人教B版2019届高中数学选修2-2习题：第一章 - 导数及其应用1.3.3导数的实际应用 - 含答案

发布时间：2019-07-03 00:58:33 来源：文档文库

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1.3.3 导数的实际应用

课后训练

1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)．

A．10 B．15 C．25 D．50

2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是word/media/image3_1.png则总利润最大时，每年的产量是(　　)．

A．100 B．150 C．200 D．300

3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(　　)．

A．word/media/image4_1.pngcm B．word/media/image5_1.pngcm

C．word/media/image6_1.pngcm D．word/media/image7_1.pngcm

4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)．

A．word/media/image8_1.png B．word/media/image9_1.png C．word/media/image10_1.png D．word/media/image11_1.png

5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．

6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．

7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．

word/media/image12_1.png

8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．

word/media/image13_1.png

(1)若d＝2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；

(2)若word/media/image14_1.png，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．

参考答案

1. 答案：C

2. 答案：D　由题意，总成本为C＝20 000＋100x.

所以总利润为P＝R－C

＝word/media/image15_1.png

则word/media/image16_1.png令P′＝0，得x＝300，

易知当x＝300时，总利润最大．

3. 答案：D　设圆锥的高为x，则底面半径为word/media/image17_1.png，

其体积为V＝word/media/image18_1.pngπx(202－x2)(0＜x＜20)，

V′＝word/media/image19_1.pngπ(400－3x2)，令V′＝0，

解得word/media/image20_1.png，word/media/image21_1.png(舍去)．

当0＜x＜word/media/image22_1.png时，V′＞0；当word/media/image23_1.png＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝word/media/image24_1.png时，V取最大值．

4. 答案：C　设底面边长为x，则表面积S＝word/media/image25_1.pngx2＋word/media/image26_1.pngV(x＞0)，S′＝word/media/image27_1.png(x3－4V)，

令S′＝0，得唯一极值点word/media/image28_1.png.

5. 答案：6 cm　3 cm　4 cm　设底面两邻边的长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则72＝2x2·y，所以word/media/image29_1.png，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋word/media/image30_1.png.则S′＝8x－word/media/image31_1.png，令S′＝0，得x＝3.所以长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时表面积最小．

6. 答案：word/media/image32_1.png　如图，设∠OBC＝θ，则0＜θ＜word/media/image33_1.png，OD＝rsin θ，BD＝rcos θ.

word/media/image34_1.png

∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)＝r2cos θ＋r2sin θcos θ.

令S△ABC′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.

得cos 2θ＝sin θ.又0＜θ＜word/media/image35_1.png，

∴θ＝word/media/image36_1.png，∴当θ＝word/media/image37_1.png时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝word/media/image38_1.png时面积最大．

7. 答案：分析：设矩形一边长为x m，从而得到总造价关于边长x的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．

解：设矩形污水处理池的长为x m，宽为word/media/image39_1.pngm，据题意word/media/image40_1.png解得word/media/image41_1.png≤x≤16，y＝word/media/image42_1.png×400＋word/media/image43_1.png×248＋200×80

＝800x＋word/media/image44_1.png＋16000(word/media/image41_1.png≤x≤16)，令y′＝800－word/media/image44_1.png＝0，得x＝18，当x(0,18)时，函数为减函数；当x(18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．