高等数学第三章课后习题答案

第三章 中值定理与导数的应用

1. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。

解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。

2．不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数可导，

且。由罗尔定理知，至少存在

使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。

3．若方程 有一个正根 证明:

方程必有一个小于的正根。

解：取函数。上连续，在内可导，且由罗尔定理知至少存在一点使即方程必有一个小于的正根。

4．设 求证不等式：

证明：取函数在[a,b]上连续，在（a, b）内可导，

由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，

即，

故

5．设在上连续，在内可导，证明存在使

证明：取函数，则在上连续，在内可导，由柯西中值定理知，存在，使，

即。

6．证明恒等式:

证明：取函数，则. 则因为，故。

7．证明：若函数在内满足关系式且 则.

证明：故，又

8．用洛必达法则求下列极限

（1）

解：

（2）

解：

（3）

解：

（4）

解：

（5）

解：

（6）

解：

（7）

解：

（8）

解：因为，而.

所以

（9）

解：因为，而,

所以，

9. 验证 存在，但是不能用洛必达法则求出。

解：由于不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：。

10. 当时，求函数的阶泰勒公式。

解：因为

故

其中介于x与之间.

11. 求函数的阶麦克劳林公式。

解：因为故

其中介于x与0之间。

12． 确定函数的单调区间。

解：函数除外处处可导，且

令，得驻点这两个驻点及点把区间分成四个部分区间

当时，，因此函数在内单调减少。

当时，0' altImg='3e1a91945c68bc60e1eff498fb64e475.png' w='47' h='20' class='_1'>，因此函数在内单调增加。

13．证明不等式：当时，

证明：取函数

因此，函数在上单调增加，故当时，，即

亦即，当时，

14. 设在时都取得极值，试确定的值，并判断在是取得极大值还是极小值？

解： ，在取得极值，则，，故

又因，故，所以在时取得极大值；0' altImg='955e4f1a78f962951e3ca7b483fc1a87.png' w='259' h='43' class='_2'>，所以在时取得极小值。

15．求函数在闭区间上的最大值与最小值。

解：函数除外处处可导，令，得驻点又因，，，，

故，最小值为，最大值为。

16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，

才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

解：设界面周长为，已知及即

故

令，得驻点由0' altImg='636d9c3fafec7a57709ef1bf45476443.png' w='211' h='73' class='_2'>知为极小值点。

又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。

17．求函数图形的拐点及凹或凸的区间。

解：

令，得。

当时，，因此函数在内是凸的；

当时，0' altImg='761a48e7e9dc28995c618297168b1386.png' w='53' h='20' class='_2'>，因此函数在内是凹的；

当时，，因此函数在内是凸的。

曲线有两个拐点，分别为

18．利用函数图形的凹凸性，证明:

证明：取函数则

当时，0,t∈(0,+∞)' altImg='70b262d5750edaa9525eb2220608b379.png' w='183' h='21' class='_2'>，故函数在上是凹的，故对任何，恒有

即

19．试决定曲线中的 使为驻点,为拐

点，且通过.

解：由题设知，即.

解得

20．描绘函数的图形。

解：（1）定义域；

（2）.

（3）列表如下：

（4），.

x=1是垂直渐近线；y=0是水平渐近线.

(5)取辅助点.

（6）作图：

21．求椭圆在点处的曲率及曲率半径。

解：两边对x求导得, 从而.

两边对再x求导得.

把代入得,

把代入.

因此椭圆在点处的曲率为,

曲率半径

22．试问：抛物线上哪一点处的曲率最大？

解：

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