2.3.2 离散型随机变量的方差
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
答案：B
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为( )
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
解析：由于ξ～B(n，p)，所以
解得n＝10，p＝0.8.
答案：D
3．若X的分布列为
其中p∈(0,1)，则( )
A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2
C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2
解析：由两点分布的方差公式得D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故选C.
答案：C
4．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )
A．0.48 B．1.2
C．0.72 D．0.6
解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴D(X)＝3×0.4×0.6＝0.72.
答案：C
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck.
n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24, 则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B，∴
n＝E(ξ)＝24.
∴n＝36.又D(ξ)＝n××
＝
×36＝8.
答案：A
6．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
解析：依题意X的分布列为
故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝
，
D(X)＝2×
＋
2×
＋
2×
＋
2×
＋
2×
＋
2×
＝
.
答案：
7．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.
解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.
答案：1
8．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E(X)＝，E(η)＝
；②E(X2)＝E(η)；③E(η2)＝E(X)；④D(X)＝D(η)＝
.
其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：X的分布列为：
E(X)＝0×＋1×
＋2×
＝
；E(X2)＝0×
＋12×
＋22×
＝
.
D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－(
)2＝
.
η的分布列为：
E(η)＝1×＋2×
＋3×
＝
；
E(η2)＝12×＋22×
＋32×
＝
，
D(η)＝E(η2)－(E(η))2＝－
2＝
.
答案：①②④
9．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求工期延误天数Y的均值与方差．
解析：由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
10．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2(单位：s)，其分布列如下：
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
解析：∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)< D(X2)．
由上可知，A面大钟的质量较好．
[B组 能力提升]
1．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )
A．6,2.4 B．2,2.4
C．2,5.6 D．6,5.6
解析：若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案：B
2．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则σ(X3)＝( )
A．0.5 B.
C. D．3.5
解析：∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，
∴n＝10.
又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝，
∴p＝.
又X3～B(n，p)，∴X3～B，
∴σ(X3)＝＝
＝
.
答案：C
3．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析：由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，c－a＝，以上三式联立解得a＝
，b＝
，c＝
，故D(ξ)＝
.
答案：
4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．
解析：记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，
依题意知：ξ～B(25,0.8)．
所以E(ξ)＝25×0.8＝20，D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，
所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.
答案：80 64
5．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差为
.
(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解析：因为每一株沙柳成活率均为p，种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此ξ服从二项分布，可以用二项分布来解决．
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝
.
ξ的分布列为
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则
P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＋
＋
＋
＝
，
或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－(＋
＋
)＝
.
6．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解析：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋
2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a10e18d8178884868762caaedd3383c4bb4cb4e8.html
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