高考数学函数知识点归纳总结

一、函数的概念与表示

1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.

2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：Aword/media/image1_1.pngB就叫做A到B的函数，记作word/media/image2_1.png,其中word/media/image3_1.png.原像的集合A叫做函数word/media/image2_1.png的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做word/media/image2_1.png的值域，显然值域是集合B的子集.

构成函数概念的三要素: word/media/image4.gif定义域(x的取值范围) word/media/image5.gif对应法则（f）word/media/image6.gif值域（y的取值范围）

两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.

二、函数的定义域、解析式与值域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）整式的定义域是全体实数；

（2）分式的分母不为零；

（3）偶次方根的被开方数大于等于零；

（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；

（5）对数函数的真数必须大于零；

（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

（7）若函数word/media/image2_1.png是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；

（8）复合函数的定义域：

若已知word/media/image7_1.png的定义域word/media/image8_1.png，求复合函数word/media/image9_1.png的定义域，相当于求使word/media/image10_1.png时word/media/image11_1.png的取值范围；

若已知复合函数word/media/image9_1.png的定义域，求word/media/image7_1.png的定义域，相当于求word/media/image12_1.png的值域.

2求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合word/media/image13_1.png的形式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png∈R的分式；

此种类型不拘泥于判别式法，如d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png0bdab839149be51127051691b1b01cd0.png的形式可直接用不等式性质；ed8e332d5612df5808258899f22b0de4.png可先化简再用均值不等式；24497c3b8f00c3b1dc48c0045aad3700.png通常用判别式法；63c3e47d693803480bd63d6e9ccbe94a.png 可用判别式法或均值不等式；

word/media/image19.gif④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：

闭区间d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngb57515f693b44e149c68c64696ea7be4.png上的最值；

求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；

注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.

2.注意c4ddc98d06ba00d929692e8072ad25df.png型函数的图像在单调性中的应用：增区间为288fc2e78996433cb1557402fb15bae0.png，5fe634a460c0b52b901bd6c8fb554c30.png，减区间为d239733ceaa300e3e36e389653376fa3.png，0157f014f1c0fd5b9283789d15b82731.png；

⑦利用对号函数：word/media/image26_1.png（如右图）；

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数

三．函数的奇偶性

1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png∈A，都有8687c89644dcd63c0bc1b2c1519733e9.png，则称y=f(x)为偶函数.

如果对于任意9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png∈A，都有cf63df52ff11aba66ee8106b6af91282.png，则称y=f(x)为奇函数.

2.性质：

①y=f(x)是偶函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngy=f(x)的图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称,　　 y=f(x)是奇函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngy=f(x)的图象关于原点对称;

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;

③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；

4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”

四、函数的单调性

作用：比较大小，解不等式，求最值.

1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值word/media/image32_1.png，当word/media/image33_1.png时，都有word/media/image34_1.png，那么就称函数word/media/image7_1.png在区间D上是增函数（减函数），区间D叫word/media/image2_1.png的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）；

减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；

2.判断单调性方法：word/media/image4.gif定义法53c95935771cabc47de9124f275445c6.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png756cf8ae8455b6a9cc0752bc04d7f6fb.png上是增函数；

e969c7875ebf4c28afc8d975ff81691a.png21f3065fc22cf3d1973b5e56566e5f15.png上是减函数.

word/media/image5.gif观察法：根据特殊函数图像特点；

word/media/image6.gif掌握规律：对于两个单调函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png和e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png，若它们的定义域分别为dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png和ff44570aca8241914870afbc310cdb85.png，且d2c5ff72cee1f85dcaa371d3f261d849.png：

(i)当50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png和e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png具有相同的增减性时，

①ce6c7aa266c7130c11824cbcbee37749.png的增减性与50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png相同，

②77dd2b18b51b79ad909c6a0afc6ad7b7.png、98e6f9e83fd59ee05134bb88ad395125.png、cb9bb83f9ad2cac3fb25d44afc3d1a15.png的增减性不能确定；

(ii)当50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png和e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png具有相异的增减性时，我们假设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png为减函数，那么：

①ce6c7aa266c7130c11824cbcbee37749.png的增减性不能确定；

②98e6f9e83fd59ee05134bb88ad395125.png、cb9bb83f9ad2cac3fb25d44afc3d1a15.png为增函数；d91064f2df9710b656d87eb16e503a55.png为减函数.

3.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

4.复合函数单调性的确定（同增异减）：b9711db7207eab96d9273434551122ca.png是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则b9711db7207eab96d9273434551122ca.png在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则b9711db7207eab96d9273434551122ca.png在M上是增函数.

5、函数的对称性函数

7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象的对称性（自身）

1.函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于直559fdec985419770489ac325a7163588.png对称339774ea56c7cb8a75b00d7d0a3fc5c2.png20cfcdc2dbd93d8a949bf6021796f34e.png

特殊的有：①函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称77d909c1490584baec513b31e88b132c.pngf1acb3b3c820a317a90dea21943312fe.png.

②函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称（奇函数）d0dd90eb2709922874e710561bb21084.png;

③函数abd275da3c4c9cb8d98b19eb2ac2038e.png是偶函数678c73326ae96333e80a4a084c4c28e6.png关于50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称;

2.函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于点2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png对称b0457a8f675f7fdd33de904027a8c466.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngee8368336a2231f4a0c6784bed80d206.png.

特殊的有：

1 函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于点47f7512ac76513056a203f8620522bad.png对称fde621c50b12ae22c0c7d9dc83d28e3b.pngword/media/image71_1.png;

2 函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于原点对称（奇函数）63c3f8a13a7295cb9eb88526238a329a.png;

3 函数abd275da3c4c9cb8d98b19eb2ac2038e.png是奇函数678c73326ae96333e80a4a084c4c28e6.png关于点a25b3d7ca972696376758a869046a0cd.png 对称.

4 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.

两个函数图象的对称性:

①函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与函数630d2289384d4b0198a632ef136bb626.png的图象关于直线e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png(即415290769594460e2e485922904f345d.png轴)对称;

②函数882ec17cdd5c5b4c7be58bede7ae08b3.png与函数1d8c96cf5b0abbfed4f30cc2f26ae234.png的图象关于直线dd3fb89abd15ed6022b20af4de095de9.png对称

特殊地: c83ca06fd53d1365437cf1f8d0207d0f.png与函数b70353f819ec8f70d7c22cc87ce49e19.png的图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称;

③函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称的解析式为817775777860b096323b2e76dea940aa.png;

④函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于点47f7512ac76513056a203f8620522bad.png对称的解析式为d999889b19662f2b91ee861e1d8b2a68.png;

⑤函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与word/media/image86_1.png的图像关于直线word/media/image87_1.png成轴对称

函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与word/media/image88_1.png的图像关于直线word/media/image89_1.png成轴对称

函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图像与x = f (y)的图像关于直线word/media/image90_1.png 成轴对称.

六．函数的周期性：

1．定义 若a1ace248a7a8c41978d7303232959c29.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，T是它的一个周期.

说明：nT也是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期。推广：若b736fab34fb58d27afa2c884afe0381a.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，df9657233e1563399160a26701aedd80.png是它的一个周期

结论1：如果b736fab34fb58d27afa2c884afe0381a.png（519b378d7c02689235644d48958bffce.png），那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期e533030e52c1716cae483a5ba148d1a0.png

结论2：如果6257962e8a1b6fb4fca46ceef54cec1d.png（519b378d7c02689235644d48958bffce.png），那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期51a7c0824ec95a12ac373bcb01fa28b1.png

结论3：如果定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有两条对称轴50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png、e89da0c0c73b56b18d920816a6df9829.png对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期51a7c0824ec95a12ac373bcb01fa28b1.png

结论4：如果偶函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png（570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期35c07e7effe1495f41ca5294e47c877d.png

结论5：如果奇函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png（570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期6f8cf53f7a627b6efbbd56b366e40799.png

结论6：如果函数同时关于两点0d768f4e083b993907c19ac6fbab9716.png、a9ebda258673c8314b870cfcaf71a5e3.png（519b378d7c02689235644d48958bffce.png）成中心对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期51a7c0824ec95a12ac373bcb01fa28b1.png

结论7：如果奇函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png关于点0d768f4e083b993907c19ac6fbab9716.png（570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）成中心对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期35c07e7effe1495f41ca5294e47c877d.png

结论8：如果函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像关于点0d768f4e083b993907c19ac6fbab9716.png（570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）成中心对称，且关于直线e89da0c0c73b56b18d920816a6df9829.png（519b378d7c02689235644d48958bffce.png）成轴对称，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期3b8da0fcfd69ef551754c87fe43b42f6.png

结论9：如果332e0614ee8caba4c0fa4f8a7de346c5.png或70b7f1c27ff82411a59c7ebba5c4c0df.png，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期c98de005707e4488f033d4c7a9105023.png

结论10：如果0647b1eeb9af1e7daa4557789289c914.png或909cabfd79df0276ca2335a04cc02f96.png，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期c98de005707e4488f033d4c7a9105023.png

结论11：如果dec435aeb1359fcf8d5464e1348bd90c.png，那么50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期函数，其中一个周期c98de005707e4488f033d4c7a9105023.png

七、反函数

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；

（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；

（4）f-1[f(x)]=x;

（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；

（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

一般式： ee0ff800718a6b866a3e48e282e4cc34.png；

顶点式：44d63f7a4c610dbe45906cbafbdcdfd7.png；

零点式：8a803ad94c5d87c7dc096a7ee6a1fc3a.png

1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴b6694ea253e48e7aad2af471fcb76504.png，顶点坐标b21d4d2a2bfadfc224d06ba1b9305f71.png

word/media/image127_1.png，开口向上，word/media/image128_1.png，开口向下

2．二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值.

韦达定理：word/media/image132_1.png

3.一元二次不等式76d3e0c1c03f17916783f2a51c28b212.png的解集(a>0)

九、指数式与对数式

1．幂的有关概念

(1)零指数幂64fbb5a4c52cb47d0655d286f1a96773.png； (2)负整数指数幂5ba62348d8d2fb66ec3a6724cae0652d.png

(3)正分数指数幂5f831fa3fbf749c20ee5fe54646e7418.png；

(4)负分数指数幂937937abe406517bba09094a76387518.png

(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2．有理数指数幂的性质

4135d3443f1849abb551d3a815561031.png c7350828f48c040c3e0798d0da82a13c.png defca4279663efd83dd1ac8d1dd5045a.png

3．根式 根式的性质:当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png是奇数，则7434aaa4beee5964a4821af65c1a1732.png；当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png是偶数，则591d226a41c3e007ef5ea0d33c57cea0.png

4．对数

(1)对数的概念:如果a0054b9053ffc0947fe21176fcdefd85.png,那么b叫做以a为底N的对数,记417c50a66a5bd7a280d091da52a75f67.png

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②2f4daa3a598b89ddaa3c24a14c6b1eaf.png ③30a5d1addef20d4a10676cefb4543cae.png

(3)对数的运算性质

word/media/image4.gifword/media/image156_1.png word/media/image5.gif

对数换底公式：a296033d0df7690820044e2cab6affe6.png

对数的降幂公式：a40ffbab8128156e4fb92fbcfc0b91f4.png

（4）三个常用结论：word/media/image4.gif word/media/image160_1.png；word/media/image5.gif word/media/image161_1.png；word/media/image6.gif word/media/image162_1.png.

十、指数函数与对数函数

1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数

指数函数图像分布规律：word/media/image165_1.png时，word/media/image166_1.png越大函数图像在y轴右侧越靠近y轴；

word/media/image167_1.png时，word/media/image166_1.png越小函数图像在y轴左侧越靠近y轴；

对数函数图像分布规律：word/media/image165_1.png时，word/media/image166_1.png越大函数图像在x轴上方越靠近x轴；

word/media/image168_1.png时，word/media/image166_1.png越小函数图像在x轴下方越靠近x轴；

word/media/image169.gif

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同

2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）

3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制

4.指数函数与对数函数中的绝大部分？问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径

幂函数：一般地，形如word/media/image170_1.png的函数称为幂函数，其中n为常数.

图像及性质：

word/media/image171.gif（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：word/media/image172_1.png）；所有的幂函数在第四象限没有图像.

（2）n＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当word/media/image173_1.png时，图像下凸，当word/media/image174_1.png时，图像上凸；

（3）n＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一象限内，当word/media/image175_1.png向原点靠近时，图象在word/media/image176_1.png轴的右方无限逼近word/media/image177_1.png轴正半轴，当word/media/image175_1.png慢慢地变大时，图象在word/media/image175_1.png轴上方并无限逼近word/media/image175_1.png轴的正半轴.

十一．函数的图象变换1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即

85c6edc2a7bfc8f1f7dcc09bb1bf3761.png

2、对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

7e48b820f32ab7ed708373ab281d4158.png

十二．函数的其他性质

1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：2dd8eac817e3b32e899f1c91ade0340b.png 单调递增；5610d05d56532005f8d07411aad3d883.png 单调递减

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：233e8183c1e9de38a874255498894e58.png 奇函数；5945e94c0a22415007960207c6b2ddc7.png 偶函数

3．函数的凸凹性：

41776a0d22fa32a63057b2cbcb01bd5c.png 凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）

02506b1d0347bf70d845b20d3bf04541.png 凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）

十三．函数的应用:二次函数与二次方程的关系：

设一元二次方程de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png的两个不等根为word/media/image186_1.png，且word/media/image187_1.png，相应的二次函数

99c2fd86ea6d81cb90aae125bd30a808.png.方程的根即为二次函数图像与x轴的交点，他们的分步情况如下：

函数零点问题：对于函数word/media/image225_1.png，把使word/media/image226_1.png的实数word/media/image227_1.png叫做函数word/media/image225_1.png的零点.

零点存在性定理：如果函数word/media/image225_1.png在区间word/media/image228_1.png上是连续不断的一条曲线，并且有word/media/image229_1.png，那么函数word/media/image225_1.png在区间（a,b）内有零点，即存在word/media/image230_1.png使word/media/image231_1.png，这个c也就是方程word/media/image226_1.png的根.

（1）利用函数图像解决函数零点问题（转化为函数交点问题）；

（2）利用零点性质求参数取值范围.

导数及其应用：

一.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．

注意：1.“过某点的切线”中的某点可以不在曲线上，而“在某点的切线”中的某点一定在这条曲线上；过某点的切线条数可能是不止一条，但在某点的切线条数必定唯一.

2.曲线的切线与这条曲线的公共点可能不唯一，只是在切点的邻近区域才是唯一的，当曲线是二次曲线时，公共点只有一个；当曲线为其他曲线时，公共点可能有多个,如曲线word/media/image232_1.png在点（1,1）处的切线与该曲线有两个公共点（1,1），（-2，-8）

2．利用导数求函数单调区间、极值、最值

利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：极值点一定是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点（例如f8ac978da4e77065f4659b6d2cf1b696.png是导数为零的点但不是极值点；求单调区间时要注意函数定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．

核心考点：

1.含参函数的单调性（区间）与极值、最值

思路提示：第一步，求函数定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系；第五步，判断导函数符号，从而得出函数的单调性；第六步，综合上述讨论下结论.

2.含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，求参数范围

思路提示：word/media/image4.gif已知函数word/media/image234_1.png在区间上单调递增或单调递减，转化为word/media/image235_1.png或word/media/image236_1.png恒成立；先分析导函数图像形式和特点，如一次函数最值落在端点，开口向上抛物线最大值落在端点，考口向下抛物线最小值落在端点等；

word/media/image5.gif已知区间上函数不单调，转化为在区间上存在极值（即导函数在区间上存在变号零点），可利用分离变量法求解参变量范围；或者利用补集思想；

word/media/image6.gif已知函数在区间上存在单调增或减区间，转化为导函数在区间上大于或小于零有解.

3.方程解（函数零点）的个数问题

思路提示：研究函数word/media/image234_1.png的零点问题常常与研究对应方程word/media/image237_1.png的实根问题相互转化

已知含参函数word/media/image238_1.png存在零点求参数范围问题一般对word/media/image237_1.png进行参变分离，得到word/media/image239_1.png的形式，则所求a的范围就是word/media/image240_1.png的值域；

当研究函数word/media/image238_1.png零点个数问题时，要借助数形结合.

4.不等式恒成立与存在性问题

思路提示：1.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般转化为函数的最值或值域问题，可采用“分离常数”或“直接移项构造辅助函数”。

（1）若函数word/media/image238_1.png在区间D上存在最小值word/media/image241_1.png和最大值word/media/image242_1.png，则：

word/media/image4.gif不等式word/media/image243_1.png在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image245_1.png；

word/media/image5.gif不等式word/media/image246_1.png在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image247_1.png；

word/media/image6.gif不等式word/media/image248_1.png在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image249_1.png；

word/media/image250.gif不等式word/media/image251_1.png在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image252_1.png；

（2）若函数word/media/image238_1.png在区间D上不存在最大（小）值，且值域为（m,n），则：

word/media/image4.gif不等式word/media/image243_1.png（或word/media/image246_1.png）在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image253_1.png

word/media/image5.gif不等式word/media/image254_1.png（或word/media/image251_1.png）在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image255_1.png

思路提示2：

（1）若函数word/media/image238_1.png在区间D上存在最小值word/media/image241_1.png和最大值word/media/image242_1.png，则对不等式有解问题有以下结论：

word/media/image4.gif不等式word/media/image256_1.png在区间D上有解word/media/image244_1.pngword/media/image257_1.png；

word/media/image5.gif不等式word/media/image258_1.png在区间D上有解word/media/image244_1.pngword/media/image259_1.png；

word/media/image6.gif不等式word/media/image260_1.png在区间D上有解word/media/image244_1.pngword/media/image261_1.png；

word/media/image250.gif不等式word/media/image262_1.png在区间D上有解word/media/image244_1.pngword/media/image263_1.png；

（2）若函数word/media/image238_1.png在区间D上不存在最大（小）值，且值域为（m,n），则对不等式有解问题有以下结论：

word/media/image4.gif不等式word/media/image256_1.png（或word/media/image258_1.png）在区间D上有解word/media/image244_1.pngword/media/image264_1.png

word/media/image5.gif不等式word/media/image265_1.png（或word/media/image266_1.png）在区间D上恒成立word/media/image244_1.pngword/media/image267_1.png

思路提示3：

对于任意的word/media/image268_1.png，总存在word/media/image269_1.png，使word/media/image270_1.png

对于任意的word/media/image268_1.png，总存在word/media/image269_1.png，使word/media/image271_1.png

对于任意的word/media/image268_1.png，word/media/image269_1.png，使word/media/image272_1.png

对于存在word/media/image268_1.png，任意的word/media/image269_1.png，使word/media/image273_1.png

5.利用导数证明不等式

思路提示：

构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式

构造辅助函数的一般方法及解题程序如下：

（1）移项，使不等式的一端为0，另一端即为所作的辅助函数；

（2）求导函数，并验证函数在指定区间上的单调性；

（3）求出区间端点的函数值（或最值），作比较即可.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a19301eea3c7aa00b52acfc789eb172dec63995f.html