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江西省两校2016届高三数学上学期第一次联考试题 理

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2016届高三第一次联考数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1．已知集合A{xZ|x5},B{x|x20}，则AB等于（）
A．（2，5）
B．2,5

C．{2，3，4}

D．{3，4，5}
2．下列函数中，既是偶函数又在(0,上单调递增的是（）
A．y＝e
x
B．y＝lnx
2
C．y＝xD．y＝sinx
3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（）
2A．－
3

1B．－
3
3

1C．3

2D．3
2x，x<0，
4．已知函数f(x＝π
－tanx，0≤x<，2
A．2


B．1
2

则f[f(]（）

4

C．2

D．1
5．若命题“∃x0∈R，使得x0＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（）
A．[2,6]
B．[6,2]
C．(2,6
D．(6,2
π
6．将函数y＝sin(2x＋φ的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数f(x的图像，
8π
则“f(x是偶函数”是“φ＝”的（）
4
A．充分不必要条件C．充分必要条件


B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3
3
正视图
13
侧视图
7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（）
A．14

B．15

C．16

D．18
俯视图
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：①d0；②
S110；③S120；④数列Sn中的最大项为S11；⑤a6a7.其中正确命题的个数是
（）
A．5


B．4


C．3


D．1
x2y2222
9．过双曲线C1:221(a0,b0的左焦点F作圆C2:xya的切线，设切点
ab
为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（）
A．5

B．
5
2

C．5+1
D．
51
2
10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，

-1-

则球面面积为（）
A．42

B．48

C．54

D．60
11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是APB角的平分线，I为PC上

ACAPBIBA
(0，|PA||PB|4，|PAPB|10，一点，满足BIBA(则|BA||AC||AP|的值为（）
A.2


B.3



C.4

D.5
x1(x0
12．已知函数f(x，则函数yf[f(x]1的零点个数是（）
lnx(x0
A．1


B．2

C．3

D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
5
a20＝13．等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11a9a122e，则lna1lna2ln
________.
14．已知函数f(x满足f(x6f(x0，函数yf(x1关于点(1,0对称，f(12，则f(2015_________.
x0
x2y3
15．设x,y满足约束条件yx，则的取值范围是__________.
x14x3y12

16．对于函数yf(x，若在其定义域内存在x0，使得x0f(x01成立，则称x0为函数f(x的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.
①f(x2x22；②f(xsinx,x[0,2]；③f(xx
1
，x(0,；④f(xex；⑤f(x2lnx.x
-2-

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知A450，cosB（1）求cosC的值；
（2）若BC10，D为AB的中点，求CD的长.
1
18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。
7现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取„„，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG
4
.5
1
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．3
P
（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
PF
（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
FC


B
A
G
F
D
E
C
x2y26
20．（本小题满分12分）已知椭圆C:221（ab0）的离心率e，过点
ab3

R(1,0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，且PR2RQ.
（1）当直线l的倾斜角为60时，求三角形OPQ的面积；（2）当三角形OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．
0
-3-

21.（本小题满分12分）已知函数f(xlnxa(x1，g(xex．（1）（i）求证：g(xx1；
（ii）设h(xf(x1g(x，当x0，h(x1时，求实数a的取值范围；（2）当a0时，过原点分别作曲线yf(x与yg(x的切线l1，l2，已知两切线的斜率
e1e21
a互为倒数，证明：．ee


请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．
23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心CC(3,，半径r＝3.

6
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x|x|，g(x|x4|m.（1）解关于x的不等式g[f(x]2m0；
（2）若函数f(x的图像恒在函数g(x图像的上方，求实数m的取值范围.
-4-

江西师大附中、临川一中2016届高三第一次联考
数学（理）试卷
命题人：万炳金审题人：廖涂凡2015.12
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1．已知集合A{xZ|x5},B{x|x20}，则AB等于（）
A．（2，5）
B．2,5

C．{2，3，4}

D．{3，4，5}
【答案】C
【命题意图】本题主要考查不等式的解法,集合的运算,属容易题.
【解析】A{4,3,2,1,0,1,2,3,4},B{x|x2}，AB={2，3，4},选C.2．下列函数中，既是偶函数又在(0,上单调递增的是（）
A．y＝e【答案】B
【命题意图】本题主要考查函数性质：单调性、奇偶性等属容易题.
【解析】y＝x，y＝e为(0，＋∞上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A，C；y＝sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y＝lnx满足题意，故选B.3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（）
2A．－
3【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列通项及前n项和公式,属容易题.
10×92
【解析】a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋d＝10a1＋45d＝70，解得d＝.故选D.
232x，x<0，
4．已知函数f(x＝π
－tanx，0≤x<，2
A．2【答案】C
【命题意图】本题主要考查复合函数求值，属容易题.
πππππ3
【解析】∵∈[0，，∴f(＝－tan＝－1.∴f(f(＝f(－1＝2×(－1＝－2.
424445．若命题“∃x0∈R，使得x0＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（）
A．[2,6]【答案】A
【命题意图】本题主要考查用特称命题的否定解决问题，属中等题.
22
【解析】∵命题“∃x0∈R，使得x0＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x＋
B．[6,2]
C．(2,6
D．(6,2
2
3
2
x
B．y＝lnx
2
C．y＝xD．y＝sinx
x

1B．－
3

1C．3

2D．3

则f[f(]（）

4
B．1
C．2

D．1
mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3≤0，∴2≤m≤6.
-5-

π
6．将函数y＝sin(2x＋φ的图像沿x轴向左平移个单位后，得到
8π
一个函数f(x的图像，则“f(x是偶函数”是“φ＝”的（）
4
A．充分不必要条件C．充分必要条件


B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3
3
正视图
13
侧视图
【答案】B
【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及充分必要条件，属中等题.
π
【解析】把函数y＝sin(2x＋φ的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝
8πππ
sin(2x＋＋φ，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以则“f(x是
442π
偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，选B.
4
7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（）
A．14

B．15

C．16

D．18
俯视图
【答案】B
【命题立意】本题考查由三视图构造几何体的直观图并求其体积，属中等题.【解析】三棱柱体积—三棱锥体积.
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：①d0；②
S110；③S120；④数列Sn中的最大项为S11；⑤a6a7.其中正确命题的个数是
（）
A．5


B．4


C．3


D．1
【答案】C
【命题立意】本题主要考查等差数列相关知识及前n项和增减性等，推理等相关知识，属中等题.
【解析】S6S5a60,S7S6a70,S7S5a6a70,da7a60
S11
11(a1a1112(a1a12
11a60,S126(a6a70,
22
a60,a70,a6a70,a6a7，①②⑤正确
x2y2222
9．过双曲线C1:221(a0,b0的左焦点F作圆C2:xya的切线，设切点
ab
为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（）
A．5

B．
5
2

C．5+1
D．
51
2
【答案】A
【命题立意】本题考查圆锥曲线离心率，属中等题.
【解析】FN2b,F1N2aFNF1N2ab2a,则e5.
10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，

-6-

则球面面积为（）
A．42

B．48

C．54

D．60
【答案】C
【命题立意】本题考查立体几何中的球的切接和球的表面积问题，属中等偏难题.
9227
，S球表4R254.R2
42
11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是APB角的平分线，I为PC上
【解析】ABC外接圆的半径r

BIBA
(0，|PA||PB|4，|PAPB|10，一点，满足BIBA(则|BA||AC||AP|
ACAP
的值为（）
A.2


B.3



C.4

D.5
【答案】B
【命题立意】本题主要考查向量运算，数量积及其几何意义、圆的切线长等，属难题.

【解析】|PAPB||AB|10，PC是APB角的平分线，

ACAP
(0，即AI(，又BIBA(
|AC||AP||AC||AP|
AC
AP
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH
⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，|PA||PB|4，|PAPB|10，
11BHBFPBABPAABPAPB
22BHBIBA
在直角三角形BIH中，cosIBH，所以
|BA|BI

3，

BIcosIBHBH3.
x1(x0
12．已知函数f(x，则函数yf[f(x]1的零点个数是（）
lnx(x0
A．1


B．2

C．3

D．4
【答案】A
【命题立意】本题考查分段及复合函数零点问题，属难题.【解析】利用数形结合知yf[f(x]1仅在(1,内有一零点.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
5
a20＝13．等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11a9a122e，则lna1lna2ln
________.【答案】50
【命题立意】本题考查等比数列性质问题，属中等题.
【解析】因为{an}为等比数列，所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e.
于是lna1＋lna2＋„＋lna20＝ln(a1a2a3„a20．
而a1a2a3„a20＝(a1a20＝(e＝e，因此lna1＋lna2＋„＋lna20＝lne＝50.
10
510
50
505
-7-

14．已知函数f(x满足f(x6f(x0，函数yf(x1关于点(1,0对称，f(12，则f(2015_________.
【答案】2
【命题立意】本题考查函数周期、图像平移、对称、奇偶性等性质问题，属中等题.【解析】由于fxfx6，fx12fx66fx6fx，故函数的周期为12，把函数yfx的图象向右平移1个单位，得yfx1，因此
0,0对称，
f2015f1671211f11f1112f1f12.
yfx
的
图
象
关
于
为奇函数，
x0
x2y3
15．设x,y满足约束条件yx，则的取值范围是__________.
x14x3y12

【答案】3,11
【命题立意】本题考查线型规划、斜率等问题，属中等题.【解析】
x2y32(y1
1，可行域内点与点（-1，-1）斜率的2倍加1.
x1x1
16．对于函数yf(x，若在其定义域内存在x0，使得x0f(x01成立，则称x0为函数f(x的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.
①f(x2x22；②f(xsinx,x[0,2]；③f(xx
1
，x(0,；④f(xex；⑤f(x2lnx.x
【答案】①②④
【命题立意】本题考查方程、函数零点、导数求最值，属中等偏难题.【解析】①由x(2x22=1得：2x222x10x
2
，所以①具有“反比点”.2
②设h(xxsinx1，∵h(0=-1<0,h
2
0,
22
∴h(xxsinx10xsinx1在0,

上有解，所以②具有“反比点”.2
③由xx
12
1x0x00,，所以③不具有“反比点”；x
④若xex1令g(xxex1,g(010,g(1e10④具有“反比点”⑤若2xlnx1xlnx
1
在0,上有解，2
令hxxlnxh(xlnx10xe1，

-8-

可得h(x在xe1有最小值e1，而e1
1
，所以⑤不具有“反比点”2
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知A450，cosB（1）求cosC的值；
（2）若BC10，D为AB的中点，求CD的长.
【命题立意】本题考查诱导公式；同角三角函数关系；正弦定理；余弦定理.属中等题.【解析】（1）cosB
4
.5
43
,且B(0,180，∴sinB1cos2B．---------2分55
cosCcos(180ABcos(135B----------------3分
cos135cosBsin135sinB
24232
．--------------6分102525
（2）由（1）可得sinC1cos2B1(
由正弦定理得
2272．--------------8分1010

BCAB10AB
，即，解得AB14．------------10分
7sinAsinC22102
4222
在BCD中，BD7，CD710271037，
5
所以CD37．-------------------------12分
1
18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。
7现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取„„，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．
【命题立意】本题考查概率及概率分布.属中等题.
n（n－1）2
21Cnn（n－1）
【解析】(1设袋中原有n个白球，由题意知＝2＝＝，--------3分
7C77×67×6
2
所以n(n－1＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去．即袋中原有3个白球．-------------------6分(2由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5.
34×324×3×364×3×2×3
P(ξ＝1＝；P(ξ＝2＝＝；P(ξ＝3＝＝；P(ξ＝4＝＝
77×677×6×5357×6×5×4
3；35
4×3×2×1×31
P(ξ＝5＝＝.所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：
7×6×5×4×335
ξ12345
32631
P
77353535

-9-

E2-------------------12分(第2问每个答案一分19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，
1
垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AGGD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
3
（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
PPF
（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
FC
【命题立意】本题考查立体几何的问题.属中等题.
【解析】(1以G点为原点，GB、GC、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0，C(0，2，0，P(0，0，4，故E(1，1，0，
GE＝(1，1，0，PC＝(0，2，4-------2分PCcosGE，
GEPC|GE||PC|

210
----4分10220B
A
G
F
D
E
C
∴GE与PC所成角的余弦值为分
10
．-------------------610
(2解：设F(0，y，z，则DF(0，y，z(∵DFGC，∴DFGC0，
3333
，，0(，y，z2222
33
，z(0，2，02y30，∴y，-------------------8分22
3
又PFPC，即(0，，z－4＝λ(0，2，－4，
23
∴z=1，故F(0，，1，-------------------10分
2
即(，y
32
31
PF(0，，3，FC(0，，1，∴PF
22FC
35
23-------------------12分52
x2y26
20．（本小题满分12分）已知椭圆C:221（ab0）的离心率e，过点
ab3R(1,0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，且PR2RQ.
（1）当直线l的倾斜角为60时，求三角形OPQ的面积；（2）当三角形OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．
【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值.
属中等题.
0

622222
得a3b，所以C:x3y3b．-------------------2分3
x12x2
1uuruuur3
设P(x1,y1,Q(x2,y2,，则由PR2RQ，R(1,0，得---------3分
y2y2103
【解析】由e

-10-

uuruuur
由PR2RQ知直线l斜率存在设为k,得直线l的方程yk(x1，代入C:x23y23b2
6k2x1x22uuruuur3k1
得(3k21x26k2x3k23b20，由PR2RQ知0，且解得
22
xx3k3b123k21
3k23x123k1
，-------------------6分2
x3k323k21
k3k1
SVOPQORy1y2x1x22-------------------8分
223k1
3k33
（1）k3代入得SVOPQ2-------------------10分
3k110
k3k133
（2）（k0时）SVOPQORy1y2x1x22
1223k13k2k
1513222
时三角形OPQ的面积最大，把k代入得b．a5k2,k
3333
x23y2
1．-------------------12分于是椭圆C的方程为55
注：其他书写酌情给分，原则上每一问6分.
21.（本小题满分12分）已知函数f(xlnxa(x1，g(xex．（1）（i）求证：g(xx1；
（ii）设h(xf(x1g(x，当x0，h(x1时，求实数a的取值范围；（2）当a0时，过原点分别作曲线yf(x与yg(x的切线l1，l2，已知两切线的斜率
e1e21a互为倒数，证明：．ee
【命题立意】本题考查用导数求证不等式、求参数范围、含参讨论等，属难题。【解析】（1）（i）令ux(ex(1
x
，则ux(e
x
,1x0时u(x0，x0时u(x0，
x
所以u(xu(00，即g(xx1;-----------------2分
x
（ii）h(xf(x1g(xln(x1axe，h(xe
1
a．x1
①当a2时，由（1）知ex1，所以h(xe
x
11ax1a2a0，x1x1
h(x在0,上递增，h(xh(01恒成立，符合题意．------------------4分
x
1(x12ex1
②当a2时，因为h(xe0，所以h(x在0,上递22
(x1(x1
增，且h(02a0，则存在x0(0,，使得h(00．
所以h(x在(0,x0上递减，在(x0,上递增，又h(x0h(01，所以h(x1不恒
x
成立，不合题意．

-11-

综合①②可知，所求实数a的取值范围是,2．------------------6分（2）设切线l2的方程为yk2x，切点为(x2,y2，则y2e2，
x
y2x
，所以x21，y2e，则k2e2e．x2
111
由题意知，切线l1的斜率为k1，l1的方程为yk1xx．
ek2e
11y
设l1与曲线yf(x的切点为(x1,y1，则k1f(x1a1，
x1ex1
x11
所以y111ax1，a．
ex1e
11
又因为y1lnx1a(x11，消去y1和a后，整理得lnx110-------9分令
x1e
1111x1
m(xlnx10，则m'(x22，
xexxx
m(x在(0,1上单调递减，在(1,上单调递增．
1111
若x1(0,1，因为m(2e0，m(10，所以x1(,1，
eeee
1e1e2111
a而a在x1(,1上单调递减，所以．
eeex1e
若x1(1,，因为m(x在(1,上单调递增，且m(e0，则x1e，
11
所以a0（舍去）．
x1e
k2g(x2ex2
e1e21
a综上可知，．------------------12分ee
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用
2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．证明：（1）DE//AC,CDEACD，又DE切圆O于点D，CDECBD，
ACDCBD，而ACDABD，CBDABD，即BD平分∠ABC；-------------5（2）由（1）知CBDABD，又CBDCAD，
ABDCAD又ADH为公共角，
∴DBA与DAH相似，
分
AHAD
，ABBD
∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴AH=3．-------------10分23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心CC(3,，半径r＝3.

6
-12-

（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．【解析】(1设M(ρ，θ为圆C上任一点，OM的中点为N，
π∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，由垂径定理可得|ON|＝|OC|cosθ－，6ππ∴|OM|＝2×3cosθ－，即ρ＝6cosθ－为所求圆C的极坐标方程．-------------5
66分
(2设点P的极坐标为(ρ，θ，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所以点Qπ33的坐标为ρ，θ，由于点Q在圆上，所以ρ＝6cosθ－.故点P的轨迹方程为ρ＝
655π10cosθ－.-------------10分
6
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x|x|，g(x|x4|m.（1）解关于x的不等式g[f(x]2m0；
（2）若函数f(x的图像恒在函数g(x图像的上方，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由g[f(x]2m0得||x|4|2，2|x|422|x|6故不等式的解集为6,22,6-------------5分（2）∵函数f(x的图象恒在函数g(x图象的上方
∴f(xg(x恒成立，即m|x4||x|恒成立------------8分∵|x4||x||(x4x|4，
∴m的取值范围为m4.-------------10分
-13-

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9a48c8a57e21af45b307a8d8.html

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