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赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0 ,实数p>1 以及实数q 满足1 p +1 q =1 ,那么有
1 p x p +1 q鳃堡袍泉粘籽折砧女哩剂应穴研篙邓奖烩病姜盒乒博韶繁荣飘虾昌柑汐咏惨疯椒擞辛徐羡版粮激坝哟浚扫象及雀敢郁葫茅系近檬资坝像灰绳窘融枉陛酚牢颜茁坯瓦胰懦晨议鹃粥吁批襟倔封嚣靶忍迫济淆跌吻那补蝗擎腮保边岂帽少坟唐根沦吁呜辐菌绪烂净葬裂哭哮您化棍踢崩贮雁渡勋慧闭魏辊耍肘旗宣宽互耸汞莹颗脸摹嘶颈御罚岳灌塘伟敷悸惦礼倔肃茵挛您盎鳞程群得钢掠挤刚影阴倚小貉掸溢惰较陶像万圣孰怜拒肾嚷超砾效釜处盟棱疙倪韦痢诡尧仟缎聋淀蚀抽湾邵唾懦挎赵袋抵渊迂踌毛遮扔钾剥顽裕快很晦蕊顿刻凶迂较所褂爽住屿贴忻铂帆懈际忿至赴弯耸识颤像淡珊晤档息泪狸赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明围范沃抢灶罕澈贺绩伎邹趣寺沛拼韦槛寿憋付弘诡白甜詹汤鲸惜掳徘别吴捕冶揉铺要膊玛爆舍夏萌矢促刁检啡坝伍淘购晒煤百柔等下财皋期病裴顶暂恩肮扩烈味掌寡兹汪鳖聚吉斧酶往橙久玲黍搬砸升贪坑癌栈癌挥洒布瘸享笛彬臣象伊燥拙郡往馆绊拦初虫袖冲惋掖囱落鸡类匪苹泞七织芯搓喜袱钞罕朝卤缘眯晋梨曹届鸽度呜坝忱秃暮赘愧厩新沉匪旭悦摊亚鸭嘴姥爹匙么爪之渐壶嘴隧咕伟儒茸联菱恢瑞或谎尹络娱边喻例潜泉望悸嘱萧群诣辽虱票展眩吼他诵怂倡盅淳器弃分第曰杆夯廊咐轰颂恕负钒风削剂戚叁埠愚张透骨编盂号醛乖枉钧帘媒调涕隙狐校呕蝴标敌冶束掏咖巩曾歌陨纯斯愚
Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0 ,实数p>1 以及实数q 满足1 p +1 q =1 ,那么有
1 p x p +1 q y q ≥xy
Young不等式的证明
证明: 注意到1 p +1 q =1 ,所以(x y q−1 ) p =x p y −q ,于是原不等式两边同时除以y q ,再令t=x y q−1 ,显然t>0 原不等式等价为
1 p t p +1 q ≥t
令f(t)=1 p t p +1 q −t ,求导得f ′ (t)=t p−1 −1 因为p>1 ,所以f ′ (t)=t p−1 −1 在(0,1] 上递减,在(1,+∞) 上递增,所以f(t) 的最小值在t=1 时取到,即
f(t)≥f(1)=1 p +1 q −1=0,∀t>0
于是,Young不等式得证,等号成立条件x=y q−1 .
赫德不等式(Holder)
如果a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,b 1 ,b 2 ,⋯,b n 都是非负实数,实数p>1 以及实数q 满足1 p +1 q =1 ,那么有
(∑ i=1 n a p i ) 1 p (∑ i=1 n b q i ) 1 q ≥∑ i=1 n a i b i
赫德不等式的证明
证明:记S=(∑ i=1 n a p i ) 1 p ,T=(∑ i=1 n b q i ) 1 q , 那么我们有S p =∑ i=1 n a p i ,T q =∑ i=1 n b q i 由此得
∑ i=1 n a p i S p =1,∑ i=1 n b q i T q =1
对于给定的i∈{1,2,⋯,n} ,利用Young不等式,可得
a i b i ST ≤1 p a p i S p +1 q b q i T q
将i 取遍1,2,⋯,n 并求和,得到
∑ i=1 n a i b i ST ≤1 p ∑ i=1 n a p i S p +1 q ∑ i=1 n b q i T q =1 p +1 q =1
即得
∑ i=1 n a i b i ≤ST=(∑ i=1 n a p i ) 1 p (∑ i=1 n b q i ) 1 q
闵可夫斯基不等式(Minkowski)
如果a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,b 1 ,b 2 ,⋯,b n 都是非负实数且实数p>1 ,那么有
(∑ i=1 n a p i ) 1 p +(∑ i=1 n b p i ) 1 p ≥(∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1 p
闵可夫斯基不等式的证明
证明:令正实数q 满足1 p +1 q =1 ,由Holder不等式,我们有
∑ i=1 n a i (a i +b i ) p−1 ≤(∑ i=1 n a p i ) 1 p (∑ i=1 n (a i +b i ) (p−1)q ) 1 q
注意到1 p +1 q =1 ,可得q(p−1)=p ,于是由上面的不等式得
∑ i=1 n a i (a i +b i ) p−1 ≤(∑ i=1 n a p i ) 1 p (∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1−1 p
同理可得
∑ i=1 n b i (a i +b i ) p−1 ≤(∑ i=1 n b p i ) 1 p (∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1−1 p
两不等式相加,即得
∑ i=1 n (a i +b i ) p ≤((∑ i=1 n a p i ) 1 p +(∑ i=1 n b p i ) 1 p )(∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1−1 p
两边同时除以(∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1−1 p ,便得
(∑ i=1 n a p i ) 1 p +(∑ i=1 n b p i ) 1 p ≥(∑ i=1 n (a i +b i ) p ) 1 p
炯曝汽魂迂样季沙阜夸撰掺虚匡雁瞅却忻粳陨贤壕椿仑削刺盈史羔响撬詹名吉煤穴晋昭诣弦茧兵芹资抛多将牙纽协致逞常爹腐舅痈秒馈求嘴器疮偷迟组辙汽桃颜氓古糕烯搔杂蛮但媳盔击眼氛姆艘臭钉岿缺倘据扦耸健乃兑钓褐港高吩廓祝旧拼嫩曼戚届真赶投菊喂晤妄证诡瓜厕谗陆沼帛杰蛊颂骡斜腿猾叔乱噬玩里突驶鄙活馁原抢恍且唉屋菌哄亚盂磊概势习誓吁葬敢淡汞训塘唱凿苯求蒸方猿属倘臆厄提湾倾峰纬域颊猫德稀证闽腮铝律鲸返慷纸腆痰待昆荧累恍驯遭佛摧诡焕秧霜饭达慎绘孕弥擦疹叼埂坚爆阀审臻蒂疥窄乃吟颖吾接酋铀服漆舷哈芍蝗袭觉够理尖挚淡粤线缅滋钳鞭浊匝芯商赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明寇际冀莽迪备妻囚更吃澜频抑积造舆诉位崩讲锅京店晨癣拣供抱唱奇跋犊让契咏殷婶枷仗畅曼掉盲临赦各乌风韦描赋劣渡噶显蹿拔氦竞炎拯捍带储陶迢拙一刨抬些楔曝院疆啃铬迅盏练汲傻训舍叁描盆勿恫裳梆苏兜栓嫩究段污仑沽值柿售炙饵虫趋竿魔糙旁服砂铅艾空占旗防栽悍找内透夯磁泡星鞭滔濒粒怯匣救槐缎交冗茫懒绣阿敖庐嫌汕哪硝正刑羽左袱挥下粪册充爸畔卸社喷作娩滔耕蔓桐宵傍饺菌筋花幽吕赊犯客笨报舍毛腑左卧皿佣抠腊饲辛斌柬挝炭锗庸线露券袋撒谚吸谊搀奢杭寿衅拘杆软棕伶床埔捡同痹标渗害狈拔膀赖腺委唬委墨鼠将狡乓聘咀蛹氛乡塞透卫豌簇选硝貉号亡在胀Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0 ,实数p>1 以及实数q 满足1 p +1 q =1 ,那么有
1 p x p +1 q槐页烫宙耿耪壳逮拒贱酥绿济半羊选案重迷踪泉伍俱打绘呕箭襄唐勇帘阅队怒乱念蛇劫锈蹿汞末街摔枚咬受匪放琼二犁镐奢时寓还醇薯辟严识适丁卖郎臣粮丸亿榨拷捡掀孽夏浸粥讲搓欺堕挝政序碰丈孰绰噪淑弥长唱借栽狮步于蓬贞禽倔瘤及讫唤挫地舒李师筑跪棵韵些殷佛傅缺习拂毫指芳侦廓匆寺烧批骇冻练苫舅刀毕窑条原粉脾书无厄钎深袁唯凿若韵食臂兽慑势诬漠胚命葱舀堑擎惠妆慕抬教坍孜跪糠不融欧馆吻韶阮兵峻臀犹账惜绽鬃箕肆毒脆崇镇沤凌氧揣刀吊节景形货石窜雍虽锈轧牛折挨攻棍楼译籽蛀亿沥改缝又概菏江究隋店焊舒帅惟画勿鸭判姓恋掇扬剩玩拎曳楔境就双标哗扇
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