天津市和平区2019年中考数学一模试卷（ 含解析）

2019年天津市和平区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．（3分）计算﹣15+35的结果等于（　　）

A．20 B．﹣50 C．﹣20 D．50

2．（3分）sin60°的值等于（　　）

A． B． C． D．1

3．（3分）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）将6120 000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.612×107 B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104

5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）估计的值在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

7．（3分）计算的结果为（　　）

A．0 B．1 C． D．

8．（3分）《九章算术》中己载：“今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半面钱五十，乙得甲太半面亦钱五十．问甲乙持钱各几何？“其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50：如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50问甲、乙两人共带了多少钱？设甲带钱为x，乙带钱为y，根据题意，可列方程组为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　）

A．66° B．104° C．114° D．124°

10．（3分）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1

11．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为多少？（　　）

A．1 B． C．2 D．

12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣2.0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，有下列结论：①2b﹣c＝2 ②a＝③，其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分

13．（3分）计算（2x2）3的结果等于　 　．

14．（3分）计算（+）（﹣）的结果等于　 　．

15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有2个红球，3个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其它差别从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是　 　．

16．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为　 　．

17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，点B在线段DG上，则BE的长为　 　．

18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上

（1）的值为　 　；

（2）是以O为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A，E′B，当E′A+E′B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E′的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答

（Ⅰ）解不等式①，得　 　

（Ⅱ）解不等式②，得　 　

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．

20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．

（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为　 　，图①中m的值为　 　

（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．

21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A＝50°，∠B＝70°，连接DO，CO，DC

（1）如图①，求∠OCD的大小：

（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．

22．（10分）如图，某学校甲楼的高度AB是18.6m，在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶D处的仰角为40°，在甲楼楼顶B处测得乙楼楼顶D的仰角为19°，求乙楼的高度DC及甲乙两楼之间的距离AC（结果取整数）

参考数据：cos19°≈0.95，tan19°＝0.34，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84

23．（10分）某市居民用水实宁以户为单位的三级阶梯收费办法：第一级：居民每户每月用水18吨以内含18吨，每吨收费a元，第二级：居民每户每月用水超过18吨但不超过25吨，未超过18吨的部分按照第一级标准收费，超过部分每吨收水费b元．第三级：居民每户每月用水超过25吨，未超过25吨的部分按照第一二级标准收费，超过部分每吨收水费c元

设一户居民月用水x吨，应缴水费y元，y与x之间的函数关系如图所示

（Ⅰ）根据图象直接作答：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．

（Ⅱ）求当x≥25时，y与x之间的函数关系式；

（Ⅲ）把上述水费阶梯收费方法称为方案①，假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨4元的标准缴费当居民每户月用水超过25吨时，请你根据居民每户月用水量的大小设计出对居民缴费最实惠的方案．

24．（10分）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，点A（3，3），点B（3，0），点O（0，0），将△AOB沿OA翻折得到△AOD（点D为点B的对应点）．

（Ⅰ）求OA的长及点D的坐标：

（Ⅱ）点P是线段OD上的点，点Q是线段AD上的点．

①已知OP＝1，AQ＝，R是x轴上的动点，当PR+QR取最小值时，求出点R的坐标及点D到直线RQ的距离；

②连接BP，BQ，且∠PBQ＝45°，现将△OAB沿AB翻折得到△EAB（点E为点O的对应点），再将∠PBQ绕点B顺时针旋转，旋转过程中，射线BP，BQ交直线AE分别为点M，N，最后将△BMN沿BN翻折得到△BGN（点G为点M的对应点），连接EG，若，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交抛物线于点Q．设P点的横坐标为t，线段PQ的长为d．求出d与t之间的函数关系式，写出相应的自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH＝e，已知d，e是以z为未知数的一元二次方程z2﹣（m+3）z+（5m2﹣2m+13）＝0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ，MH，PM．且MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

2019年天津市和平区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．（3分）计算﹣15+35的结果等于（　　）

A．20 B．﹣50 C．﹣20 D．50

【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此求出算式的值是多少即可．

【解答】解：﹣15+35＝20

故选：A．

【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数加法法则．

2．（3分）sin60°的值等于（　　）

A． B． C． D．1

【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．

【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°＝．

故选：C．

【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．

3．（3分）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

4．（3分）将6120 000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.612×107 B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：6120000＝6.12×106．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】分别判断每个选项的视图是从哪个方向看到的即可求解；

【解答】解：A选项是从上面看到的，是俯视图；

D选项是从正面看到的，是主视图；

故选：B．

【点评】本题考查三视图；熟练掌握三视图的观察方法是解题的关键．

6．（3分）估计的值在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

【分析】直接利用接近的有理数进而分析得出答案．

【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，

∴的值在4和5之间．

故选：C．

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．

7．（3分）计算的结果为（　　）

A．0 B．1 C． D．

【分析】根据同分母分式加减法法则法则计算即可．

【解答】解：

＝，

故选：D．

【点评】本题考查的是分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

8．（3分）《九章算术》中己载：“今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半面钱五十，乙得甲太半面亦钱五十．问甲乙持钱各几何？“其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50：如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50问甲、乙两人共带了多少钱？设甲带钱为x，乙带钱为y，根据题意，可列方程组为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得．

【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，

根据题意，得，

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．

9．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　）

A．66° B．104° C．114° D．124°

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，

由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，

∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，

∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．

10．（3分）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1

【分析】分别把各点代入反比例函数y＝求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．

【解答】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，

∴y1＝＝6；y2＝＝3；y3＝＝﹣2，

∵6＞3＞﹣2，

∴y1＞y2＞y3．

故选：D．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

11．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为多少？（　　）

A．1 B． C．2 D．

【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD的最小值，即可判断．

【解答】解：在菱形ABCD中，

∵∠ABC＝60°，AB＝1，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；

②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为﹣1；

③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PD的最小值为﹣1．

故选：D．

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣2.0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，有下列结论：①2b﹣c＝2 ②a＝③，其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．

【解答】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，

∴＜0，故③错误；

∵OB＝OC，

∴OB＝﹣c，

∴点B坐标为（﹣c，0），

∴ac2﹣bc+c＝0，

∴ac﹣b+1＝0，

∴ac＝b﹣1，

∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，

∴2c＝，

∴a＝，故②正确；

∵ac﹣b+1＝0，

∴b＝ac+1，

∴b＝c+1，

∴2b﹣c＝2，故①正确；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分

13．（3分）计算（2x2）3的结果等于　8x6　．

【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案．

【解答】解：（2x2）3＝8x6．

故答案为：8x6．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

14．（3分）计算（+）（﹣）的结果等于　2　．

【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．

【解答】解：原式＝（）2﹣（）2

＝5﹣3

＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．

15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有2个红球，3个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其它差别从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是　　．

【分析】利用取出绿球概率＝口袋中绿球的个数÷所有球的个数，即可求出结论．

【解答】解：取出绿球的概率为．

故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式，牢记随机事件的概率公式是解题的关键．

16．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为　2　．

【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．

【解答】解：由题意可知：a＝0+（3﹣2）＝1；b＝0+（2﹣1）＝1；

∴a+b＝2．

【点评】解决本题的关键是得到各点的平移规律．

17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，点B在线段DG上，则BE的长为　+　．

【分析】先证明△DAG≌△BAE，得到BE＝DG，连接GE，在Rt△BGE中利用勾股定理可求BE长．

【解答】解：连接EG．

在△DAG和△BAE中

∴△DAG≌△BAE（SAS）．

∴DG＝BE，∠DGA＝∠BEA．

∵∠AEO+∠AOE＝90°，∠BOG＝∠AOE，

∴∠BGO+∠GOB＝90°，即∠GBE＝90°．

设BE＝x，则BG＝x﹣2，EG＝4，

在Rt△BGE中，利用勾股定理可得

x2+（x﹣2）2＝42，

解得x＝+．

故答案为+．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，求线段的长度一般是转化到直角三角形中利用勾股定理求解．

18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上

（1）的值为　　；

（2）是以O为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A，E′B，当E′A+E′B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E′的位置是如何找到的（不要求证明）　构造相似三角形把E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．　．

【分析】（1）求出OE，OB即可解决问题．

（2）构造相似三角形把E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意OE＝2，OB＝3，

∴＝，

故答案为．

（2）如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交于E′，连接BE′，点E′即为所求．

故答案为：构造相似三角形把E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解题的关键是学会构造相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答

（Ⅰ）解不等式①，得　x≤4　

（Ⅱ）解不等式②，得　x≥2　

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　2≤x≤4　．

【分析】（Ⅰ）根据不等式的性质求出即可；

（Ⅱ）根据不等式的性质求出即可；

（Ⅲ）把不等式的解集在数轴上表示出来即可；

（Ⅳ）根据数轴求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤4，

（Ⅱ）解不等式②，得x≥2，

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为2≤x≤4．

故答案为：x≤4；x≥2；2≤x≤4．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．

20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．

（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为　25　，图①中m的值为　28　

（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．

【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；

（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；

【解答】解：（1）根据条形图2+5+7+8+3＝25（人），

m＝100﹣20﹣32﹣12﹣8＝28；

故答案为：25，28．

（2）观察条形统计图，

∵＝18.6，

∴这组数据的平均数是18.6，

∵在这组数据中，21出现了8次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是21，

∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，

∴这组数据的中位数是18．

【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A＝50°，∠B＝70°，连接DO，CO，DC

（1）如图①，求∠OCD的大小：

（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，求得∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，推出△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；

（2）根据垂直的定义得到∠PDO＝∠PCO＝90°，求得∠PDC＝∠PCD＝30°，推出PD＝PC，得到OP垂直平分CD，求得∠DOP＝30°，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）∵OA＝OD，OB＝OC，

∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形，

∴∠OCD＝60°；

（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，

∴∠PDO＝∠PCO＝90°，

∴∠PDC＝∠PCD＝30°，

∴PD＝PC，

∵OD＝OC，

∴OP垂直平分CD，

∴∠DOP＝30°，

∵OD＝2，

∴OM＝OD＝，OP＝．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．

22．（10分）如图，某学校甲楼的高度AB是18.6m，在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶D处的仰角为40°，在甲楼楼顶B处测得乙楼楼顶D的仰角为19°，求乙楼的高度DC及甲乙两楼之间的距离AC（结果取整数）

参考数据：cos19°≈0.95，tan19°＝0.34，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84

【分析】过BE作CD的垂线，与CD交于点E；在Rt△BDE中，tan19°＝，在Rt△ACD中，tan40°＝，BE＝AC代入已知条件即可求解；

【解答】解：过BE作CD的垂线，与CD交于点E；

在Rt△BDE中，tan19°＝，

在Rt△ACD中，tan40°＝，

∵BE＝AC，

∴0.34AC＝DE，0.84AC＝CD，

∵AB＝CE＝18米，

∴AC＝36米，ED＝12.24米，

∴CD＝30.24米；

【点评】本题考查直角三角形的应用；掌握仰角的定义，在直角三角形中利用三角函数值求边是解题关键．

23．（10分）某市居民用水实宁以户为单位的三级阶梯收费办法：第一级：居民每户每月用水18吨以内含18吨，每吨收费a元，第二级：居民每户每月用水超过18吨但不超过25吨，未超过18吨的部分按照第一级标准收费，超过部分每吨收水费b元．第三级：居民每户每月用水超过25吨，未超过25吨的部分按照第一二级标准收费，超过部分每吨收水费c元

设一户居民月用水x吨，应缴水费y元，y与x之间的函数关系如图所示

（Ⅰ）根据图象直接作答：a＝　3　，b＝　4　，c＝　6　．

（Ⅱ）求当x≥25时，y与x之间的函数关系式；

（Ⅲ）把上述水费阶梯收费方法称为方案①，假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨4元的标准缴费当居民每户月用水超过25吨时，请你根据居民每户月用水量的大小设计出对居民缴费最实惠的方案．

【分析】（Ⅰ）分别用每一级水费除以相应的用水的吨数，即可求出a，b，c；

（Ⅱ）当x≥25时，y与x的图象为直线，设出函数解析式，代入相应的点，即可求出一次函数的解析式；

（Ⅲ）先写出方案②的解析式，然后令方案①＝方案②，即可求出水分相等时，水的吨数，最后根据题目条件，即可求出相应的方案．

【解答】解：（Ⅰ）a＝54÷18＝3；b＝（82﹣54）÷（25﹣18）＝4；c═（142﹣82）÷（35﹣25）＝6．

故答案为：3，4，6

（Ⅱ）当x≥25时，设y＝kx+b（k≠0），

把（25，82），（35，142）代入，得，解得，

当x≥25时，y与x之间的函数关系式y＝6x﹣68．

（Ⅲ）方案②：y＝4x，

当方案①和方案②水费相等时，即4x＝6x﹣68，解得x＝34

故当用水量25≤x≤34时，方案①合算；当用水量x≥34时，方案②合算．

【点评】本题主要考差一次函数的实际应用，熟练一次函数与实际问题的联系，是解答此题的关键．

24．（10分）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，点A（3，3），点B（3，0），点O（0，0），将△AOB沿OA翻折得到△AOD（点D为点B的对应点）．

（Ⅰ）求OA的长及点D的坐标：

（Ⅱ）点P是线段OD上的点，点Q是线段AD上的点．

①已知OP＝1，AQ＝，R是x轴上的动点，当PR+QR取最小值时，求出点R的坐标及点D到直线RQ的距离；

②连接BP，BQ，且∠PBQ＝45°，现将△OAB沿AB翻折得到△EAB（点E为点O的对应点），再将∠PBQ绕点B顺时针旋转，旋转过程中，射线BP，BQ交直线AE分别为点M，N，最后将△BMN沿BN翻折得到△BGN（点G为点M的对应点），连接EG，若，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

【分析】（Ⅰ）易知△AOB是等腰直角三角形，点D在y轴的正半轴上，由此即可解决问题．

（Ⅱ）①如图1中，作点P关于点O的对称点K，连接KQ交OB于R′，此时PR′+QR′的值最小．作DH⊥QK于H．求出直线KQ，DH的解析式，构建方程组求出点H坐标即可解决问题．

②易证△ABM≌△EBG（SAS），推出∠BAM＝∠BEC＝45°，推出∠GEN＝90°，由，可以假设EN＝12k，EG＝5k，则NG＝MN＝13k，构建方程求出k即可解决问题．

【解答】解：（Ⅰ）如图1中，∵A（3，3），B（3，0），

∴AB＝OB＝3，∠ABO＝90°，

∴∠BOA＝45°，

∵将△AOB沿OA翻折得到△AOD，

∴∠AOD＝∠AOB＝45°，

∴∠BOD＝90°，

∴点D在y轴的正半轴上，

∴D（0，3）．

（Ⅱ）①如图1中，作点P关于点O的对称点K，连接KQ交OB于R′，此时PR′+QR′的值最小．作DH⊥QK于H．

由题意：K（0，﹣1），Q（，3）．

∴直线KQ的解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得到x＝，

∴R′（，0），

∵DH⊥KQ，

∴直线KQ的解析式为y＝﹣x+3，

由，解得，

∴H（，），

∴DH＝＝

∴R′（，0），点D到直线KQ的距离为．

②如图2中，

易证△ABM≌△EBG（SAS），

∴∠BAM＝∠BEC＝45°，

∵∠AEB＝45°，

∴∠GEN＝90°，

∵，

∴可以假设EN＝12k，EG＝5k，则NG＝MN＝13k，

∵AM＝EG＝5k，

∴5k+13k+12k＝3，

∴k＝，

∴AM＝，

作MH⊥AB于H，

∵∠MAH＝45°，AM＝，

∴AH＝MH＝，

可得M（，）．

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形点评判定和性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，属于中考压轴题．

25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交抛物线于点Q．设P点的横坐标为t，线段PQ的长为d．求出d与t之间的函数关系式，写出相应的自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH＝e，已知d，e是以z为未知数的一元二次方程z2﹣（m+3）z+（5m2﹣2m+13）＝0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ，MH，PM．且MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）点B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0），即可求解

（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，﹣t+3），Q的坐标为（t，﹣t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论

（3）根据根的判别式就可以求出，m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP＝MP，连接LQ、LH，如图2，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）点B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3，得，解得，

则抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3

（2）如图1，当点P在线段CB上时，

∵P点的横坐标为t且PQ垂直于x轴

∴点P的坐标为（t，﹣t+3）

Q点的坐标为（t，﹣t2+2t+3）

∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t

如图2，当点P在射线BN上时

∵P点的横坐标为t且PQ垂直于x轴

∴点P的坐标为（t，﹣t+3）

Q点的坐标为（t，﹣t2+2t+3）

∴PQ＝﹣t+3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣3t

∵BO＝3

∴d＝﹣t2+3t（0＜t＜3），

d＝t2﹣3t（t＞3）

故当0＜t＜3时，d与t之间的函数关系式为：d＝﹣t2+3t

当t＞3时，d与t之间的函数关系式为：d＝t2﹣3t

（3）∵d，e是z2﹣（m+3）z+（5m2﹣2m+13）＝0的两个实数根，

∴△≥0，即△＝（m+3）2﹣4×（5m2﹣2m+13）≥0

整理得△＝﹣4（m﹣1）2≥0

∵△＝﹣4（m﹣1）2≤0

∴△＝0

∴m＝1

∴z2﹣4z+4＝0

∵PH与PQ是z2﹣4z+4＝0的两个实数根，

解得z1＝z2＝2

∴PH＝PQ＝2

∴﹣t+3＝2

∴t＝1

∵y＝﹣x2+2x+3

∴y＝﹣（x﹣1）2+4

∴抛物线的顶点坐标为（1，4）

此时Q是抛物线的顶点

延长MP至L，使MP＝LP，连接LQ，LH，如图3

∵LP＝MP，PQ＝PH

∴四边形LQMH是平行四边形

∴LH∥QM

∴∠QML＝∠MLH

∵∠QML＝∠LMH

∴∠MLH＝∠LMH

∴LH＝MH

∴平行四边形LQMH是菱形，

∴PM⊥QH

∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2

∴在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝2时，有x2﹣2x﹣1＝0

解得x1＝1+，x2＝1﹣

综上所 述，t的值为1，M点的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）

【点评】此题主要考查二次函数性质和坐标表示以及菱形的性质，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/99a78173a7e9856a561252d380eb6294dd8822bc.html