC 的同侧分别作三个正方形 ABDI，BCFE， ACHG．

（1） 求证：△BDE≌△BAC；

（2） 求证：四边形 ADEG 是平行四边形．

（3） 直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是矩形？

②当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？

25．（9 分）如图，直线 y=﹣x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A，B，M（m，0）为 x 轴上一动点，点 M 在线段 OA

上运动且不与 O，A 重合，过点 M 且垂直于x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N．

（1） 求点 B 的坐标和抛物线的解析式；

（2） 在运动过程中，若点 P 为线段 MN 的中点，求 m 的值；

（3） 在运动过程中，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标；

2017-2018 学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）

1．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则 sinA 等于（ ）

A．2 B． C． D．

【解答】解：∵AB=2、BC=1，

∴sinA= =， 故选：C．

2．（3 分）下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：A、球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同；

B、圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同； C、圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同；

D、三棱柱左视图是长方形、俯视图是三角形，左视图与俯视图不相同； 故选：A．

3．（3 分）如果两个相似三角形的相似比是 1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（ ）

A．2：1 B．1：16 C．1：4 D．1：2

【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是 1：4，

∴这两个相似三角形的周长比是 1：4． 故选：C．

4．（3 分）要使菱形 ABCD 成为正方形，需要添加的条件是（ ）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，

∴要使菱形 ABCD 成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠

ABC=90°或 AC=BD．

故选：D．

5．（3 分）已知点 A（3，a）与点 B（5，b）都在反比例函数 y=﹣的图象上，则 a 与 b 之间的关系是（ ）

A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b

【解答】解：∵点 A（3，a）与点 B（5，b）都在反比例函数 y=﹣的图象上，

∴每个象限内 y 随 x 的增大而增大， 则 a＜b．

故选：B．

6．（3 分）某池塘中放养了鲫鱼 1000 条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共

抓到鲫鱼 200 条，鲮鱼 400 条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（ ）

A．500 条 B．1000 条 C．2000 条 D．3000 条

【解答】解：由题意得：鲫鱼与鲮鱼之比为：200：400=1：2，

∵鲫鱼 1000 条，

∴鲮鱼条数是：1000×2=2000．

故选：C．

7．（3 分）对于二次函数 y=﹣3（x﹣2）2+9，下列说法正确的是（ ）

A．图象的开口向上B．当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大

C．当 x=2 时，取得最小值为 y=9 D．图象的对称轴是直线 x=﹣2

【解答】解：

∵y=﹣3（x﹣2）2+9，

∴抛物线开口向下，对称轴为 x=2，顶点坐标为（2，9），

∴A、C、D 都不正确，

∵二次函数的图象为一条抛物线，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大

∴B 正确， 故选：B．

8．（3 分）关于一元二次方程 x2﹣2x+3=0 的根的情况正确的是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定

【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，

∴方程没有实数根． 故选：C．

9．（3 分）如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，添加如下一个条件后，仍不能得到

△ABP∽△ACB 的是（ ）

A． = B．∠APB=∠ABC C． = D．∠ABP=∠C

【解答】解：A、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确；

B、当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

C、当 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

D、当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误． 故选：A．

10．（3 分）一次函数 y=ax+b（a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a

＞0，b＞0，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．

故选：C．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．（4 分）方程 x2=2x 的解是 x1=0，x2=2 ．

【解答】解：∵x2﹣2x=0，

∴x（x﹣2）=0，

∴x=0 或 x﹣2=0，

∴x1=0，x2=2．

故答案为 x1=0，x2=2．

12．（4 分）如图，已知 DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则 AD= 3.6 ．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴=，

∴=，

解得：AD=3.6， 故答案为：3.6．

13．（4 分）如图，过反比例函数 y=（x＞0）图象上的一点 A，作 x 轴的垂线，垂足为 B 点，连接 OA，则 S△AOB= 3

【解答】解：由题意：S△AOB= ，

∴S△AOB=3， 故答案为 3．

14．（4 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，则菱形 ABCD 的高 DH= 4.8 ．

【解答】解：在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，

∵AC=8，BD=6，

∴OA=AC= ×8=4，OB= BD= ×6=3，

在 Rt△AOB 中，AB==5，

∵DH⊥AB，

∴菱形 ABCD 的面积=AC•BD=AB•DH， 即×6×8=5•DH，

解 得 DH=4.8， 故答案为：4.8．

15．（4 分）如图，在 A 时测得某树的影长为 4m，B 时又测得该树的影长为 16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 8m ．

【解答】解：如图：过点 C 作 CD⊥EF，

由题意得：△EFC 是直角三角形，∠ECF=90°，

∴∠EDC=∠CDF=90°，

∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，

∴∠E=∠DCF，

∴Rt△EDC∽Rt△CDF，

有=；即 DC2=ED•FD， 代入数据可得 DC2=64，

DC=8；

故答案为：8m．

16．（4 分）已知矩形的长是 3，宽是 2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍，那么新矩形的长是 5+ ．

【解答】解：设新矩形的长为 x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，

整理得：x2﹣10x+12=0，

解得：x1=5﹣ ，x2=5+ ．

∵x≥10﹣x，

∴x≥5，

∴x=5+ ．

故答案为：5+．

三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）

17．（6 分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°

【解答】解：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°，

=2× +4×× ﹣（）2，

=1+6﹣ ，

=6.5．

18．（6 分）如图，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．

（1） 以 O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且相

似比为 1：2；

（2） 连接（1）中的 BB′，CC′，求四边形 BB′C′C 的周长．（结果保留根号）

【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）四边形 BB′C′C 的周长为：

BB′+B′C′+CC′+BC=2+2 +2+4

=4+6 ．

19．（6 分）由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，

据某自行车经销店 4 至 6 月份统计，某品牌自行车 4 月份销售 200 辆，6 月份销

售 338 辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．

【解答】解：设该品牌自行车销售量的月平均增长率为 x， 根据题意得：200（1+x）2=338，

解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该品牌自行车销售量的月平均增长率为 30%．

四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

20．（7 分）如图，某幢大楼顶部有广告牌 CD，小宇目高 MA 为 1.89 米，他站在立在离大楼 45 米的 A 处测得大楼顶端点 D 的仰角为 30°；接着他向大楼前进 15 米、站在点 B 处，测得广告牌顶端点 C 的仰角为 45°．（取≈1.732，计算结果保留一位小数）

（1） 求这幢大楼的高 DH；

（2） 求这块广告牌 CD 的高度．

【解答】解：（1）在 Rt△DME 中，ME=AH=45 米；

tan30°= ，得 DE=45× =15×1.732=25.98 米；

又因为 EH=MA=1.89 米，

因而大楼 DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9 米；

（2）又在 Rt△CNE 中，NE=45﹣15=30 米， 由 tan45°=，得 CE=NE=30 米；

因而广告牌 CD=CE﹣DE=30﹣27.87≈2.1 米；

答：楼高 DH 为 27.6 米，广告牌 CD 的高度为 2.1 米．

21．（7 分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、

蓝三种颜色的小球，其中红球 2 个，篮球 1 个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．

（1） 求袋中黄球的个数；

（2） 第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．

【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为 x 个，

∴=， 解得：x=1，

经检验，x=1 是原方程的解，

∴袋中黄球的个数 1 个；

（2）画树状图得：

，

∴一共有 12 种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有 4 种，

∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：=．

22．（7 分）某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件 30 元，当

售价为每件 50 元时，每周可卖出 200 件，现需降价处理，经过市场调查，发现

每降价 1 元，每周可多卖出 20 件．

（1） 为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为 4420 元？

（2） 当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？

【解答】解：（1）设降价为 x 元，

根据题意，可得：（50﹣x﹣30）（200+20x）=4420，整理，得：x2﹣10x+21=0，

解得：x1=3，x2=7，

因为要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大， 所以 x=7，

答：当降价为 7 元时，每周盈利为 4420 元；

（2）设每周盈利为 y，

则 y=（50﹣x﹣30）（200+20x）

=﹣20x2+200x+4000

=﹣20（x﹣5）2+4500，

所以当 x=5 时，y 取得最大值，最大值为 4500，

答：当降价为 5 元时，每周盈利额最大，最大盈利 4500 元．

五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）

23．（9 分）如图，一次函数 y=x+b 和反比例函数 y=（k≠0）交于点 A（4，1）．

（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；

（2） 求△AOB 的面积；

（3） 根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．

【解答】解：（1）∵反比例函数 y=的图象过点 A（4，1），

∴1= ，即 k=4，

∴反比例函数的解析式为：y=．

∵一次函数 y=x+b（k≠0）的图象过点 A（4，1），

∴1=4+b，解得b=﹣3，

∴一次函数的解析式为：y=x﹣3；

（2）∵令 x=0，则 y=﹣3，

∴D（0，﹣3），即 DO=3．解方程=x﹣3，得 x=﹣1，

∴B（﹣1，﹣4），

∴S△AOB=S△AOD+S△BOD= ×3×4+ ×3×1= ；

（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），

∴一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围为：﹣1＜x＜0 或 x＞4．

24．（9 分）如图，以△ABC 的各边，在边 BC 的同侧分别作三个正方形 ABDI，BCFE，

ACHG．

（1） 求证：△BDE≌△BAC；

（2） 求证：四边形 ADEG 是平行四边形．

（3） 直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是矩形？

②当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？

【解答】（1）证明：∵四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形 ACHG 都是正方形，

∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．

∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA 的余角）．在△BDE 和△BAC 中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2） ∵△BDE≌△BAC，

∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．

∵AD 是正方形 ABDI 的对角线，

∴∠BDA=∠BAD=45°．

∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，

∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

=225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°

∴DE∥AG，

∴四边形 ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3） ①当四边形 ADEG 是矩形时，∠DAG=90°．

则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，

即当∠BAC=135°时，平行四边形 ADEG 是矩形；

②当四边形 ADEG 是正方形时，∠DAG=90°，且 AG=AD． 由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．

∵四边形 ABDI 是正方形，

∴AD= AB．

又∵四边形 ACHG 是正方形，

∴AC=AG，

∴AC= AB．

∴当∠BAC=135°且 AC=AB 时，四边形 ADEG 是正方形．

25．（9 分）如图，直线 y=﹣x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A，B，M（m，0）为 x 轴上一动点，点 M 在线段 OA

上运动且不与 O，A 重合，过点 M 且垂直于x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N．

（1） 求点 B 的坐标和抛物线的解析式；

（2） 在运动过程中，若点 P 为线段 MN 的中点，求 m 的值；

（3） 在运动过程中，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标；

【解答】解：（1）∵y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，

∴0=﹣2+c，解得 c=2，

∴B（0，2），

∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A，B，

∴，解得 ，

∴抛物线解析式为 y=﹣x2+ x+2；

（2） 由（1）可知直线解析式为 y=﹣x+2，

∵M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∵P 为线段 MN 的中点时，

∴有 2（﹣m+2）=﹣ m2+ m+2， 解得 m=3（三点重合，舍去）或 m=． 故 m 的值为．

（3） 由（1）可知直线解析式为 y=﹣x+2，

∵M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∴PM=﹣ m+2，AM=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m，

∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有 BN⊥MN，

∴N 点的纵坐标为 2，

∴﹣m2+ m+2=2，解得m=0（舍去）或 m=2.5，

∴M（2.5，0）；

当∠NBP=90°时，过点N 作 NC⊥y 轴于点 C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣ m2+ m+2﹣2=﹣ m2+ m，

∵∠NBP=90°，

∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

∴=，

∴ =，解得 m=0（舍去）或 m= ，

∴M（，0）；

综上可知，当以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点 M 的坐标为（2.5，

0）或（ ，0）．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a4f0ed0e8ad63186bceb19e8b8f67c1cfbd6ee50.html