数学选修2-2知识点总结
一、导数
1.函数的平均变化率为
注1:其中
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数在
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;
5、常见的函数导数
函数 | 导函数 |
6、常见的导数和定积分运算公式:若
和差的导数运算 | |
积的导数运算 | 特别地: |
商的导数运算 | 特别地: |
复合函数的导数 | |
微积分基本定理 | (其中 |
和差的积分运算 | 特别地: |
积分的区间可加性 | |
用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
②令
③令
[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
(3)求方程
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查
8.利用导数求函数的最值的步骤:求
⑴求
⑵将
9.求曲边梯形的思想和步骤:分割
10.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
性质5 若
①推广:
②推广:
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.
12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
14.归纳推理的思维过程大致如图:
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义:
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
18.演绎推理的定义:
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19.演绎推理的主要形式:三段论
20.“三段论”可以表示为:①大前题:M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。
24反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 | 反义词 | 原结论词 | 反义词 |
至少有一个 | 一个也没有 | 对所有的x都成立 | 存在x使不成立 |
至多有一个 | 至少有两个 | 对任意x不成立 | 存在x使成立 |
至少有n个 | 至多有n-1个 | p或q | |
至多有n个 | 至少有n+1个 | p且q | |
27.反证法的思维方法:正难则反
28.归缪矛盾
(1)与已知条件矛盾:
(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾.
29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤
(1)证明:当n取第一个值
(2)假设当n=k (k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
[注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
规定:
强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。
31.数集的关系:
32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数
由于有序实数对
34.求复数的模(绝对值)与复数
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则:
注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
②复数的乘法法则:
③复数的除法法则:
36.共轭复数:两复数
常见的运算规律
设是1的立方虚根,则,
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