课题：3.2.2函数模型应用的实例
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象
基础知识工具箱
典例精讲剖析
例1．从盛满20ml酒精的容器里倒出1ml，然后用水添满，再倒出1ml混合溶液后又用水添满，这样继续进行，如果倒第k(k≥1)次后，共倒出纯酒精xml，倒第k＋1次后共倒出纯酒精f(x)ml，求函数f(x)的表达式
例3．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：
p＝(t∈N*)
设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．
【解析】设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝
(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900元．
(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125元．
综合(1)，(2)得ymax＝1125元．
因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．
例4．某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：
该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．
若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元，若用气量超过Am3元，超过部分每m3付B元，又知保险费C不超过5元，
根据上表求A，B，C.
【解析】设每月用气量为x m3，支付费用为y元，根据题设条件得y与x的函数关系式为：
y＝
由0<C≤5有C＋3≤8，
从上表中看此家庭第二、第三月份的费用均大于8，故用气量25 m3,35 m3均大于最低限度A m3，
故而将x＝25，x＝35分别代入②得：
④－③得B＝0.5，代入③得A＝2C＋3，⑤
再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x＝4代入②得：
3＋0.5[4－(3＋2C)]＋C＝4，
∴3.5－C＋C＝4，∴3.5＝4矛盾，
所以A≥4，一月份付款方式选①，
所以3＋C＝4，即C＝1代入⑤得A＝5，
所以A＝5，B＝0.5，C＝1.
精练部分
1．某人1997年7月1日到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，到2000年7月1日可取回款( )
A．a(1＋x)3元 B．a(1＋x)4元 C．a＋a(1＋x)3元 D．a(1＋x3)元
[答案] A
[解析] a(1＋x)2000－1997＝a(1＋x)3，故选A.
2．如右图，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为 ( )
[答案] C
[解析] 当0≤t≤1时，设l交OA于E，交x轴于F，作AD⊥x轴于D，则△OEF～△OAD，所以＝
，所以EF＝2t，由题意S＝
OF·EF＝
·t·2t＝t2.当t>1时，S＝
OD·AD＋AD·(t－1)＝
·1·2＋2·(t－1)＝2t－1，所以大致图象为C.
3．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
[解析]由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝
.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
[解析] 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
设获得的利润依次为P、Q，则它们与投入资金的关系是P＝x，Q＝
.
所以y＝x＋
(0≤x≤3)，
令t＝(0≤t≤
)，则x＝3－t2.
所以y＝(3－t2)＋
t＝－
2＋
.
当t＝时，ymax＝
＝1.05(万元)，x＝
＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.
5．经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天其价格直线上升，而后60天其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数表示式(x表示投放市场的第x天)；
(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)＝－x＋
(1≤x≤100，x∈N)，问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少千元？
[解析] (1)用待定系数法不难得到
f(x)＝
(2)设日销售额为S，当1≤x<40时，
S＝(x＋22)(－
x＋
)＝－
(x2－21x－9 592)，
∴x＝10或11时，Smax＝＝808.5(千元)
当40≤x≤100时，
S＝(－x＋52)(－
x＋
)＝
(x2－213x＋11 336)，
∴x＝40时，Smax＝736(千元)．
综上分析，日销售额最高是在第10及第11两天，最高销售额为808.5千元．
6．银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%、2.43%、2.70%、2.88%，现将1 000元人民币存入银行，问应该怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？
[解析] 存5年共有6种存款方式
①一次性存入5年，本金和利息的总和为1 000＋5×1 000×2.88%＝1 144(元)；
②存一个三年，再存一个两年，
(1 000＋3×1 000×2.70%)(1＋2×2.43%)＝1133.54(元)；
③存三年，再存两个一年，
1 000(1＋3×2.70%)(1＋2.25%)2＝1130.19(元)；
④存两个两年，再存一个一年，
1 000(1＋2×2.43%)2(1＋2.25%)＝1124.30(元)；
⑤存一个两年，再存三个一年，
1 000(1＋2×2.43%)(1＋2.25%)3＝1120.99(元)；
⑥存五个一年
1 000(1＋2.25%)5＝1117.68(元)；
∴一次性存入5年本金和利息的总和最大．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9a36adb22b160b4e777fcf6d.html
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